Закон радиоактивного распада

На прошлых уроках мы подробно рассматривали различные виды ионизирующего излучения: $\alpha$-, $\beta$- и $\gamma$-излучения, а также рентгеновское и нейтронное излучения (рисунок 1). Несмотря на различную физическую природу, их объединяет общее свойство — способность вызывать ионизацию вещества.

При ионизации из атомов вещества выбиваются электроны. В результате нейтральные атомы превращаются в положительные ионы и свободные электроны (рисунок 2).

Если ионизация происходит в тканях живого организма, то это приводит к повреждению молекул ДНК. Масштаб этих повреждений можно оценить с помощью понятий поглощенной, эквивалентной и эффективной доз (рисунок 3).

Также мы установили, что доза накапливается со временем. Если интенсивность излучения постоянна, суммарная доза возрастает пропорционально времени пребывания в зоне облучения. Но в реальных условиях интенсивность излучения может изменяться. Если источником являются радиоактивные ядра, то их количество постепенно уменьшается по мере распада ядер (рисунок 4). Соответственно уменьшается и число распадов в единицу времени. Значит, ослабевает и само излучение.

Отсюда возникает ключевой вопрос: как уменьшается число радиоактивных ядер и как меняется активность источника во времени? Можно ли количественно описать этот процесс и заранее рассчитать, сколько атомов останется через заданный промежуток времени?

Чтобы ответить на эти вопросы, на данном уроке нам предстоит познакомиться с понятием периода полураспада. Также мы выведем закон, описывающий изменение числа ядер во времени, и научимся применять его для решения задач.

Радиоактивный распад как физическое явление

Вы знаете, что радиоактивность — это свойство некоторых атомных ядер самопроизвольно превращаться в другие ядра с испусканием излучения (рисунок 5).

Слово «самопроизвольно» означает, что процесс происходит без внешнего воздействия. Ядру не нужно сталкиваться с другими частицами или получать энергию извне. Можно сказать, что оно распадается само по себе. Это обусловлено внутренней неустойчивостью.

В зависимости от типа распада могут испускаться:

• $\alpha$-частицы,
• $\beta$-частицы,
• $\gamma$-кванты.

При $\alpha$- и $\beta$-распадах изменяется состав ядра (рисунок 6). В итоге, ядро одного химического элемента превращается в ядро другого. Дочернее ядро может быть как устойчивым, так и радиоактивным.

При $\gamma$-излучении нуклонный состав ядра не изменяется. В этом случае происходит переход ядра из возбужденного состояния в основное (рисунок 7).

{"questions":[{"content":"Радиоактивные атомные ядра распадаются [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["самопроизвольно, без внешнего воздействия","только при столкновении с другими частицами","только при сильном нагревании вещества","только после получения энергии извне"],"answer":0}}}]}

Случайность и закономерность в радиоактивном распаде

Представим, что перед нами образец вещества, содержащий огромное количество одинаковых радиоактивных ядер. Возникает естественный вопрос: можно ли узнать, какое конкретно ядро распадется первым? А какое последним? Ответ будет отрицательным.

Распад отдельного ядра является случайным событием. Невозможно заранее сказать, какое именно ядро распадется в данный момент времени. Даже если ядра абсолютно одинаковы, их будущее поведение индивидуально (рисунок 8).

Но экспериментальные наблюдения ученых показали следующее. Хотя распад каждого отдельного ядра случаен, при этом поведение большого числа ядер подчиняется строгой математической закономерности. Именно эту закономерность в 1903 году установили Эрнест Резерфорд и Фредерик Содди. Они показали, что количество радиоактивных ядер уменьшается со временем по определенному закону.

{"questions":[{"content":"Невозможно заранее сказать, какое именно радиоактивное ядро распадётся первым, потому что [[fill_choice_big-5]].","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["распад отдельного ядра является случайным событием","ядра сталкиваются друг с другом","распад происходит только под действием света","ядра распадаются только при нагревании вещества"],"answer":0}}}]}

Период полураспада

Итак, количество радиоактивных ядер уменьшается со временем по мере их распада. Чтобы описать скорость, с которой происходит это уменьшение, вводится специальная физическая величина — период полураспада (рисунок 9).

Период полураспада — это промежуток времени, в течение которого исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое.

Период полураспада обозначается буквой $T$. Иногда вы можете встретить обозначение $T_{1/2}$. Единица измерения в СИ — секунда ($с$).

На практике часто используются и внесистемные единицы времени — минуты, часы, сутки и даже годы. Ведь периоды полураспада различных изотопов могут очень сильно различаться: от долей секунды до миллиардов лет (таблица 1).

