Сила Архимеда

Решение:

Сила Архимеда рассчитывается по формуле:
$F_A = g \rho_ж V_т$.

Подставим численные значения величин и рассчитаем эту силу:
$F_A = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 1030 \frac{кг}{ м^3} \cdot 2.6 \space м^3 \approx 26 244 \space Н \approx 26.2 \space кН$.

Ответ: $F_A \approx 26,2 \space кН$.

Ответ:

Когда мы погрузим цилиндры в жидкость, на каждый их них будет действовать сила Архимеда. Если эти силы будут равны, то весы останутся в равновесии.

Запишем формулы архимедовой силы для каждого цилиндра.
Для свинцового цилиндра:
$F_{A1} = g \rho_ж V_1$.
Для алюминиевого цилиндра:
$F_{A2} = g \rho_ж V_2$.

Мы видим, что равенство этих сил зависит от объемов цилиндров. Они равны? Нет, они имеют одинаковые массы, но разные плотности. Цилиндр из алюминия будет обладать большим объемом, чем свинцовый цилиндр ($V = \frac{m}{\rho}$). Значит, на алюминиевый цилиндр будет действовать большая выталкивающая сила, чем на свинцовый.

Если мы проверим это на опыте, то увидим подтверждение нашим выводам (рисунок 5).

При этом весы выйдут из равновесия в случае и с водой (рисунок 5, а), и со спиртом (рисунок 5, б). Так как мы опускаем цилиндры одновременно в один и тот же тип жидкости, значение архимедовой силы, действующей на цилиндры, будет различаться только в зависимости от объемов этих цилиндров — свинцовый перевесит алюминиевый в любой жидкости.

Заметим, что в случае погружения в воду, архимедова сила будет больше, чем в случае погружения в спирт. Это объясняется тем, что вода имеет большую плотность, чем спирт.

Ответ:

Если один цилиндр погрузить в воду, а другой — в спирт, то равновесие весов нарушится (рисунок 6). На цилиндр, находящийся в воде, будет действовать большая архимедова сила.

Так происходит, потому что архимедова сила зависит от объема погруженного тела (а они у нас одинаковые: $V_1 = V_2 = V$) и от плотности жидкости:
$F_А = g \rho_ж V$.
Плотность спирта ($800 \frac{кг}{м^3}$) меньше плотности воды ($1000 \frac{кг}{м^3}$). Значит, на цилиндр, погруженный в воду, будет действовать большая архимедова сила, чем на тот, что погружен в спирт.

Решение:

Рассчитаем архимедову силу, которая будет действовать на кусок железа в воде:
$F_{А1} = g \rho_1 V$,
$F_{А1} = 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 0.98 \space Н \approx 1 \space Н$.

Теперь рассчитаем архимедову силу, которая будет действовать на кусок железа в керосине:
$F_{А2} = g \rho_2 V$,
$F_{А2} = 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 0.784 \space Н \approx 0.8 \space Н$.

Ответ: $F_{А1} \approx 1 \space Н$, $F_{А2} \approx 0.8 \space Н$.

Решение:

Бетонная плита находится в воде. На нее действует сила тяжести и архимедова сила. Они направлены противоположно друг другу и будут иметь разные величины. Разность этих сил — и будет искомая сила $F_1$, которую нужно приложить, чтобы удержать бетонную плиту в воде (чтобы она не опускалась на дно и не всплывала):
$F_1 = F_{тяж} \space − \space F_{А1}$.

Сила тяжести рассчитывается по формуле:
$F_{тяж} = gm$.
Массу бетонной плиты мы можем выразить через ее плотность и объем:
$m = \rho_б V$,
$F_{тяж} = g \rho_б V$.

Архимедова сила, действующая на бетонную плиту в воде:
$F_{А1} = g \rho_1 V$.

Подставим силу тяжести и архимедову силу в формулу и рассчитаем $F_1$:
$F_1 = F_{тяж} \space − \space F_{А1} = g \rho_б V \space − \space g \rho_1 V = gV \cdot (\rho_б \space − \space \rho_1)$,
$F_1 = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 2 \space м^3 \cdot (2300 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1000 \frac{кг}{м^3}) = 25 \space 480 \space Н \approx 25 \space кН$.

Используем ту же формулу для того, чтобы рассчитать силу $F_2$, которую нужно приложить, чтобы удержать бетонную плиту в воздухе:
$F_2 = gV \cdot (\rho_б \space − \space \rho_2)$,
$F_2 = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 2 \space м^3 \cdot (2300 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1.29 \frac{кг}{м^3}) \approx 45 \space 054 \space Н \approx 45 \space кН$.

Ответ: $F_1 \approx 25 \space кН$, $F_2 \approx 45 \space Н$.

Решение:

Вес короны в воздухе $P_1$ будет меньше веса тела в вакууме $P$ на архимедову силу $F_{A1}$. То есть:
$P_1 = P \space − \space F_{A1}$.

Значит, вес короны в вакууме будет равен сумме ее веса в воздухе и архимедовой силы:
$P = P_1 \space + \space F_{А1}$,
$gm = P_1 \space + \space g \rho_1 V$.

Теперь запишем такое же уравнение для веса короны в воде:
$gm = P_2 \space + \space g \rho_2 V$.

Левые части уравнений у нас равны, поэтому мы можем приравнять правые части друг к другу:
$P_1 \space + \space g \rho_1 V = P_2 \space + \space g \rho_2 V$.
Перенесем элементы, содержащие неизвестный объем вправо:
$P_1 \space − \space P_2 = g \rho_2 V \space − \space g \rho_1 V$,
$P_1 \space − \space P_2 = gV (\rho_2 \space − \space \rho_1)$.

Выразим отсюда объем короны и рассчитаем его:
$V = \frac{P_1 \space − \space P_2}{g (\rho_2 \space − \space \rho_1)}$,
$V = \frac{20 \space Н \space − \space 18.75 \space Н}{9.8 \frac{Н}{кг} (1000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1.29 \frac{кг}{м^3})} = \frac{1.25}{9787} \space м^3 = 12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

Используем одно из первых уравнений для веса короны в вакууме и в воздухе:
$gm = P_1 \space + \space g \rho_1 V$.
Выразим отсюда массу короны и рассчитаем ее:
$m = \frac{P_1 \space + \space g \rho_1 V}{g}$,
$m = \frac{20 \space Н \space + \space 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 1.29 \frac{кг}{м^3} \cdot 12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3}{9.8 \frac{Н}{кг}} \approx 2.04 \space кг$.

Теперь мы знаем массу и объем короны. Рассчитаем ее плотность:
$\rho = \frac{m}{V}$,
$\rho = \frac{2.04 \space кг}{12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3} \approx 16 \space 000 \frac{кг}{м^3}$.

Корона состоит из серебра и золота. Это означает, что ее общий объем мы можем записать в виде суммы объемов серебра и золота, ее составляющих:
$V = V_с \space + \space V_з$.
То же самое с общей массой короны:
$m = m_с \space + \space m_з$.

Запишем объемы через массы и плотности (а также выразим массу золота через общую массу короны и массу серебра):
$V_с = \frac{m_с}{\rho_с}$,
$V_з = \frac{m_з}{\rho_з} = \frac{m \space − \space m_с}{\rho_з}$.

Подставим эти объемы в формулу для общего объема короны и выразим из нее массу серебра:
$V = \frac{m_с}{\rho_с} \space + \space \frac{m \space − \space m_с}{\rho_з} = \frac{m_с (\rho_з \space − \space \rho_с) \space + \space \rho_с m}{\rho_с \rho_з} = m_с \cdot \frac{\rho_з \space − \space \rho_с}{\rho_с \rho_з} \space + \space \frac{m}{\rho_з}$,
$m_с = \frac{V \space − \space \frac{m}{\rho_з}}{\frac{\rho_з \space − \space \rho_с}{\rho_с \rho_з}} = \frac{\rho_с (V \rho_з \space − \space m)}{\rho_з \space − \space \rho_с}$.

Рассчитаем массу серебра, содержащегося в короне:
$m_с = \frac{10 \space 000 \frac{кг}{м^3} (12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3 \cdot 20 \space 000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 2.04 \space кг)}{20 \space 000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 10 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = \frac{5200 \frac{кг^2}{м^3}}{10 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = 0.52 \space кг$.

Теперь мы можем вычислить и количество золота в короне:
$m_з = m \space − \space m_с$,
$m_з = 2.04 \space кг \space − \space 0.52 \space кг = 1.52 \space кг$.

Если бы вся корона была из золота, то ее объем был бы равен:
$V_1 = \frac{m}{\rho_з}$,
$V_1 = \frac{2.04 \space кг}{20 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = 10.2 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

Ответ: $\rho \approx 16 \space 000 \frac{кг}{м^3}$, $m_з = 1.52 \space кг$, $m_с = 0.52 \space кг$, $V_1 = 10.2 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

Ответ:

Что означает фраза «ходить по камням»? Со стороны физики, когда мы наступаем на камни, мы давим на них своим весом: $p = \frac{F}{S} = \frac{P}{S}$.

Когда мы оказываемся в воде, наш вес уменьшается. Это следствие действия на нас архимедовой силы. Уменьшается вес — уменьшается и давление наших стоп на камни.