Решение задач на парообразование и конденсацию, удельную теплоту парообразования

Решение:

Температура, равная $100 \degree C$ — это температура кипения воды. Значит, мы можем использовать формулу для расчета количества теплоты, необходимого для превращения жидкости в пар:
$Q = Lm$.

Рассчитаем:
$Q = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.2 \space кг = 0.46 \cdot 10^6 \space Дж = 460 \space кДж$. 

Ответ: $Q = 460  \space кДж$.

Решение:

Чтобы довести воду до кипения и испарить ее, нам нужно затратить некоторое количество теплоты на ее нагревание и некоторое количество теплоты на парообразование: $Q = Q_1 + Q_2$.

Изначально нам потребуется сообщить воде количество теплоты, необходимое для ее нагревания от $0 \degree C$ до ее температуры кипения $100 \degree C$. Это количество теплоты будет равно:
$Q_1 = cm(t_2 — t_1)$.

Выразим массу воды через плотность и объем и подставим в формулу:
$m = \rho V$,
$Q_1 = c \rho V(t_2 — t_1)$.

Рассчитаем:
$Q_1 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \space м^3 \cdot (100 \degree C — 0 \degree C) = 21 \space 000 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 100 \degree C = 2.1 \cdot 10^6 \space = 2.1 \space МДж$.

Теперь рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить жидкости, взятой при температуре кипения, для парообразования:
$Q_2 = Lm = L \rho V$.

Рассчитаем эту энергию:
$Q_2 = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 11.5 \cdot 10^6 \space Дж = 11.5 \space МДж$.

Теперь мы можем рассчитать всю понадобившуюся энергию:
$Q = Q_1 +Q_2 = 2.1 \space МДж + 11.5 \space МДж = 13.6 \space МДж$.

Ответ: $Q = 13.6 \space МДж$.

Решение:

Общее количество теплоты будет складываться из энергии, которая выделится при конденсации (превращения пара в жидкость), и энергии, которая выделится при остывании жидкости: $Q = Q_1 + Q_2$.

Сначала рассчитаем количество теплоты, выделившееся при конденсации:
$Q_1 = Lm$,
$Q_1 = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.1 \space кг = 0.23 \cdot 10^6 \space Дж = 230 \space кДж$.

Теперь рассчитаем количество теплоты, которое выделится при охлаждении воды от $100 \degree C$ до $20 \degree C$. В задаче нужно затратить какую-то энергию, нам важно численное значение энергии, а не ее знак — ведь мы и так знаем, что энергия будет выделяться, а не поглощаться. Поэтому мы можем записать разницу температур как $t_1 — t_2$, чтобы избавиться от знака “минус”:
$Q_2 = cm(t_1 — t_2)$,
$Q_2 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot  0.1 \space кг \cdot (100 \degree C — 20 \degree C) = 420 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 80 \degree C = 33 \space 600 \space Дж = 33.6 \space кДж$.

Определим общее выделившееся количество теплоты:
$Q = Q_1 + + Q_2 = 230 \space кДж + 33.6 \space кДж = 263.6 \space кДж$.

Ответ: $Q = 263.6 \space кДж$.

Решение:

Когда в сосуд с водой одной температуры добавили пар с другой температурой, между этими двумя телами начинается теплообмен. Пар сначала конденсируется с выделением энергии и уже в виде воды будет охлаждаться также с выделением энергии. Эта энергия будет идти на нагревание воды.

Значит, мы можем записать следующее:
$Q_1 = Q_{2кон} + Q_2$,
где $Q_1$ — это количество энергии, необходимое для нагревания воды, $Q_{2кон}$ — количество теплоты, выделившееся при конденсации пара, $Q_2$ — количество теплоты, выделившееся при охлаждении сконденсированного пара в виде воды.

Удельная теплота парообразования, которую мы ищем, связана с величиной $Q_{2кон}$, которая по определению равна:
$Q_{2кон} = Lm_2$

Подставим в формулу для теплообмена между водой и паром:
$Q_1 = Lm_2 + Q_2$.

Выразим отсюда удельную теплоту парообразования:
$Lm = Q_1 — Q_2$,
$L = \frac{Q_1 — Q_2}{m_2}$.

Рассчитаем количество теплоты, которое потребовалось на нагревание воды от $0 \degree C$ до $37 \degree$:
$Q_1 = cm_1(t — t_1)$,
$Q_1 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 30 \space кг \cdot (37 \degree C — 0 \degree C) = 126 \space 000 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 37 \degree C = 4662 \cdot 10^3 \space Дж$.

