13. Уравнения: тригонометрия и показательные выражения

а) Преобразуем уравнение:

1. Сделаем замену переменной:
   $$t = 4^{\sin x}$$
   Тогда $16^{\sin x} = t^2$
2. Получим квадратное уравнение:
   $$t^2 -6t + 8 = 0$$
   Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 4$
3. Вернемся к исходной переменной:

• Для $t = 2$:
  $$4^{\sin x} = 2 \Rightarrow 2^{2\sin x} = 2^1 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$$
  Решения: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• Для $t = 4$:
  $$4^{\sin x} = 4 \Rightarrow \sin x = 1$$
  Решения: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• $k = -2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} — 4\pi = -\dfrac{23\pi}{6}$

2. Для $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

3. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$:

• $k = -2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} — 4\pi = -\dfrac{7\pi}{2}$

Ответ (б):
$$-\dfrac{23\pi}{6},\ -\dfrac{7\pi}{2}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{23\pi}{6},\ -\dfrac{7\pi}{2}$

а) Преобразуем уравнение:

1. Используем свойство периодичности синуса:
   $$\sin(x+\pi) = -\sin x$$
2. Подставляем в уравнение:
   $$4^{\sin x} + 4^{-\sin x} = \dfrac{5}{2}$$
3. Сделаем замену переменной:
   $$t = 4^{\sin x}$$
   Тогда уравнение принимает вид:
   $$t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}$$
4. Решаем полученное уравнение:
   $$2t^2 — 5t + 2 = 0$$
   Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = \dfrac{1}{2}$
5. Возвращаемся к исходной переменной:

• Для $t = 2$:
  $$4^{\sin x} = 2 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$$
• Для $t = \dfrac{1}{2}$:
  $$4^{\sin x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sin x = -\dfrac{1}{2}$$

1. Находим общее решение:
   $$x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):
$$x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k$:

• $k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 3\pi = \dfrac{19\pi}{6}$
• $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{13\pi}{6} \notin \left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$

2. Для $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k$:

• $k = 3 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 3\pi = \dfrac{17\pi}{6}$
• $k = 4 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{23\pi}{6}$

Ответ (б):
$$\dfrac{17\pi}{6},\ \dfrac{19\pi}{6},\ \dfrac{23\pi}{6}$$

Итоговые ответы:
а) $\pm\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{17\pi}{6},\ \dfrac{19\pi}{6},\ \dfrac{23\pi}{6}$