5. Начала теории вероятностей: все задания
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $20$ пассажиров, равна $0.94$. Вероятность того, что окажется меньше $15$ пассажиров, равна $0.56$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$.
Вероятность того, что в автобусе меньше $20$ пассажиров:$$P(A)=0.94$$Вероятность того, что в автобусе меньше $15$ пассажиров:$$P(B)=0.56$$Вероятность того, что число пассажиров будет от $15$ до $19$, равна разности вероятностей $P(A)\spaceи\space P(B)$:
$$P=P(A)−P(B)$$$$P=0.94−0.56=0.38$$
20
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0.06$. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Вероятность того, что одна батарейка исправна:$$P=1−0.06=0.94$$Так как батарейки в упаковке независимы, вероятность того, что обе батарейки исправны, равна произведению вероятностей:$$P=0.94\cdot0.94=0.8836$$
20
В партии из $1\space000$ светодиодных ламп вероятность того, что лампа бракованная, равна $0.03$. Покупатель выбирает случайным образом две лампы из этой партии. Найдите вероятность того, что обе лампы окажутся исправными.
Вероятность того, что одна лампа исправна:$$P=1−0.03=0.97$$Так как лампы выбираются независимо, вероятность того, что обе лампы исправны, равна произведению вероятностей:$$P=0.97\cdot0.97=0.9409$$
20
На чемпионате по прыжкам в воду выступают $25$ спортсменов, среди них $8$ прыгунов из России и $9$ прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Китая.
Для того чтобы найти вероятность события «шестым выступает прыгун из Китая», необходимо разделить количество благоприятствующих ему исходов на количество всех возможных исходов.
Шестым может выступать любой из $25$ спортсменов, поэтому количество всех возможных исходов равно $25$.
Количество исходов, в которых шестым выступает прыгун из Китая, равно $9$.
Значит, искомая вероятность равна: $$\frac{9}{25}=0.36$$
20
На экзамене $60$ билетов, Олег не выучил $12$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Вероятность того, что Олегу попадётся невыученный билет, равна: $$\frac{12}{60}=0.2$$
Тогда вероятность того, что попадётся выученный билет, равна:$$1-0.2=0.8$$
20
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Количество возможных цифр: $10$ (от $0$ до $9$).
Количество чётных цифр: $5\space(0, 2, 4, 6, 8)$.
Вероятность того, что последняя цифра чётная:$$P_1=\frac{5}{10}=0.5$$Вероятность того, что предпоследняя цифра чётная:$$P_2=\frac{5}{10}=0.5$$Так как цифры выбираются независимо, вероятность того, что обе последние цифры чётные, равна произведению вероятностей:$$P=P_1\cdot P_2=0.5\cdot0.5=0.25$$
20
У бабушки $25$ чашек: $3$ с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Количество чашек с синими цветами: $$25−3=22$$$$P=\frac{Количество\spaceблагоприятных\spaceисходов}{Общее\spaceколичество\spaceисходов}$$$$\frac{22}{25}=0.88$$
20
Из $300$ саженцев крыжовника в среднем $36$ не приживаются. Какова вероятность того, что случайно выбранный саженец крыжовника приживётся?
Количество саженцев, которые приживаются: $$400−36=364$$$$P=\frac{Количество\spaceблагоприятных\spaceисходов}{ Общее\spaceколичество\spaceисходов}$$$$P=\frac{364}{400}=0.91$$
20
В фирме такси в наличии $15$ легковых автомобилей: $9$ из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
На вызов может приехать любая из $15$ машин, следовательно, количество всех возможных исходов равно $15$.
Автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями: $$15−9=6$$Значит, искомая вероятность равна:$$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0.4$$
20
Фабрика выпускает наушники. В среднем на $150$ качественных пар наушников приходится $10$ пар с дефектами. Найдите вероятность того, что случайно выбранные наушники окажутся качественными. Результат округлите до сотых.
