11. Прикладная стереометрия: призма

Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле:
$$V = a \cdot b \cdot h$$где $a$ и $b$ — стороны основания, $h$ — высота.

Пусть размеры первой коробки:

• Стороны основания: $a_1,$ $b_1,$
• Высота: $h_1.$

По условию:

• Первая коробка в три раза выше второй: $h_1 = 3h_2,$
• Вторая коробка втрое уже первой: $a_2 = \frac{a_1}{3},$ $b_2 = \frac{b_1}{3}$ (так как основание — квадрат, стороны одинаковы).

Объем первой коробки:
$$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot h_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot 3h_2$$

Объем второй коробки:
$$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot h_2 = \left(\frac{a_1}{3}\right) \cdot \left(\frac{b_1}{3}\right) \cdot h_2 = \frac{a_1 b_1 h_2}{9}$$

Находим отношение объемов:
$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1 \cdot b_1 \cdot 3h_2}{\frac{a_1 \cdot b_1 \cdot h_2}{9}} = 3 \cdot 9 = 27$$

Таким образом, объем первой коробки в $27$ раз больше объема второй.

Поскольку сосуд имеет форму правильной четырехугольной призмы, уровень воды прямо пропорционален занятому объему.

После погружения детали уровень воды увеличился в $2$ раза, значит, объем воды вместе с деталью стал:
$$V_{\text{конечный}} = 2 \cdot 12 = 24 \space \text{л}$$

Объем детали равен разности конечного и начального объемов:
$$V_{\text{детали}} = V_{\text{конечный}}- V_{\text{начальный}} = 24- 12 = 12 \space \text{л}$$

Переведем литры в кубические сантиметры $(1 \space \text{л} = 1000 \space \text{см}^3){:}$
$$V_{\text{детали}} = 12 \cdot 1000 = 12\,000 \space \text{см}^3$$

Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле:
$$V = a^2 \cdot h$$где $a$ — сторона основания, $h$ — высота уровня жидкости.

Объем воды остается постоянным. Пусть $a_1$ — сторона основания первого сосуда, $h_1 = 15 \space \text{см}$ — начальный уровень воды. Сторона основания второго сосуда равна $a_2 = 2a_1.$

Запишем равенство объемов:
$$a_1^2 \cdot h_1 = a_2^2 \cdot h_2$$

Подставляем $a_2 = 2a_1$:
$$a_1^2 \cdot 15 = (2a_1)^2 \cdot h_2$$
$$a_1^2 \cdot 15 = 4a_1^2 \cdot h_2$$

Сокращаем $a_1^2$ $($так как $a_1 \neq 0){:}$
$$15 = 4h_2$$

Находим $h_2$:
$$h_2 = \frac{15}{4} = 3.75 \space \text{см}$$