1. Планиметрия: Касательная, хорда, секущая
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $72^{\circ}.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой и касательной равен половине стянутой ими дуги:$$72:2=36$$
20
Угол $ACO$ равен $29^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-29=61$$
Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-61=119$$
Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $119$ градусам.
20
Угол $ACO$ равен $35^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-35=55$$
Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-55=125$$
Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $125$ градусам.
20
Угол $ACO$ равен $21^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B.$ Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и радиусом, проведенными к одной точке равен $90$ градусам. В треугольнике $ACO$ найдем оставшийся угол $O$: $$180-90-21=69$$
Угол $O$ — центральный, значит, равен дуге, на которую опирается. Значит дуга $AB$ равна $69$ градусам.
20
Угол $ACO$ равен $18^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B.$ Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и радиусом, проведенными к одной точке равен $90$ градусам. В треугольнике $ACO$ найдем оставшийся угол $O$: $$180-90-18=72$$
Угол $O$ — центральный, значит, равен дуге, на которую опирается. Значит дуга $AB$ равна $72$ градусам.
20
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Меньшая дуга $AB$ равна $87^{\circ}.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $O$ — центральный, он опирается на дугу $AB,$ значит, равен $87$ градусам.
Углы между радиусами и касательными, равны $90$ градусам, значит углы $OBC$ и $OAC$ — прямые.
Сумма углов четырехугольника равна $360$ градусам. Найдем оставшийся угол четырехугольника $OBCA$: $$360-90-90-87 = 93$$
20
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Меньшая дуга $AB$ равна $56^{\circ}.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $O$ — центральный, он опирается на дугу $AB,$ значит, равен $56$ градусам.
Углы между радиусами и касательными, равны $90$ градусам, значит углы $OBC$ и $OAC$ — прямые.
Сумма углов четырехугольника равна $360$ градусам. Найдем оставшийся угол четырехугольника $OBCA$: $$360-90-90-56= 124$$
20