Обратите внимание, что речь идет об уменьшении «в среднем». Это означает, что мы рассматриваем большое число ядер. Для одного ядра понятие «половина» не имеет смысла.

Также период полураспада — это постоянная характеристика конкретного изотопа. То есть, эта величина различна для разных веществ. При этом для конкретного ядра период полураспада является постоянной величиной. Он не зависит от температуры, давления, агрегатного состояния и других внешних условий (рисунок 10).

{"questions":[{"content":"Период полураспада радиоактивного изотопа — это время, за которое [[fill_choice_big-9]].","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["исходное число радиоактивных ядер в среднем уменьшается вдвое","распадаются все радиоактивные ядра вещества","распадается одно радиоактивное ядро","радиоактивные ядра начинают испускать излучение"],"answer":0}}}]}

Пример распада

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, у нас есть образец изотопа радона-220. Период полураспада для него составляет приблизительно $57$ секунд.

Пусть изначально в нашем образце содержится $1000$ радиоактивных ядер этого изотопа. Тогда через один период полураспада, то есть примерно через $57$ секунд, останется в среднем $500$ ядер (рисунок 11).

Через два периода (около $114$ секунд) останется приблизительно $250$ ядер. Через три периода (примерно $171$ секунду) — около $125$ ядер. А через четыре периода (около $228$ секунд) останется приблизительно $62$ ядра (рисунок 12).

Каждый последующий период полураспада уменьшает не первоначальное количество ядер, а то число, которое осталось к данному моменту времени. Поэтому процесс распада замедляется. По мере уменьшения числа ядер уменьшается и число распадов в единицу времени.

Когда число ядер становится небольшим (десятки или единицы) случайный характер распада начинает заметно влиять на результат. В этом случае формула описывает лишь среднее значение, поэтому для очень малого количества ядер применять ее практически не имеет смысла.

{"questions":[{"content":"Если изначально в образце радона-220 содержится $1000$ радиоактивных ядер, то через один период полураспада в среднем останется [[fill_choice_big-13]].","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$500$ ядер","$250$ ядер","$2000$ ядер","$10$ ядер"],"answer":0}}}]}

Вывод закона радиоактивного распада

Итак, для каждого вещества характерна своя скорость распада, связанная с периодом полураспада. Теперь попробуем установить количественную зависимость. Нас интересует, как число радиоактивных атомов $N$ изменяется со временем $t$, если известен период полураспада $T$.

Пусть в начальный момент времени $t_0 = 0$ в источнике излучения было некоторое число радиоактивных ядер. Обозначим это число $N_0$ (рисунок 13).

Через промежуток времени, равный периоду полураспада число ядер уменьшится вдвое. То есть через время $t_1 = T$, число радиоактивных атомов будет равно $N_1$:
$N_1 = \frac{1}{2} \cdot N_0 = \frac{N_0}{2^1}$.

Через два периода полураспада $t_2 = 2T$:
$N_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{N_0}{2^1} = \frac{N_0}{2^2}$.

Еще через один такой же промежуток времени $t_3 = 3T$:
$N_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{N_0}{2^2} = \frac{N_0}{2^3}$.

Получается, что если прошло $n$ периодов полураспада ($t = nT$), то число радиоактивных ядер в источнике будет равно:

$N = \frac{N_0}{2^n}$

Эта формула позволяет определить количество нераспавшихся ядер после заданного числа периодов полураспада.

{"questions":[{"content":"Если прошло $n$ периодов полураспада, то число нераспавшихся радиоактивных ядер [[fill_choice_big-17]].","widgets":{"fill_choice_big-17":{"type":"fill_choice_big","options":["уменьшилось в $2^n$ раз по сравнению с первоначальным количеством","уменьшилось в $n$ раз","осталось неизменным","увеличилось в $2^n$ раз"],"answer":0}}}]}

Закон радиоактивного распада

Формулу $N = \frac{N_0}{2^n}$ можно записать и в другом виде. Выразим количество полураспадов $n$ из выражения $t = nT$:
$n = \frac{t}{T}$. 

Теперь подставим это выражению в формулу для нераспавшихся ядер:
$N = \frac{N_0}{2^{\frac{t}{T}}}$.

Полученная нами формула является математическим выражением закона радиоактивного распада — закона Резерфорда-Содди.

$N = \frac{N_0}{2^{\frac{t}{T}}}$
За равные промежутки времени распадается одинаковая доля имеющихся ядер. Скорость распада в каждый момент времени пропорциональна текущему числу нераспавшихся ядер.

