0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Сила Архимеда

Содержание

    На прошлом уроке мы доказали с помощью опытов существование силы, действующей на тела, погруженные в жидкость или газ — выталкивающей силы. Также мы теперь знаем, что ее можно рассчитать по формуле: $F_{выт} = gm_ж = P_ж$. Но какое еще есть значение у этой силы? На этом уроке мы более подробно рассмотрим выталкивающую силу.

    Выталкивающая сила и вес тела

    Как можно на опыте определить, с какой силой тело, погруженное целиком в жидкость, выталкивается из жидкости?
    Давайте познакомимся с таким опытом. Он представлен на рисунке 1.

    Подвесим на пружину небольшую емкость для жидкости и тело цилиндрической формы ниже. На конце пружины у нас расположена стрелка-указатель. Она отмечает растяжение пружины на штативе (рисунок 1, а). Таким образом, мы видим вес тела в воздухе.

    Рисунок 1. Опыт по определению зависимости выталкивающей силы и веса погруженного тела

    Теперь опустим наше тело в большой сосуд. Сосуд имеет трубку для слива и наполнен жидкостью до уровня этой трубки (рисунок 1, б).

    Когда мы полностью опустим тело в сосуд, часть жидкости из него выльется через трубку для слива в стакан. Объем этой жидкости будет равен объему тела. Мы уже знаем, что на тело действует выталкивающая сила: пружина сокращается, стрелка-указатель поднимается, вес тела в жидкости становится меньше.

    А теперь возьмем жидкость, которая вылилась в стакан. Зальем ее в емкость, которая также подвешена к пружине (рисунок 1, в). Теперь стрелка-указатель вернулась к своему изначальному положению.

    Так чему равна эта сила? Сделаем вывод из данного опыта.

    Сила, выталкивающая целиком погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме этого тела.

    Если провести подобный опыт с газом, а не с жидкостью, то мы получим, что сила, выталкивающая тело из газа, равна весу газа, взятого в объеме тела.

    Сила Архимеда

    Как называют силу, которая выталкивает тела, погруженные в жидкости и газы?
    Теперь мы добавим, что эту выталкивающую силу называют архимедовой силой. Архимед (рисунок 2) — древнегреческий ученый и инженер, сделавший множество открытий и в математике, и в физике. Именно он первый обнаружил наличие выталкивающей силы и рассчитал ее значение.

    Рисунок 2. Архимед (287–212 годы до н. э.) — древнегреческий ученый и инженер

    Как подсчитать архимедову силу?
    В прошлом уроке мы получили формулу $F_{выт} = P_ж = g m_ж$. Теперь мы будем называть эту силу архимедовой $F_A$.

    Из выше рассмотренных опытов мы можем выразить массу вытесненной жидкости через ее плотность и объем тела, который эту жидкость вытеснил (они одинаковы): $m_ж = \rho_ж \cdot V_т$. Получим формулу для архимедовой силы.

    $F_A = g \rho_ж V_т$.

    От чего зависит архимедова сила?

    Взгляните еще раз на формулу: $F_A = g \rho_ж V_т$.

    Ясно видно, что архимедова сила зависит только от плотности жидкости и от объема тела, которое мы погружаем в эту жидкость.

    Если мы будем погружать в одну и ту же жидкость тела разной плотности и разной формы (рисунок 3), то значение силы меняться не будет (при условии, что эти тела будут обладать одинаковым объемом).

    Рисунок 3. Демонстрация равенства силы Архимеда для тел одинакового объема, погруженных в одну и ту же жидкость

    Определение веса тела, погруженного в жидкость или газ

    На тело, погруженное в жидкость (или в газ), действуют две силы: сила тяжести и архимедова сила. Направлены они в противоположные стороны. Вес тела в жидкости $P_1$ будет меньше веса тела в вакууме $P$ на архимедову силу $F_A$. То есть:
    $P_1 = P \space − \space F_A = gm \space − \space gm_ж$.

    Если тело погружено в жидкость или газ, то его вес уменьшается на вес вытесненной им жидкости или газа.

    Пример задачи

    Определите выталкивающую силу, которая будет действовать на камень объемом $2.6 \space м^3$, лежащий на морском дне.

    Дано:
    $V_т = 2.6 \space м^3$
    $\rho_ж = 1030 \frac{кг}{м^3}$
    $g = 9.8 \frac{Н}{кг}$

    $F_A — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Сила Архимеда рассчитывается по формуле:
    $F_A = g \rho_ж V_т$.

