3. Стереометрия: Прямоугольный параллелепипед
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=10,$ $AD=3,$ $AA_1=9.$
Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.
$$V_{пар-да} = abc = 10 \cdot 3 \cdot 9 = 270$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 270:2 = 135$$
20
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=7,$ $AD=6,$ $AA_1=10.$
Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.
$$V_{пар-да} = abc = 7 \cdot 6 \cdot 10 = 420$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 420:2 = 210$$
20
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=7,$ $AD=2,$ $AA_1=6.$
Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.
$$V_{пар-да} = abc = 7 \cdot 2 \cdot 6 = 84$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 84:2 = 42$$
20
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $15.$ Найдите объём параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \cdot 15 = 30 $$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 30 \cdot 30 \cdot 15 = 13 \space 500$$
20
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $3.$ Найдите объём параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \cdot 3 = 6 $$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 6 \cdot 6 \cdot 3 = 108$$
20
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $2.$ Найдите объём параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \cdot 2 = 4 $$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$$
20