Закон радиоактивного распада имеет важное практическое значение. Он позволяет рассчитывать активность источников излучения и прогнозировать изменение радиационной обстановки во времени. Используя этот закон, определяют возраст археологических и геологических объектов. Кроме того, закон распада позволяет оценивать, как долго радиоактивное вещество будет сохранять свои свойства и оставаться потенциально опасным.

{"questions":[{"content":"Какая формула выражает закон радиоактивного распада (закон Резерфорда–Содди)?[[choice-22]]","widgets":{"choice-22":{"type":"choice","options":["$N = \\frac{N_0}{2^{\\frac{t}{T}}}$","$N = N_0 \\cdot 2^{\\frac{t}{T}}$","$N = \\frac{N_0}{tT}$","$N = N_0 \\cdot \\frac{t}{T}$"],"answer":[0]}}}]}

Радиоуглеродный метод

Для определения возраста древних деревянных предметов, костей или тканей применяется радиоуглеродный метод. Он основан на распаде изотопа углерода $^{14}_{6}\text{C}$, период полураспада которого равен $5730$ лет.

Этот изотоп отличается от обычного углерода $^{12}_{6}\text{C}$ тем, что его ядро содержит больше нейтронов (рисунок 14). Именно из-за такого состава ядра углерода-14 являются радиоактивными.

Почему используется именно этот изотоп?
Углерод входит в состав всех живых организмов. В верхних слоях атмосферы космические лучи вызывают ядерные реакции. В результате нейтроны сталкиваются с ядрами азота (рисунок 15). Так образуется радиоактивный углерод $^{14}\text{C}$.

Этот углерод-14 сначала существует как отдельные атомы. Но в атмосфере он быстро соединяется с кислородом и образует молекулы углекислого газа (рисунок 16). То есть образуется обычный углекислый газ $CO_2$​, но вместо обычного углерода $^{12}\text{C}$ в его составе находится радиоактивный изотоп $^{14}\text{C}$.

Растения поглощают углекислый газ при фотосинтезе, затем углерод попадает в организмы животных и человека через пищевые цепочки.

Пока организм живет, содержание $^{14}\text{C}$ в нем остается примерно постоянным, потому что происходит обмен веществ с окружающей средой. После гибели обмен прекращается, и углерод-14 начинает только распадаться (рисунок 17).

Измерив, какая доля $^{14}\text{C}$ сохранилась, можно определить возраст образца по формуле закона радиоактивного распада.

{"questions":[{"content":"Что происходит с изотопом $^{14}_{6}\\text{C}$ после гибели организма?[[choice-26]]","widgets":{"choice-26":{"type":"choice","options":["Он только распадается.","Его количество увеличивается.","Он превращается в кислород.","Он перестает распадаться."],"answer":[0]}}}]}

Пример определения возраста

Ученые не знают, сколько именно атомов углерода-14 было на момент жизни в конкретном древнем организме. Но они знают, что в живых организмах соотношение $\frac{^{14}\text{C}}{^{12}\text{C}}$​ почти такое же, как в атмосфере. На $10^{12}$ атомов обычного углерода $^{12}\text{C}$ приходится примерно один атом радиоактивного углерода $^{14}\text{C}$ (рисунок 18).

Когда находят древний предмет (например, кость или кусок дерева) из него берут небольшую пробу. Далее специальными приборами измеряют сколько в этом образце содержится атомов радиоактивного углерода $^{14}\text{C}$ и атомов обычного углерода $^{12}\text{C}$ (рисунок 19). 

Количество обычного углерода $^{12}\text{C}$ почти не меняется со временем, а радиоактивный $^{14}\text{C}$ постепенно распадается.

Раньше (при жизни) отношение радиоактивного углерода к обычному было равно $\frac{1}{10^{12}}$, а во время исследования образца оно меньше. Значит, часть $^{14}\text{C}$ распалась. Например, это отношение стало равно $\frac{1}{4 \cdot 10^{12}}$. Это значит, что радиоактивного углерода стало в 4 раза меньше. То есть $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4}$.

Далее используют закон радиоактивного распада: $N = \frac{N_0}{2^n}$.
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2^n}$, где $n$ — число произошедших периодов полураспада.

Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^n}$, то $n = 2$. То есть прошло два периода полураспада.

Период полураспада углерода-14 равен $5730$ лет. Тогда:
$t = 2T = 2 \cdot 5730 \space лет = 11 \space 460 \space лет$.

Получается, что найденному образцу около $11 \space 460$ лет.

