12. Наибольшее и наименьшее значение функций: исследование частных

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=1-\frac{36}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$1-\frac{36}{x^2}=0$$ $$\frac{36}{x^2}=1$$ $$x^2=36$$ $$x_1=6$$ $$x_2=-6$$ На отрезке $[1;9]$ лежит только точка $x=6.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(6;9].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=6$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=x+\frac{36}{x}$ в данной точке: $$y=6+\frac{36}{6}=12$$