14. Уравнения: #194665

а) Преобразуем уравнение:

1. Сделаем замену переменной:
   $$t = 4^{\sin x}$$
   Тогда $16^{\sin x} = t^2$
2. Получим квадратное уравнение:
   $$t^2 -6t + 8 = 0$$
   Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 4$
3. Вернемся к исходной переменной:

• Для $t = 2$:
  $$4^{\sin x} = 2 \Rightarrow 2^{2\sin x} = 2^1 \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$$
  Решения: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$
• Для $t = 4$:
  $$4^{\sin x} = 4 \Rightarrow \sin x = 1$$
  Решения: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

Ответ (а):
$$x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$$ $$x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$$
где $k \in \mathbb{Z}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[-5\pi; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$:

1. Для $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• $k = -2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} — 4\pi = -\dfrac{23\pi}{6}$

2. Для $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

• Нет решений на заданном отрезке

3. Для $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$:

• $k = -2 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} — 4\pi = -\dfrac{7\pi}{2}$

Ответ (б):
$$-\dfrac{23\pi}{6},\ -\dfrac{7\pi}{2}$$

Итоговые ответы:
а) $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{23\pi}{6},\ -\dfrac{7\pi}{2}$