{"questions":[{"content":"Возраст древнего объекта с помощью радиоуглеродного метода определяют, сравнивая [[fill_choice_big-31]].","widgets":{"fill_choice_big-31":{"type":"fill_choice_big","options":["отношение количества атомов $^{14}\\text{C}$ и $^{12}\\text{C}$ в образце","массу найденного образца","цвет и плотность образца","общее количество атомов углерода в образце"],"answer":0}}}]}

График радиоактивного распада

Из формулы $N = \frac{N_0}{2^{\frac{t}{T}}}$ видно, что чем больше период полураспада $T$, тем больше число нераспавшихся ядер $N$ в определенный момент времени. Значит, чем больше период полураспада элемента, тем дольше он существует и излучает, представляя опасность для живых организмов.

Чем больше период полураспада, тем медленнее уменьшается количество ядер.

Следовательно, вещество с большим периодом полураспада долго остается радиоактивным. А изотопы с малым периодом распадаются быстро, но в начале могут обладать высокой активностью. Именно поэтому при оценке радиационной опасности важно учитывать не только вид излучения, но и период полураспада.

В этом также можно убедиться, если построить график зависимости $N$ от времени $t$. Получится плавная кривая, называемая экспоненциальной. Так, на рисунке 20 показаны графики зависимости количества нераспавшихся ядер $N$ от времени $t$ для изотопов йода ($^{131}_{53}\text{I}$, $T_I = 8 \space сут$) и селена ($^{75}_{34}\text{Se}$, $T_{Se} = 120 \space сут$).

Из графиков видно, что у изотопа с меньшим периодом полураспада (йода) количество ядер уменьшается значительно быстрее.

{"questions":[{"content":"У какого изотопа число нераспавшихся ядер уменьшается медленнее?[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["У изотопа с меньшим периодом полураспада.","У изотопа с большим периодом полураспада.","У всех изотопов одинаково.","Это не зависит от периода полураспада."],"answer":[1]}}}]}

Радиоактивные ряды

Мы знаем, что в результате радиоактивного распада одно ядро превращается в другое.
Новое ядро может быть или устойчивым, а может тоже оказаться радиоактивным. Во втором случае распад продолжается.

Исследования показали, что ядро атома радиоактивного элемента с течением времени претерпевает целый ряд преобразований. Так, ядро атома элемента $A_1$ превращается в ядро атома элемента $A_2$. Потом — в ядро атома элемента $A_3$ и т. д. Эта последовательность строго определена. В цепочке не может быть других случайных ядер, например, ядра атома элемента $B$ (рисунок 21).

Такая цепочка последовательных превращений называется радиоактивным рядом.

Радиоактивный ряд — это совокупность всех изотопов, возникающих в результате ряда последовательных радиоактивных преобразований данного родительского элемента.

В радиоактивных рядах происходят в основном $\alpha$- и $\beta$-распады. При $\alpha$-распаде массовое число $A$ уменьшается на $4$, а зарядовое число $Z$ — на $2$. При $\beta$-распаде массовое число не изменяется, а зарядовое число увеличивается на $1$ (рисунок 22). Иногда может возникать и $\gamma$-излучение, но оно не изменяет ни массового, ни зарядового числа ядра. Поэтому на саму цепочку превращений оно не влияет.

Было обнаружено, что в природе существуют всего четыре естественных радиоактивных ряда. Это связано с тем, что при каждом $\alpha$-распаде массовое число $A$ уменьшается на $4$. Поэтому все ядра в одной цепочке имеют массовые числа, которые можно записать в виде:

• $A = 4n$,
• $A = 4n \space + \space 1$,
• $A= 4n \space + \space 2$,
• $A = 4n \space + \space 3$.

Других вариантов нет. Следовательно, возможны только четыре различные цепочки распада (рисунок 23).
$\beta$-распады могут происходить внутри цепочки, но при них массовое число $A$ не изменяется. Поэтому они не влияют на принадлежность ядра к одному из рядов.

Ряды объединяют все известные в природе радиоактивные элементы. Они называются по первому, самому тяжелому элементу в цепочке: ториевый, уран-радиевый, актиниевый и нептуниевый. Каждый ряд начинается с очень тяжелого ядра, которое сохранилось со времени образования Земли, и заканчивается устойчивым изотопом. В ториевом, уран-радиевом и актиниевом рядах конечным продуктом является свинец, а в нептуниевом ряду — таллий.