Общее количество наушников:$$150+10=160$$$$P=\frac{Качественные\spaceнаушники}{Общее\spaceколичество\spaceнаушников}$$$$P=\frac{150}{160}=0.9374\approx0.94$$
20
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью $0.52$. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью $0.3$. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Вероятность того, что А. выиграет обе партии, равна произведению вероятностей выигрыша в каждой из партий:$$P=P_1 \cdot P_2$$$$0.52\cdot0.3=0.156$$
20
Три девочки и два мальчика бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
Жребий может выпасть на любого из $5$ участников, поэтому общее количество исходов равно $5$.
Нас интересует, чтобы жребий выпал на девочку, таких исходов $3$.
$$P=\frac{Количество\spaceблагоприятных\spaceисходов}{Общее\spaceколичество\spaceисходов}$$$$P=\frac{3}{5}=0.6$$
20
Конкурс исполнителей проводится в $5$ дней. Всего заявлено $60$ выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. Все выступления поровну распределены между конкурсными днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
На третий день может быть запланировано любое из $60$ выступлений, следовательно, количество всех возможных исходов равно $60$.
Количество благоприятствующих исходов равно количеству выступлений, запланированных на третий день, и равно: $$\frac{60}{5}=12$$$$P=\frac{Количество\spaceблагоприятных\spaceисходов}{Общее\spaceколичество\spaceисходов}$$$$P=\frac{12}{60}=0.2$$
20
В группе туристов $8$ человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
В магазин может пойти любой из $8$ туристов, поэтому количество всех возможных исходов равно $8$.
Количество благоприятствующих исходов равно количеству туристов, которые пойдут в магазин, и равно $2$.
Значит, искомая вероятность равна: $$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0.25$$
20
На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна $0.2$. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна $0.15$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Вероятность того, что вопрос на тему «Вписанная окружность»: $$P(A)=0.2$$Вероятность того, что вопрос на тему «Параллелограмм»:$$P(B)=0.15$$Так как вопросы на эти темы не пересекаются, вероятность того, что достанется вопрос по одной из этих двух тем, равна сумме вероятностей:$$P(A)+P(B)=0.2+0.15=0.35$$
20
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна $0.97$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0.89$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вероятность того, что чайник прослужит больше года:$$P(A)=0.97$$Вероятность того, что чайник прослужит больше двух лет:$$P(B)=0.89$$Вероятность того, что чайник прослужит меньше двух лет, но больше года, равна разности вероятностей $P(A)\spaceи\space P(B)$:$$P=P(A)−P(B)$$$$P=0.97−0.89=0.08$$
20
Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше $11$ задач, равна $0.67$. Вероятность того, что О. верно решит больше $10$ задач, равна $0.74$. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно $11$ задач.
Вероятность того, что О. решит больше $11$ задач:$$P(A)=0.67$$Вероятность того, что О. решит больше $10$ задач:$$P(B)=0.74$$Вероятность того, что О. решит ровно $11$ задач, равна разности вероятностей $P(B)\spaceи\space P(A)$:$$P=P(B)−P(A)$$$$P=0.74−0.67=0.07$$
20
В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут тарталетку с сыром, равна $0.25$. Вероятность того, что в качестве комплимента принесут рогалик, равна $0.35$. Найдите вероятность того, что в качестве комплимента от заведения посетителю И. принесут одно из двух: тарталетку с сыром или рогалик.
Так как события «Принесут тарелку с сыром» и «Принесут рогалик» несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей:$$0.25+0.35=0.6$$
20
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью $0.3$. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Вероятность того, что один продавец занят:$$P=0.3$$Так как продавцы работают независимо, вероятность того, что все три продавца заняты одновременно, равна произведению вероятностей:$$P=P^3$$$$P=0.3^3=0.027$$
20
На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: $4$ с мясом, $8$ с капустой и $3$ с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Петя может выбрать любой из пирожков, поэтому количество всех возможных исходов: $$4+8+3=15$$Количество исходов, в которых Петя выбрал пирожок с вишней, равно $3$.
Значит, искомая вероятность равна:$$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2$$
20