Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2-\frac{288}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$2-\frac{288}{x^2}=0$$ $$\frac{288}{x^2}=2$$ $$x^2=144$$ $$x_1=12$$ $$x_2=-12$$ На отрезке $[0.5;20]$ лежит только точка $x=12.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $[0.5;12),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(12;20].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=12$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=2x+\frac{288}{x}+11$ в данной точке: $$y=2\cdot 12+\frac{288}{12}+11=59$$