18. Задача с параметром: использование монотонности, оценок

Пусть $t = \sin x$, тогда $-1 \leq t \leq 1$ и неравенство примет вид: $$|3t + a^2 -22| + |7t + a + 12| \leq 11t + |a^2 + a -20| + 11$$ Рассмотрим функции:
$f(t) = |3t + a^2 -22| + |7t + a + 12|$ — выпуклая кусочно-линейная функция,
$g(t) = 11t + |a^2 + a -20| + 11$ — линейная функция с угловым коэффициентом $11.$

Разность $g(t) -f(t)$ является возрастающей функцией, так как угловой коэффициент $g(t)$ больше максимального углового коэффициента $f(t)$ $(3+7=10 < 11).$

Поэтому если неравенство выполняется при $t = -1,$ то оно будет выполняться и при всех $t \geq -1,$ в частности при всех $t \in [-1, 1].$

Подставим $t = -1{:}$
$$|3\cdot(-1) + a^2 -22| + |7\cdot(-1) + a + 12| \leq 11\cdot(-1) + |a^2 + a -20| + 11$$
$$|a^2 -25| + |a + 5| \leq -11 + |a^2 + a -20| + 11$$
$$|a^2 -25| + |a + 5| \leq |a^2 + a -20|$$

Заметим, что $a^2 + a -20 = (a + 5)(a -4)$, а $a^2 -25 = (a -5)(a + 5)$. Тогда:
$$|a + 5|\cdot|a -5| + |a + 5| \leq |a + 5|\cdot|a -4|$$
$$|a + 5|(|a -5| + 1 -|a -4|) \leq 0$$

Так как $|a + 5| \geq 0$, то:
$$|a -5| + 1 -|a -4| \leq 0$$
$$|a -5| -|a -4| \leq -1$$

Рассмотрим возможные случаи:

$1.$ $a \geq 5$: $(a -5) -(a -4) = -1 \leq -1$ — верно
$2.$ $4 < a < 5$: $(5 -a) -(a -4) = 9 -2a \leq -1$ ⇒ $2a \geq 10$ ⇒ $a \geq 5$ — нет решений
$3.$ $a \leq 4$: $(5 -a) -(4 -a) = 1 \leq -1$ — неверно

Также при $a = -5$: $| -5 + 5 | = 0,$ неравенство выполняется.

Ответ: $a = -5$ или $a \geq 5.$

Ответ: ${-5} \cup [5; +\infty).$

Пусть $t = x + 2,$ тогда уравнение примет вид:$$a^2 + 11|t| + 3\sqrt{t^2 + 9} = 5a + 2|t-2a|$$ Введем функции: $$f(t) = 3\sqrt{t^2 + 9} + a^2-5a, \quad g(t) = 2|t-2a|-11|t|$$ Исследуем функцию $g(t){:}$

При $t > 0$ функция $g(t)$ убывает от $g(0)$ до $-\infty.$
При $t < 0$ функция $g(t)$ возрастает от $-\infty$ до $g(0).$

Следовательно, максимальное значение функции $g(t)$ достигается при $t = 0{:}$
$$g(0) = 2|0 -2a| -11|0| = 4|a|$$

Функция $f(t)$ принимает минимальное значение при $t = 0{:}$
$$f(0) = 3\sqrt{0^2 + 9} + a^2 -5a = 9 + a^2 -5a$$
При этом $f(t)$ возрастает на $(0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0),$ принимая значения от $f(0)$ до $+\infty.$

Для существования решения уравнения необходимо выполнение условия:
$$\max(g(t)) \geq \min(f(t)) \Rightarrow 4|a| \geq a^2 -5a + 9$$

Рассмотрим два случая:

$1.$ $a \geq 0$: $4a \geq a^2 -5a + 9 \Rightarrow a^2 -9a + 9 \leq 0.$

Решим неравенство:
$$a^2 -9a + 9 \leq 0 \Rightarrow \frac{9 -3\sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$$

$2.$ $a < 0$: $4|a| = -4a \geq a^2 -5a + 9 \Rightarrow a^2 -a + 9 \leq 0.$

Дискриминант: $D = 1 -36 = -35 < 0$, значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: $\left[\dfrac{9 -3\sqrt{5}}{2}; \dfrac{9 + 3\sqrt{5}}{2}\right].$