Теперь рассчитаем количество теплоты, которое выделилось при охлаждении воды (сконденсированного пара) от $100 \degree C$ до $37 \degree C$. Обратите внимание, что, составляя уравнение для энергообмена, мы уже учли, какая энергия выделяется, а какая — потребляется. Поэтому разница температур здесь запишется как $(t_2 — t)$, ведь знак “минус” мы уже учли выше.
$Q_2 = cm_2 (t_2  — t)$,
$Q_2 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 1.85 \space кг \cdot (100 \degree C — 37 \degree C) = 7770 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 63 \degree C = 489 \space 510 \space Дж \approx 490 \cdot 10^3 \space Дж$.
Теперь мы можем рассчитать удельную теплоту парообразования воды:
$L = \frac{4662 \cdot 10^3 \space Дж — 490 \cdot 10^3 \space Дж}{1.85 \space кг} \approx 2255 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг} \approx 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$.

Полученное значение удельной теплоты парообразования воды совпадает с табличным. Значит, расчеты выполнены верно.

Ответ: $L \approx 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$.

Решение:
Используя данные графика, рассчитаем удельную теплоту парообразования:
$Q = Lm$,
$L = \frac{Q}{m} = \frac{1 \cdot 10^6 \space Дж}{2.5 \space кг} = 0.4 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$.

Полученное значение удельной теплоты парообразования соответствует эфиру.

Вычислим, какое количество теплоты выделится при конденсации паров эфира массой $8 \space кг$:
$Q = Lm$.
$Q = 0.4 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 8 \space кг = 3.2 \cdot 10^6 \space Дж = 3.2 \space МДж$.

Ответ: эфир, $Q = 3.2 \space МДж$.

Решение:

Для того чтобы превратить лед в пар, сначала нам нужно его расплавить, затем нагреть получившуюся воду до температуры кипения и только потом сообщить еще какое-то количество теплоты, чтобы произошло парообразование: $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3$.

Рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить льду, чтобы полностью расплавить его:
$Q_1 = \lambda m$,
$Q_1 = 3.4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 1 \space кг = 3.4 \cdot 10^5 \space Дж$.

Рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить воде, чтобы нагреть ее от $0 \degree C$ до $100 \degree C$:
$Q_2 = cm(t_2 — t_1)$,
$Q_2 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 1 \space кг \cdot (100 \degree C — 0 \degree C) = 4.2 \cdot 10^5 \space Дж$.

Рассчитаем количество теплоты, которое надо сообщить воде, чтобы полностью превратить ее в пар:
$Q_3 = Lm$,
$Q_3 = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 1 \space кг = 23 \cdot 10^5 \space Дж$.

Просуммируем полученные энергии, чтобы узнать общее количество теплоты, которое потребовалось, чтобы превратить лед в пар:
$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 3.4 \cdot 10^5 \space Дж + 4.2 \cdot 10^5 \space Дж + 23 \cdot 10^5 \space Дж = 30.6 \cdot 10^5 \space Дж = 3060 \space кДж$.

Ответ: $Q = 3060 \space кДж$.

Решение:

Рассчитаем количество теплоты, необходимое для нагревания железного радиатора:
$Q = cm_1 (t_2 — t_1)$,
$Q = 460 \frac{Дж}{кг \cdot degree C} \cdot 10 \space кг \cdot (90 \degree C — 10 \degree C) = 4600 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 80 \degree C = 368 \space 000 Дж = 0,368 \cdot 10^6 \space Дж$.

Это же количество теплоты должно выделится при конденсации некоторой массы пара:
$Q = Lm$.

Выразими отсюда массу пара и рассчитаем ее:
$m = \frac{Q}{L}$,
$m = \frac{0,368 \cdot 10^6 \space Дж}{2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}} = 0.16 \space кг = 160 \space г$.

Ответ: $m = 160 \space г$.

Решение:
Водяной пар будет конденсироваться и выделять энергию. Эта энергия пойдет на нагревание воды.

При этом сконденсированный водяной пар в виде жидкости остается там же, смешиваясь с изначальной водой. В итоге, масса воды будет увеличиваться:
$m = m_в + m_п$.

Обратите внимание, что после того, как пар превратится в жидкость, ее температура все еще будет равна $100 \degree C$. Она будет охлаждаться, передавая энергию изначальной массе воды для ее нагревания.

Итак, энергия выделившаяся при конденсации пара и дальнейшем охлаждении жидкости пойдет на нагревание изначальной массы воды. Тогда уравнение для теплообмена, происходящего между водой и паром можно записать в следующем виде:
$Q_1 + Q_2 = Q_3$.

Энергия, выделившаяся при конденсации пара:
$Q_1 = Lm_п$.

Энергия, выделившаяся при остывании воды:
$Q_2 = cm_п (t_п — t)$.

Энергия, которую необходимо затратить на нагревание изначальной массы воды:
$Q_3 = cm_в (t — t_в)$.
Обратите внимание, что, составляя уравнение для теплообмена, мы уже учли, какая энергия выделяется, а какая — потребляется. Поэтому разница температур здесь запишется как $t_в — t$, ведь знак “минус” мы уже учли выше.