{"questions":[{"content":"Радиоактивный ряд — это совокупность всех изотопов, возникающих в результате [[fill_choice_big-41]].","widgets":{"fill_choice_big-41":{"type":"fill_choice_big","options":["последовательных радиоактивных превращений","химических реакций","деления атомов","нагревания вещества"],"answer":0}}}]}

Ряд тория

Ториевый ряд начинается с изотопа тория $^{232}_{90}\text{Th}$ (рисунок 24). Его период полураспада очень велик — около $14$ млрд лет. То есть он сравним с возрастом Вселенной. Поэтому торий до сих пор встречается в земной коре.

В цепочке распадов образуются изотопы радия, актиния, радона и других элементов. Завершается ряд образованием устойчивого свинца $^{208}_{82}\text{Pb}$.

Торий содержится в некоторых минералах и даже в обычном песке. Он рассматривается как перспективное топливо для ядерной энергетики. Считается, что его запасов в земной коре больше, чем запасов урана.

{"questions":[{"content":"Ториевый радиоактивный ряд заканчивается образованием устойчивого изотопа [[fill_choice_big-45]].","widgets":{"fill_choice_big-45":{"type":"fill_choice_big","options":["свинца","радона","радия","актиния"],"answer":0}}}]}

Ряд урана-радия

Этот ряд начинается с изотопа урана $^{238}_{92}\text{U}$, период полураспада которого составляет около $4.5$ млрд лет (рисунок 25). Он широко распространен в природе: содержится в урановых рудах и в небольших количествах почти во всех горных породах.

В ходе распада образуются ядра радия и радона. Радон — это радиоактивный газ, который может накапливаться в подвалах зданий и требует контроля, так как повышает радиационный фон.

Конечный продукт — устойчивый свинец $^{206}_{82}\text{Pb}$.

Именно благодаря распаду урана и тория внутри Земли выделяется тепло. Это тепло частично поддерживает вулканическую активность и движение литосферных плит.

{"questions":[{"content":"Ряд урана-радия начинается с изотопа [[fill_choice_big-49]].","widgets":{"fill_choice_big-49":{"type":"fill_choice_big","options":["урана","радия","тория","свинца"],"answer":0}}}]}

Ряд актиния

Ряд актиния начинается с изотопа урана $^{235}_{92}\text{U}$ (рисунок 26). Его период полураспада около $700$ млн лет. Это меньше, чем у самого распространенного изотопа урана $^{238}\text{U}$, поэтому в природе его осталось значительно меньше.

В цепочке образуется элемент актиний, давший название ряду. Завершается ряд образованием устойчивого свинца $^{207}_{82}\text{Pb}$.

Изотоп $^{235}\text{U}$ играет ключевую роль в работе ядерных реакторов, так как способен поддерживать цепную реакцию деления.

{"questions":[{"content":"Период полураспада изотопа $^{235}\\text{U}$, используемого в ядерных реакторах, [[fill_choice_big-53]] периода полураспада более распространенного в природе изотопа $^{238}\\text{U}$.","widgets":{"fill_choice_big-53":{"type":"fill_choice_big","options":["меньше","больше"],"answer":0}}}]}

Ряд нептуния

Ряд нептуния начинается с изотопа нептуния $^{237}_{93}\text{Np}$ (рисунок 27). В природе он практически не встречается в значительных количествах, так как его период полураспада всего около $2$ млн лет. Это немного по геологическим меркам. Так, материнские ядра этого ряда почти полностью распались за время существования Земли.

Цепочка распадов проходит через уран и протактиний и заканчивается образованием стабильного изотопа таллия $^{205}_{81}\text{Tl}$.

Ряд нептуния называют «исчезнувшим рядом». Он существовал в ранней истории Земли, но сегодня встречается только в очень малых количествах или образуется искусственно в ядерных реакторах.

{"questions":[{"content":"Ряд нептуния называют «исчезнувшим рядом», потому что [[fill_choice_big-55]].","widgets":{"fill_choice_big-55":{"type":"fill_choice_big","options":["материнские ядра этого ряда почти полностью распались","он не содержит радиоактивных элементов","в нем не происходит <br />$\\alpha$-распадов","он заканчивается ураном"],"answer":0}}}]}

Упражнения

Дано:
$T = 2.6 \space г$
$t = 5 \space лет$

$\frac{N}{N_0} — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Дано:
$N_0 = 800$
$N = 100$

$n — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Дано:
$t = 12 \space ч$
$\frac{N_0}{N} = 4$

$T — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Дано:
$T = 5 \space ч$
$t = 15 \space ч$
$m_0 = 160 \space г$

$m — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Часто задаваемые вопросы