    Подставим численные значения величин и рассчитаем эту силу:
    $F_A = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 1030 \frac{кг}{ м^3} \cdot 2.6 \space м^3 \approx 26 244 \space Н \approx 26.2 \space кН$.

    Ответ: $F_A \approx 26,2 \space кН$.

    Забавное дополнение: легенда об Архимеде

    Архимед, великий изобретатель, шокировал своих современников гениальными открытиями. Его имя упоминается во множестве легенд, но одна из них стала наиболее известной: легенда о том, как Архимед пришел к открытию выталкивающей силы.

    Царь Гиерон поручил Архимеду проверить работу мастера, который изготовил для него золотую корону.

    Долгое время ученый не мог найти ответ: как определить количество некачественных примесей? Проблема заключалась в том, что определить ее объем — сложная задача. По легенде озарение настигло Архимеда, когда он принимал ванну.

    Ученый заметил, что из ванны вылилась вода, когда он залез в нее. И здесь его посетила гениальная мысль. Все вы слышали его известную цитату: «Эврика! Эврика!» (в переводе означает: «Нашел!  Нашел!»).

    Так Архимед победно выкрикивал свою фразу, потрясенный своим открытием, что она дошла в виде легенды и до наших времен.

    Упражнения

    Упражнение №1

    К коромыслу весов подвешены два цилиндра одинаковой массы: свинцовый и алюминиевый (рисунок 4). Весы находятся в равновесии. Нарушится ли равновесие весов, если оба цилиндра одновременно погрузить в воду; в спирт? Ответ обоснуйте. Проверьте его на опыте. Как зависит выталкивающая сила от объема тела?

    Рисунок 4. Цилиндры одинаковой массы, но изготовленные из разных материалов

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Когда мы погрузим цилиндры в жидкость, на каждый их них будет действовать сила Архимеда. Если эти силы будут равны, то весы останутся в равновесии.

    Запишем формулы архимедовой силы для каждого цилиндра.
    Для свинцового цилиндра:
    $F_{A1} = g \rho_ж V_1$.
    Для алюминиевого цилиндра:
    $F_{A2} = g \rho_ж V_2$.

    Мы видим, что равенство этих сил зависит от объемов цилиндров. Они равны? Нет, они имеют одинаковые массы, но разные плотности. Цилиндр из алюминия будет обладать большим объемом, чем свинцовый цилиндр ($V = \frac{m}{\rho}$). Значит, на алюминиевый цилиндр будет действовать большая выталкивающая сила, чем на свинцовый.

    Если мы проверим это на опыте, то увидим подтверждение нашим выводам (рисунок 5).

    Рисунок 5. Погружение цилиндров из разных материалов в жидкости

    При этом весы выйдут из равновесия в случае и с водой (рисунок 5, а), и со спиртом (рисунок 5, б). Так как мы опускаем цилиндры одновременно в один и тот же тип жидкости, значение архимедовой силы, действующей на цилиндры, будет различаться только в зависимости от объемов этих цилиндров — свинцовый перевесит алюминиевый в любой жидкости.

    Заметим, что в случае погружения в воду, архимедова сила будет больше, чем в случае погружения в спирт. Это объясняется тем, что вода имеет большую плотность, чем спирт.

    Упражнение №2

    К коромыслу весов подвешены два алюминиевых цилиндра одинакового объема. Нарушится ли равновесие весов, если один цилиндр погрузить в воду, а другой — в спирт? Ответ обоснуйте. Зависит ли выталкивающая сила от плотности жидкости?

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Если один цилиндр погрузить в воду, а другой — в спирт, то равновесие весов нарушится (рисунок 6). На цилиндр, находящийся в воде, будет действовать большая архимедова сила.

    Рисунок 6. Зависимость величины архимедовой силы от плотности жидкости

    Так происходит, потому что архимедова сила зависит от объема погруженного тела (а они у нас одинаковые: $V_1 = V_2 = V$) и от плотности жидкости:
    $F_А = g \rho_ж V$.
    Плотность спирта ($800 \frac{кг}{м^3}$) меньше плотности воды ($1000 \frac{кг}{м^3}$). Значит, на цилиндр, погруженный в воду, будет действовать большая архимедова сила, чем на тот, что погружен в спирт.

    Упражнение №3

    Объем куска железа равен $0.1 \space дм^3$. Какая выталкивающая сила будет на него действовать при полном его погружении в воду; в керосин?

    Дано:
    $V = 0.1 \space дм^3$
    $g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
    $\rho_1 = 1000 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_2 = 800 \frac{кг}{м^3}$

    СИ:
    $V = 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3$

    $F_{А1} — ?$
    $F_{А2} — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Рассчитаем архимедову силу, которая будет действовать на кусок железа в воде:
    $F_{А1} = g \rho_1 V$,
    $F_{А1} = 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 0.98 \space Н \approx 1 \space Н$.

    Теперь рассчитаем архимедову силу, которая будет действовать на кусок железа в керосине:
    $F_{А2} = g \rho_2 V$,
    $F_{А2} = 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 0.784 \space Н \approx 0.8 \space Н$.

    Ответ: $F_{А1} \approx 1 \space Н$, $F_{А2} \approx 0.8 \space Н$.

    Упражнение №4

    Бетонная плита объемом $2 \space м^3$ погружена в воду. Какую силу необходимо приложить, чтобы удержать ее в воде; в воздухе?

    Дано:
    $V = 2 \space м^3$
    $g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
    $\rho_1 = 1000 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_2 = 1.29 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_б = 2300 \frac{кг}{м^3}$

    $F_1 — ?$
    $F_2 — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Бетонная плита находится в воде. На нее действует сила тяжести и архимедова сила. Они направлены противоположно друг другу и будут иметь разные величины. Разность этих сил — и будет искомая сила $F_1$, которую нужно приложить, чтобы удержать бетонную плиту в воде (чтобы она не опускалась на дно и не всплывала):
    $F_1 = F_{тяж} \space − \space F_{А1}$.

    Сила тяжести рассчитывается по формуле:
    $F_{тяж} = gm$.
    Массу бетонной плиты мы можем выразить через ее плотность и объем:
    $m = \rho_б V$,
    $F_{тяж} = g \rho_б V$.

    Архимедова сила, действующая на бетонную плиту в воде:
    $F_{А1} = g \rho_1 V$.

    Подставим силу тяжести и архимедову силу в формулу и рассчитаем $F_1$:
    $F_1 = F_{тяж} \space − \space F_{А1} = g \rho_б V \space − \space g \rho_1 V = gV \cdot (\rho_б \space − \space \rho_1)$,
    $F_1 = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 2 \space м^3 \cdot (2300 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1000 \frac{кг}{м^3}) = 25 \space 480 \space Н \approx 25 \space кН$.

    Используем ту же формулу для того, чтобы рассчитать силу $F_2$, которую нужно приложить, чтобы удержать бетонную плиту в воздухе:
    $F_2 = gV \cdot (\rho_б \space − \space \rho_2)$,
    $F_2 = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 2 \space м^3 \cdot (2300 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1.29 \frac{кг}{м^3}) \approx 45 \space 054 \space Н \approx 45 \space кН$.

    Ответ: $F_1 \approx 25 \space кН$, $F_2 \approx 45 \space Н$.

    Упражнение №5

    Предположив, что корона царя Гиерона в воздухе весит $20 \space Н$, а в воде — $18.75 \space Н$, вычислите плотность вещества короны. Полагая, что к золоту было подмешано только серебро, определите, сколько в короне было золота и сколько серебра. При решении задачи плотность золота считайте равной $20 \space 000 \frac{кг}{м^3}$, плотность серебра — $10 \space 000 \frac{кг}{м^3}$. Каков был бы объем короны из чистого золота?

    Дано:
    $P_1 = 20 \space Н$
    $P_2 = 18.75 \space Н$
    $\rho_з = 20 \space 000 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_с = 10 \space 000 \frac{кг}{м^3}$
    $g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
    $\rho_1 = 1.29 \frac{кг}{м^3}$
    $\rho_2 = 1000 \frac{кг}{м^3}$

    $\rho — ?$
    $m_з — ?$
    $m_с — ?$
    $V_1 — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Вес короны в воздухе $P_1$ будет меньше веса тела в вакууме $P$ на архимедову силу $F_{A1}$. То есть:
    $P_1 = P \space − \space F_{A1}$.

    Значит, вес короны в вакууме будет равен сумме ее веса в воздухе и архимедовой силы:
    $P = P_1 \space + \space F_{А1}$,
    $gm = P_1 \space + \space g \rho_1 V$.

    Теперь запишем такое же уравнение для веса короны в воде:
    $gm = P_2 \space + \space g \rho_2 V$.