Подставим эти в формулы в уравнение теплообмена:
$Lm_п + cm_п (t_п — t) = cm_в (t — t_в)$.

Отделим множители $m_п$ и $m_в$:
$m_п (L + c(t_п — t)) = cm_в (t — t_в)$,
$\frac{m_п}{m_в} \cdot (L + c(t_п — t)) = c(t — t_в)$,
$\frac{m_п}{m_в} = \frac{c(t — t_в)}{L + c(t_п — t)}$.

Теперь используем простой математический прием. Добавим единицу к левой и правой части нашего уравнения:
$1 + \frac{m_п}{m_в} = 1 + \frac{c(t — t_в)}{L + c(t_п — t)}$.
Выполним сложение в левой части уравнения:
$\frac{m_в + m_п}{m_в} = 1 + \frac{c(t — t_в)}{L + c(t_п — t)}$.

У нас получилось соотношение, которое показывает во сколько раз увеличилась масса воды. Рассчитаем его:
$\frac{m_в + m_п}{m_в} = 1 + \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot (100 \degree C — 90 \degree C)}{2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot (100 \degree C — 90 \degree C)} = 1+ \frac{42 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг}}{2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} + 0.042 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}} = 1 + \frac{42 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг}}{2.342 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}} \approx 1 + 0.02 \approx 1.2$.

Т.е. масса воды после нагревания ее паром, увеличилась в 1.2 раза.

Ответ: $\frac{m_в + m_п}{m_в} \approx 1.2$.

Решение:
Когда медный шар бросили в воду, между этими телами начался теплообмен. Медный шар начал охлаждаться и выделять энергию, которая пошла парообразование воды. Теплообмен прекратится, когда температура медного шара и воды выровняется — станет равна $100 \degree C$. Обратите внимание, что парообразование тоже прекратится, так как воде перестанет сообщаться энергия.

Рассчитаем количество теплоты, которое выделится при остывании медного шара с $500 \degree C$ до $100 \degree$. При этом мы уже учли, какая энергия выделяется, а какая — потребляется. Поэтому разница температур здесь запишется как $t_1 — t_2$, ведь знак “минус” мы уже учли выше.
$Q = cm(t_1 — t_2)$,

$Q = 400 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.5 \space кг \cdot (500 \degree C — 100 \degree C) = 200 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 400 \degree C = 8 \cdot 10^4 \space Дж$.

Эта энергия будет израсходована на парообразование определенной массы воды:
$Q = Lm_1$.
Выразим отсюда массу испарившейся воды и рассчитаем ее:
$m_1 = \frac{Q}{L}$,

$m_1 = \frac{8 \cdot 10^4 \space Дж}{2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}} \approx 0.035 \space кг \approx 35 \space г$.

Ответ: $m_1 \approx 35 \space г$.

Решение:
Из условий задачи ясно, что температура воды и чайника изначально была одинаковой. Потом чайник и воду стали нагревать до температуры кипения воды. Какое-то время после этого этим телам сообщалось еще какое-то количество теплоты, которое пошло на парообразование воды:
$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3$.

Рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить медному чайнику, чтобы нагреть его:
$Q_1 = c_ч m_ч (t_2 — t_1)$,

$Q_1 = 400 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.2 \space кг \cdot (100 \degree C — 20 \degree C) = 80 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 80 \degree C = 6400 \space Дж$.

Рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить воде, чтобы нагреть ее до температуры кипения:
$Q_2 = c_в m_в (t_2 — t_1)$,
$Q_2 = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 1 \space кг \cdot (100 \degree C — 20 \degree C) = 4200 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 80 \degree C = 336 \space 000 \space Дж$.

Рассчитаем количество теплоты, необходимое для превращения воды в пар:
$Q_3 = Lm_3$,
$Q_3 = 2.3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.05 \space кг = 115 \space 000 \space Дж$.

Рассчитаем общее потребовавшееся количество теплоты:
$Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 6400 \space Дж + 336 \space 000 \space Дж + 115 \space 000 \space Дж = 457 \space 400 Дж$.

Запишем формулу КПД для примуса:
$\eta = \frac{A_п}{A_з} = \frac{Q}{Q_б}$.
Выразим отсюда количество теплоты, которое было выделено при сжигании спирта:
$Q_б = \frac{Q}{\eta}$.

С другой стороны, количество бензина, выделившееся при сгорании топлива, вычисляется по формуле:
$Q_б = qm_б$.

Подставим это выражение в формулу выше:
$qm_б = \frac{Q}{\eta}$.

Выразим отсюда массу сгоревшего бензина и рассчитаем ее:
$m_б = \frac{Q}{\eta \cdot q}$,
$m_б = \frac{457 \space 400 Дж}{0.3 \cdot 4.6 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} = \frac{0.4574 \cdot 10^6 \space Дж}{1.38 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}} \approx 0.33 \space кг \approx 33 \space г$.

Ответ: $m_б \approx 33 \space г$.