5. Начала теории вероятностей: Теоремы о вероятностях событий
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.94$. Вероятность того, что окажется меньше $15$ пассажиров, равна $0.56$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$.
Вероятность того, что в автобусе меньше $20$ пассажиров:$$P(A)=0.94$$Вероятность того, что в автобусе меньше $15$ пассажиров:$$P(B)=0.56$$Вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$, равна разности вероятностей $P(A)\spaceи\space P(B)$:
$$P=P(A)−P(B)$$$$P=0.94−0.56=0.38$$
20
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0.06$. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Вероятность того, что одна батарейка исправна:$$P=1−0.06=0.94$$Так как батарейки в упаковке независимы, вероятность того, что обе батарейки исправны, равна произведению вероятностей:$$P=0.94\cdot0.94=0.8836$$
20
В партии из $1\space000$ светодиодных ламп вероятность того, что лампа бракованная, равна $0.03$. Покупатель выбирает случайным образом две лампы из этой партии. Найдите вероятность того, что обе лампы окажутся исправными.
Вероятность того, что одна лампа исправна:$$P=1−0.03=0.97$$Так как лампы выбираются независимо, вероятность того, что обе лампы исправны, равна произведению вероятностей:$$P=0.97\cdot0.97=0.9409$$
20
На экзамене $60$ билетов, Олег не выучил $12$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Вероятность того, что Олегу попадётся невыученный билет, равна: $$\frac{12}{60}=0.2$$
Тогда вероятность того, что попадётся выученный билет, равна:$$1-0.2=0.8$$
20
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Количество возможных цифр: $10$ (от $0$ до $9$).
Количество чётных цифр: $5\space(0, 2, 4, 6, 8)$.
Вероятность того, что последняя цифра чётная:$$P_1=\frac{5}{10}=0.5$$Вероятность того, что предпоследняя цифра чётная:$$P_2=\frac{5}{10}=0.5$$Так как цифры выбираются независимо, вероятность того, что обе последние цифры чётные, равна произведению вероятностей:$$P=P_1\cdot P_2=0.5\cdot0.5=0.25$$
20
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью $0.52$. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0.3$. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Вероятность того, что А. выиграет обе партии, равна произведению вероятностей выигрыша в каждой из партий:$$P=P_1 \cdot P_2$$$$0.52\cdot0.3=0.156$$
20
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна $0.2$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна $0.15$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Вероятность того, что вопрос на тему «Вписанная окружность»: $$P(A)=0.2$$Вероятность того, что вопрос на тему «Параллелограмм»:$$P(B)=0.15$$Так как вопросы на эти темы не пересекаются, вероятность того, что достанется вопрос по одной из этих двух тем, равна сумме вероятностей:$$P(A)+P(B)=0.2+0.15=0.35$$
20
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0.97$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0.89$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вероятность того, что чайник прослужит больше года:$$P(A)=0.97$$Вероятность того, что чайник прослужит больше двух лет:$$P(B)=0.89$$Вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года, равна разности вероятностей $P(A)\spaceи\space P(B)$:$$P=P(A)−P(B)$$$$P=0.97−0.89=0.08$$
20
Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше $11$ задач, равна $0.67$. Вероятность того, что О. верно решит больше $10$ задач, равна $0.74$. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно $11$ задач.
Вероятность того, что О. решит больше $11$ задач:$$P(A)=0.67$$Вероятность того, что О. решит больше $10$ задач:$$P(B)=0.74$$Вероятность того, что О. решит ровно $11$ задач, равна разности вероятностей $P(B)\spaceи\space P(A)$:$$P=P(B)−P(A)$$$$P=0.74−0.67=0.07$$
20
В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна $0.25$. Вероятность того, что в качестве комплимента принесут рогалик, равна $0.35$. Найдите вероятность того, что в качестве комплимента от заведения посетителю И. принесут одно из двух: тарталетку с сыром или рогалик.
Так как события «Принесут тарелку с сыром» и «Принесут рогалик» несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей:$$0.25+0.35=0.6$$
20
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0.3$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Вероятность того, что один продавец занят:$$P=0.3$$Так как продавцы работают независимо, вероятность того, что все три продавца заняты одновременно, равна произведению вероятностей:$$P=P^3$$$$P=0.3^3=0.027$$
20
На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: $4$ с мясом, $8$ с капустой и $3$ с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Петя может выбрать любой из пирожков, поэтому количество всех возможных исходов: $$4+8+3=15$$Количество исходов, в которых Петя выбрал пирожок с вишней, равно $3$.
Значит, искомая вероятность равна:$$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2$$
20
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «сумма очков равна $5$»?
Найдём количество исходов, при которых сумма очков равна $5$. Перечислим все возможные комбинации:$$(1+4)(2+3)(3+2)(4+1)$$$$ Благоприятных\spaceисходов=4$$
20
В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
Вероятность потери конфеты «Грильяж» равна отношению числа благоприятных исходов к общему количеству конфет:$$\frac{1}{4}=0.25$$
20
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0.045$. В некотором городе из $1\space000$ проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила $51$ штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Частота события «гарантийный ремонт» вычисляется как отношение числа поступивших в ремонт к общему числу проданных:$$Частота=\frac{51}{1\space000}=0.051$$Разница между частотой и вероятностью:$$0.051−0.045=0.006$$
20