1. Планиметрия: Решение прямоугольного треугольника
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $79^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $79$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-79=11$$
Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$79-11=68$$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $61^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $61$ градусу.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-61=29$$
Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$61-29=32$$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $73^{\circ}.$ Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-73=17$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит треугольник $ACM$ — равнобедренный, значит угол $MAC$ равен углу $ACM.$
Найдем искомый угол $MCD.$ Для этого из угла $ACD$ (который равен $45$ градусам, так как $CD$ — биссектриса) вычтем угол $ACM$: $$45-17=28$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, угол $B$ равен $81^{\circ},$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-81=9$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $AD=CD,$ значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, значит, угол $ACD$ равен углу $A.$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, угол $B$ равен $51^{\circ},$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-51=39$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $AD=CD,$ значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, значит, угол $ACD$ равен углу $A.$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $72^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $HCB$ треугольника $HCB$:$$180-90-72=18$$
Биссектриса $CD$ делит угол $C$ пополам, значит, угол $DCB$ равен $45$ градусам.
Найдем искомый угол: $$45-18=27$$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $67^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $HCB$ треугольника $HCB$:$$180-90-67=23$$
Биссектриса $CD$ делит угол $C$ пополам, значит, угол $DCB$ равен $45$ градусам.
Найдем искомый угол: $$45-23=22$$
20