19. Задача с параметром: #212186

Пусть $t = x + 2,$ тогда уравнение примет вид:$$a^2 + 11|t| + 3\sqrt{t^2 + 9} = 5a + 2|t-2a|$$ Введем функции: $$f(t) = 3\sqrt{t^2 + 9} + a^2-5a, \quad g(t) = 2|t-2a|-11|t|$$ Исследуем функцию $g(t){:}$

При $t > 0$ функция $g(t)$ убывает от $g(0)$ до $-\infty.$
При $t < 0$ функция $g(t)$ возрастает от $-\infty$ до $g(0).$

Следовательно, максимальное значение функции $g(t)$ достигается при $t = 0{:}$
$$g(0) = 2|0 -2a| -11|0| = 4|a|$$

Функция $f(t)$ принимает минимальное значение при $t = 0{:}$
$$f(0) = 3\sqrt{0^2 + 9} + a^2 -5a = 9 + a^2 -5a$$
При этом $f(t)$ возрастает на $(0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0),$ принимая значения от $f(0)$ до $+\infty.$

Для существования решения уравнения необходимо выполнение условия:
$$\max(g(t)) \geq \min(f(t)) \Rightarrow 4|a| \geq a^2 -5a + 9$$

Рассмотрим два случая:

$1.$ $a \geq 0$: $4a \geq a^2 -5a + 9 \Rightarrow a^2 -9a + 9 \leq 0.$

Решим неравенство:
$$a^2 -9a + 9 \leq 0 \Rightarrow \frac{9 -3\sqrt{5}}{2} \leq a \leq \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$$

$2.$ $a < 0$: $4|a| = -4a \geq a^2 -5a + 9 \Rightarrow a^2 -a + 9 \leq 0.$

Дискриминант: $D = 1 -36 = -35 < 0$, значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: $\left[\dfrac{9 -3\sqrt{5}}{2}; \dfrac{9 + 3\sqrt{5}}{2}\right].$