    Левые части уравнений у нас равны, поэтому мы можем приравнять правые части друг к другу:
    $P_1 \space + \space g \rho_1 V = P_2 \space + \space g \rho_2 V$.
    Перенесем элементы, содержащие неизвестный объем вправо:
    $P_1 \space − \space P_2 = g \rho_2 V \space − \space g \rho_1 V$,
    $P_1 \space − \space P_2 = gV (\rho_2 \space − \space \rho_1)$.

    Выразим отсюда объем короны и рассчитаем его:
    $V = \frac{P_1 \space − \space P_2}{g (\rho_2 \space − \space \rho_1)}$,
    $V = \frac{20 \space Н \space − \space 18.75 \space Н}{9.8 \frac{Н}{кг} (1000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1.29 \frac{кг}{м^3})} = \frac{1.25}{9787} \space м^3 = 12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

    Используем одно из первых уравнений для веса короны в вакууме и в воздухе:
    $gm = P_1 \space + \space g \rho_1 V$.
    Выразим отсюда массу короны и рассчитаем ее:
    $m = \frac{P_1 \space + \space g \rho_1 V}{g}$,
    $m = \frac{20 \space Н \space + \space 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 1.29 \frac{кг}{м^3} \cdot 12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3}{9.8 \frac{Н}{кг}} \approx 2.04 \space кг$.

    Теперь мы знаем массу и объем короны. Рассчитаем ее плотность:
    $\rho = \frac{m}{V}$,
    $\rho = \frac{2.04 \space кг}{12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3} \approx 16 \space 000 \frac{кг}{м^3}$.

    Корона состоит из серебра и золота. Это означает, что ее общий объем мы можем записать в виде суммы объемов серебра и золота, ее составляющих:
    $V = V_с \space + \space V_з$.
    То же самое с общей массой короны:
    $m = m_с \space + \space m_з$.

    Запишем объемы через массы и плотности (а также выразим массу золота через общую массу короны и массу серебра):
    $V_с = \frac{m_с}{\rho_с}$,
    $V_з = \frac{m_з}{\rho_з} = \frac{m \space − \space m_с}{\rho_з}$.

    Подставим эти объемы в формулу для общего объема короны и выразим из нее массу серебра:
    $V = \frac{m_с}{\rho_с} \space + \space \frac{m \space − \space m_с}{\rho_з} = \frac{m_с (\rho_з \space − \space \rho_с) \space + \space \rho_с m}{\rho_с \rho_з} = m_с \cdot \frac{\rho_з \space − \space \rho_с}{\rho_с \rho_з} \space + \space \frac{m}{\rho_з}$,
    $m_с = \frac{V \space − \space \frac{m}{\rho_з}}{\frac{\rho_з \space − \space \rho_с}{\rho_с \rho_з}} = \frac{\rho_с (V \rho_з \space − \space m)}{\rho_з \space − \space \rho_с}$.

    Рассчитаем массу серебра, содержащегося в короне:
    $m_с = \frac{10 \space 000 \frac{кг}{м^3} (12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3 \cdot 20 \space 000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 2.04 \space кг)}{20 \space 000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 10 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = \frac{5200 \frac{кг^2}{м^3}}{10 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = 0.52 \space кг$.

    Теперь мы можем вычислить и количество золота в короне:
    $m_з = m \space − \space m_с$,
    $m_з = 2.04 \space кг \space − \space 0.52 \space кг = 1.52 \space кг$.

    Если бы вся корона была из золота, то ее объем был бы равен:
    $V_1 = \frac{m}{\rho_з}$,
    $V_1 = \frac{2.04 \space кг}{20 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = 10.2 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

    Ответ: $\rho \approx 16 \space 000 \frac{кг}{м^3}$, $m_з = 1.52 \space кг$, $m_с = 0.52 \space кг$, $V_1 = 10.2 \cdot 10^{-5} \space м^3$.

    Упражнение №6

    По мелким камешкам ходить босыми ногами больно. Почему человек не испытывает боли, если ходит по таким же камням в воде?

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Что означает фраза «ходить по камням»? Со стороны физики, когда мы наступаем на камни, мы давим на них своим весом: $p = \frac{F}{S} = \frac{P}{S}$.

    Когда мы оказываемся в воде, наш вес уменьшается. Это следствие действия на нас архимедовой силы. Уменьшается вес — уменьшается и давление наших стоп на камни.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение