Сила Архимеда
На прошлом уроке мы доказали с помощью опытов существование силы, действующей на тела, погруженные в жидкость или газ — выталкивающей силы. Также мы теперь знаем, что ее можно рассчитать по формуле: $F_{выт} = gm_ж = P_ж$. Но какое еще есть значение у этой силы? На этом уроке мы более подробно рассмотрим выталкивающую силу.
Выталкивающая сила и вес тела
Как можно на опыте определить, с какой силой тело, погруженное целиком в жидкость, выталкивается из жидкости?
Давайте познакомимся с таким опытом. Он представлен на рисунке 1.
Подвесим на пружину небольшую емкость для жидкости и тело цилиндрической формы ниже. На конце пружины у нас расположена стрелка-указатель. Она отмечает растяжение пружины на штативе (рисунок 1, а). Таким образом, мы видим вес тела в воздухе.
Теперь опустим наше тело в большой сосуд. Сосуд имеет трубку для слива и наполнен жидкостью до уровня этой трубки (рисунок 1, б).
Когда мы полностью опустим тело в сосуд, часть жидкости из него выльется через трубку для слива в стакан. Объем этой жидкости будет равен объему тела. Мы уже знаем, что на тело действует выталкивающая сила: пружина сокращается, стрелка-указатель поднимается, вес тела в жидкости становится меньше.
А теперь возьмем жидкость, которая вылилась в стакан. Зальем ее в емкость, которая также подвешена к пружине (рисунок 1, в). Теперь стрелка-указатель вернулась к своему изначальному положению.
Так чему равна эта сила? Сделаем вывод из данного опыта.
Сила, выталкивающая целиком погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости в объеме этого тела.
Если провести подобный опыт с газом, а не с жидкостью, то мы получим, что сила, выталкивающая тело из газа, равна весу газа, взятого в объеме тела.
Сила Архимеда
Как называют силу, которая выталкивает тела, погруженные в жидкости и газы?
Теперь мы добавим, что эту выталкивающую силу называют архимедовой силой. Архимед (рисунок 2) — древнегреческий ученый и инженер, сделавший множество открытий и в математике, и в физике. Именно он первый обнаружил наличие выталкивающей силы и рассчитал ее значение.
Как подсчитать архимедову силу?
В прошлом уроке мы получили формулу $F_{выт} = P_ж = g m_ж$. Теперь мы будем называть эту силу архимедовой $F_A$.
Из выше рассмотренных опытов мы можем выразить массу вытесненной жидкости через ее плотность и объем тела, который эту жидкость вытеснил (они одинаковы): $m_ж = \rho_ж \cdot V_т$. Получим формулу для архимедовой силы.
$F_A = g \rho_ж V_т$.
От чего зависит архимедова сила?
Взгляните еще раз на формулу: $F_A = g \rho_ж V_т$.
Ясно видно, что архимедова сила зависит только от плотности жидкости и от объема тела, которое мы погружаем в эту жидкость.
Если мы будем погружать в одну и ту же жидкость тела разной плотности и разной формы (рисунок 3), то значение силы меняться не будет (при условии, что эти тела будут обладать одинаковым объемом).
Определение веса тела, погруженного в жидкость или газ
На тело, погруженное в жидкость (или в газ), действуют две силы: сила тяжести и архимедова сила. Направлены они в противоположные стороны. Вес тела в жидкости $P_1$ будет меньше веса тела в вакууме $P$ на архимедову силу $F_A$. То есть:
$P_1 = P \space − \space F_A = gm \space − \space gm_ж$.
Если тело погружено в жидкость или газ, то его вес уменьшается на вес вытесненной им жидкости или газа.
Пример задачи
Определите выталкивающую силу, которая будет действовать на камень объемом $2.6 \space м^3$, лежащий на морском дне.
Дано:
$V_т = 2.6 \space м^3$
$\rho_ж = 1030 \frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
$F_A — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Сила Архимеда рассчитывается по формуле:
$F_A = g \rho_ж V_т$.
Подставим численные значения величин и рассчитаем эту силу:
$F_A = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 1030 \frac{кг}{ м^3} \cdot 2.6 \space м^3 \approx 26 244 \space Н \approx 26.2 \space кН$.
Ответ: $F_A \approx 26,2 \space кН$.
Забавное дополнение: легенда об Архимеде
Архимед, великий изобретатель, шокировал своих современников гениальными открытиями. Его имя упоминается во множестве легенд, но одна из них стала наиболее известной: легенда о том, как Архимед пришел к открытию выталкивающей силы.
Царь Гиерон поручил Архимеду проверить работу мастера, который изготовил для него золотую корону.
Долгое время ученый не мог найти ответ: как определить количество некачественных примесей? Проблема заключалась в том, что определить ее объем — сложная задача. По легенде озарение настигло Архимеда, когда он принимал ванну.
Ученый заметил, что из ванны вылилась вода, когда он залез в нее. И здесь его посетила гениальная мысль. Все вы слышали его известную цитату: «Эврика! Эврика!» (в переводе означает: «Нашел! Нашел!»).
Так Архимед победно выкрикивал свою фразу, потрясенный своим открытием, что она дошла в виде легенды и до наших времен.
Упражнения
Упражнение №1
К коромыслу весов подвешены два цилиндра одинаковой массы: свинцовый и алюминиевый (рисунок 4). Весы находятся в равновесии. Нарушится ли равновесие весов, если оба цилиндра одновременно погрузить в воду; в спирт? Ответ обоснуйте. Проверьте его на опыте. Как зависит выталкивающая сила от объема тела?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Когда мы погрузим цилиндры в жидкость, на каждый их них будет действовать сила Архимеда. Если эти силы будут равны, то весы останутся в равновесии.
Запишем формулы архимедовой силы для каждого цилиндра.
Для свинцового цилиндра:
$F_{A1} = g \rho_ж V_1$.
Для алюминиевого цилиндра:
$F_{A2} = g \rho_ж V_2$.
Мы видим, что равенство этих сил зависит от объемов цилиндров. Они равны? Нет, они имеют одинаковые массы, но разные плотности. Цилиндр из алюминия будет обладать большим объемом, чем свинцовый цилиндр ($V = \frac{m}{\rho}$). Значит, на алюминиевый цилиндр будет действовать большая выталкивающая сила, чем на свинцовый.
Если мы проверим это на опыте, то увидим подтверждение нашим выводам (рисунок 5).
При этом весы выйдут из равновесия в случае и с водой (рисунок 5, а), и со спиртом (рисунок 5, б). Так как мы опускаем цилиндры одновременно в один и тот же тип жидкости, значение архимедовой силы, действующей на цилиндры, будет различаться только в зависимости от объемов этих цилиндров — свинцовый перевесит алюминиевый в любой жидкости.
Заметим, что в случае погружения в воду, архимедова сила будет больше, чем в случае погружения в спирт. Это объясняется тем, что вода имеет большую плотность, чем спирт.
Упражнение №2
К коромыслу весов подвешены два алюминиевых цилиндра одинакового объема. Нарушится ли равновесие весов, если один цилиндр погрузить в воду, а другой — в спирт? Ответ обоснуйте. Зависит ли выталкивающая сила от плотности жидкости?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Если один цилиндр погрузить в воду, а другой — в спирт, то равновесие весов нарушится (рисунок 6). На цилиндр, находящийся в воде, будет действовать большая архимедова сила.
Так происходит, потому что архимедова сила зависит от объема погруженного тела (а они у нас одинаковые: $V_1 = V_2 = V$) и от плотности жидкости:
$F_А = g \rho_ж V$.
Плотность спирта ($800 \frac{кг}{м^3}$) меньше плотности воды ($1000 \frac{кг}{м^3}$). Значит, на цилиндр, погруженный в воду, будет действовать большая архимедова сила, чем на тот, что погружен в спирт.
Упражнение №3
Объем куска железа равен $0.1 \space дм^3$. Какая выталкивающая сила будет на него действовать при полном его погружении в воду; в керосин?
Дано:
$V = 0.1 \space дм^3$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
$\rho_1 = 1000 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_2 = 800 \frac{кг}{м^3}$
СИ:
$V = 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3$
$F_{А1} — ?$
$F_{А2} — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем архимедову силу, которая будет действовать на кусок железа в воде:
$F_{А1} = g \rho_1 V$,
$F_{А1} = 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 0.98 \space Н \approx 1 \space Н$.
Теперь рассчитаем архимедову силу, которая будет действовать на кусок железа в керосине:
$F_{А2} = g \rho_2 V$,
$F_{А2} = 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.1 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 0.784 \space Н \approx 0.8 \space Н$.
Ответ: $F_{А1} \approx 1 \space Н$, $F_{А2} \approx 0.8 \space Н$.
Упражнение №4
Бетонная плита объемом $2 \space м^3$ погружена в воду. Какую силу необходимо приложить, чтобы удержать ее в воде; в воздухе?
Дано:
$V = 2 \space м^3$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
$\rho_1 = 1000 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_2 = 1.29 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_б = 2300 \frac{кг}{м^3}$
$F_1 — ?$
$F_2 — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Бетонная плита находится в воде. На нее действует сила тяжести и архимедова сила. Они направлены противоположно друг другу и будут иметь разные величины. Разность этих сил — и будет искомая сила $F_1$, которую нужно приложить, чтобы удержать бетонную плиту в воде (чтобы она не опускалась на дно и не всплывала):
$F_1 = F_{тяж} \space − \space F_{А1}$.
Сила тяжести рассчитывается по формуле:
$F_{тяж} = gm$.
Массу бетонной плиты мы можем выразить через ее плотность и объем:
$m = \rho_б V$,
$F_{тяж} = g \rho_б V$.
Архимедова сила, действующая на бетонную плиту в воде:
$F_{А1} = g \rho_1 V$.
Подставим силу тяжести и архимедову силу в формулу и рассчитаем $F_1$:
$F_1 = F_{тяж} \space − \space F_{А1} = g \rho_б V \space − \space g \rho_1 V = gV \cdot (\rho_б \space − \space \rho_1)$,
$F_1 = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 2 \space м^3 \cdot (2300 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1000 \frac{кг}{м^3}) = 25 \space 480 \space Н \approx 25 \space кН$.
Используем ту же формулу для того, чтобы рассчитать силу $F_2$, которую нужно приложить, чтобы удержать бетонную плиту в воздухе:
$F_2 = gV \cdot (\rho_б \space − \space \rho_2)$,
$F_2 = 9.8 \frac {Н}{кг} \cdot 2 \space м^3 \cdot (2300 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1.29 \frac{кг}{м^3}) \approx 45 \space 054 \space Н \approx 45 \space кН$.
Ответ: $F_1 \approx 25 \space кН$, $F_2 \approx 45 \space Н$.
Упражнение №5
Предположив, что корона царя Гиерона в воздухе весит $20 \space Н$, а в воде — $18.75 \space Н$, вычислите плотность вещества короны. Полагая, что к золоту было подмешано только серебро, определите, сколько в короне было золота и сколько серебра. При решении задачи плотность золота считайте равной $20 \space 000 \frac{кг}{м^3}$, плотность серебра — $10 \space 000 \frac{кг}{м^3}$. Каков был бы объем короны из чистого золота?
Дано:
$P_1 = 20 \space Н$
$P_2 = 18.75 \space Н$
$\rho_з = 20 \space 000 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_с = 10 \space 000 \frac{кг}{м^3}$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
$\rho_1 = 1.29 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_2 = 1000 \frac{кг}{м^3}$
$\rho — ?$
$m_з — ?$
$m_с — ?$
$V_1 — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Вес короны в воздухе $P_1$ будет меньше веса тела в вакууме $P$ на архимедову силу $F_{A1}$. То есть:
$P_1 = P \space − \space F_{A1}$.
Значит, вес короны в вакууме будет равен сумме ее веса в воздухе и архимедовой силы:
$P = P_1 \space + \space F_{А1}$,
$gm = P_1 \space + \space g \rho_1 V$.
Теперь запишем такое же уравнение для веса короны в воде:
$gm = P_2 \space + \space g \rho_2 V$.
Левые части уравнений у нас равны, поэтому мы можем приравнять правые части друг к другу:
$P_1 \space + \space g \rho_1 V = P_2 \space + \space g \rho_2 V$.
Перенесем элементы, содержащие неизвестный объем вправо:
$P_1 \space − \space P_2 = g \rho_2 V \space − \space g \rho_1 V$,
$P_1 \space − \space P_2 = gV (\rho_2 \space − \space \rho_1)$.
Выразим отсюда объем короны и рассчитаем его:
$V = \frac{P_1 \space − \space P_2}{g (\rho_2 \space − \space \rho_1)}$,
$V = \frac{20 \space Н \space − \space 18.75 \space Н}{9.8 \frac{Н}{кг} (1000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 1.29 \frac{кг}{м^3})} = \frac{1.25}{9787} \space м^3 = 12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3$.
Используем одно из первых уравнений для веса короны в вакууме и в воздухе:
$gm = P_1 \space + \space g \rho_1 V$.
Выразим отсюда массу короны и рассчитаем ее:
$m = \frac{P_1 \space + \space g \rho_1 V}{g}$,
$m = \frac{20 \space Н \space + \space 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 1.29 \frac{кг}{м^3} \cdot 12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3}{9.8 \frac{Н}{кг}} \approx 2.04 \space кг$.
Теперь мы знаем массу и объем короны. Рассчитаем ее плотность:
$\rho = \frac{m}{V}$,
$\rho = \frac{2.04 \space кг}{12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3} \approx 16 \space 000 \frac{кг}{м^3}$.
Корона состоит из серебра и золота. Это означает, что ее общий объем мы можем записать в виде суммы объемов серебра и золота, ее составляющих:
$V = V_с \space + \space V_з$.
То же самое с общей массой короны:
$m = m_с \space + \space m_з$.
Запишем объемы через массы и плотности (а также выразим массу золота через общую массу короны и массу серебра):
$V_с = \frac{m_с}{\rho_с}$,
$V_з = \frac{m_з}{\rho_з} = \frac{m \space − \space m_с}{\rho_з}$.
Подставим эти объемы в формулу для общего объема короны и выразим из нее массу серебра:
$V = \frac{m_с}{\rho_с} \space + \space \frac{m \space − \space m_с}{\rho_з} = \frac{m_с (\rho_з \space − \space \rho_с) \space + \space \rho_с m}{\rho_с \rho_з} = m_с \cdot \frac{\rho_з \space − \space \rho_с}{\rho_с \rho_з} \space + \space \frac{m}{\rho_з}$,
$m_с = \frac{V \space − \space \frac{m}{\rho_з}}{\frac{\rho_з \space − \space \rho_с}{\rho_с \rho_з}} = \frac{\rho_с (V \rho_з \space − \space m)}{\rho_з \space − \space \rho_с}$.
Рассчитаем массу серебра, содержащегося в короне:
$m_с = \frac{10 \space 000 \frac{кг}{м^3} (12.8 \cdot 10^{-5} \space м^3 \cdot 20 \space 000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 2.04 \space кг)}{20 \space 000 \frac{кг}{м^3} \space − \space 10 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = \frac{5200 \frac{кг^2}{м^3}}{10 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = 0.52 \space кг$.
Теперь мы можем вычислить и количество золота в короне:
$m_з = m \space − \space m_с$,
$m_з = 2.04 \space кг \space − \space 0.52 \space кг = 1.52 \space кг$.
Если бы вся корона была из золота, то ее объем был бы равен:
$V_1 = \frac{m}{\rho_з}$,
$V_1 = \frac{2.04 \space кг}{20 \space 000 \frac{кг}{м^3}} = 10.2 \cdot 10^{-5} \space м^3$.
Ответ: $\rho \approx 16 \space 000 \frac{кг}{м^3}$, $m_з = 1.52 \space кг$, $m_с = 0.52 \space кг$, $V_1 = 10.2 \cdot 10^{-5} \space м^3$.
Упражнение №6
По мелким камешкам ходить босыми ногами больно. Почему человек не испытывает боли, если ходит по таким же камням в воде?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Что означает фраза «ходить по камням»? Со стороны физики, когда мы наступаем на камни, мы давим на них своим весом: $p = \frac{F}{S} = \frac{P}{S}$.
Когда мы оказываемся в воде, наш вес уменьшается. Это следствие действия на нас архимедовой силы. Уменьшается вес — уменьшается и давление наших стоп на камни.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти