21. Молекулярная физика - электродинамика: качественная задача: Влажность

Относительная влажность вычисляется по формуле:
$$ \varphi = \frac{p}{p_{\text{н.п.}}} $$ где $p$ — парциальное давление паров, $p_{\text{н.п.}}$ — давление насыщенных паров.

При нагревании воздуха давление насыщенных паров $p_{\text{н.п.}}$ увеличивается.
Парциальное давление $p$ остается постоянным (по условию).
Следовательно, относительная влажность $\varphi$ уменьшается.

Из уравнения Менделеева — Клапейрона:
$$\rho = \frac{p \mu}{RT} $$ где $p$ — парциальное давление паров, $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура.

При нагревании температура $T$ увеличивается.
Парциальное давление $p$ и остальные параметры $( \mu,\ R)$ постоянны.
Следовательно, плотность $\rho$ уменьшается.

Ответ:
Относительная влажность и плотность водяных паров уменьшаются.

Парциальное давление водяного пара.
Сосуд герметичен и жесткий, поэтому процесс нагревания является изохорным (объем не изменяется).
Для изохорного процесса из закона Шарля следует:
$$\frac{p}{T} = \text{const} $$ где $p$ — парциальное давление пара, $T$ — абсолютная температура.
При нагревании от $T_1 = 303 \, \text{K}$ ($30 \, ^\circ \text{C}$) до $T_2 = 323 \, \text{K}$ ($50 \, ^\circ \text{C}$) температура увеличивается, следовательно, парциальное давление $p$ также увеличивается.

Относительная влажность определяется формулой:
$$ \varphi = \frac{\rho}{\rho_{\text{н.п.}}}$$ где $\rho$ — плотность водяного пара, $\rho_{\text{н.п.}}$ — плотность насыщенного пара при данной температуре.

Плотность пара $\rho$ остается неизменной, так как масса пара в сосуде постоянна, а объем сосуда не меняется.

Плотность насыщенного пара $\rho_{\text{н.п.}}$ увеличивается с ростом температуры (так как при более высокой температуре в единице объема может содержаться больше молекул пара).
Поскольку $\rho$ не изменяется, а $\rho_{\text{н.п.}}$ увеличивается, относительная влажность $\varphi$ уменьшается.

Ответ:
Парциальное давление водяного пара увеличится, относительная влажность воздуха уменьшится.

Сосуд с насыщенным водяным паром и водой.

В сосуде находится насыщенный пар и жидкая вода.
Процесс происходит при постоянной температуре $( T = \text{const} ). $
Объем увеличивается медленно, поэтому система успевает поддерживать равновесие между паром и жидкостью.

Давление насыщенного пара зависит только от температуры и не зависит от объема, пока в системе присутствует жидкость.
Формула: $$p_{\text{н.п.}} = f(T)$$ При изотермическом расширении давление остается постоянным, так как испарение воды компенсирует увеличение объема.

Сосуд с сухим воздухом.

Сухой воздух можно считать идеальным газом.
Процесс изотермический $( T = \text{const} ). $
Объем увеличивается в $2$ раза $( V_2 = 2V_1 ). $

Для идеального газа при изотермическом процессе выполняется закон Бойля-Мариотта:
$$ pV = \text{const}$$ При увеличении объема в $2$ раза давление уменьшается в $2$ раза:
$$ p_2 = \frac{p_1}{2} $$

$1)$ Физическая причина появления конденсата.
По трубе течет холодная вода, поэтому температура внешней поверхности трубы $T_{\text{пов}}$ близка к $8-10^\circ C.$ Внутри дома воздух теплее и содержит водяной пар с парциальным давлением $p_v,$ которое определяется относительной влажностью $\varphi$ и давлением насыщенных паров при температуре воздуха $$T_{\text{в}}{:}$ $p_v=\varphi\cdot p_{\text{нас}}(T_{\text{в}})$$ Конденсация возникает тогда, когда парциальное давление водяного пара превышает давление насыщенных паров при температуре поверхности трубы, т. е. если $$p_v>p_{\text{нас}}(T_{\text{пов}})$$ В этом случае пар переходит в жидкость и на трубе появляются капли — образуется сырость и возможно последующее подтекание на пол и стены.

$2)$ Как влияет теплоизоляция.
Теплоизоляция уменьшает теплопоток от теплого воздуха к холодной поверхности трубы. Закон теплопроводности в одномерном приближении: $$q=\lambda\dfrac{\Delta T}{d}$$ где $\lambda$ — коэффициент теплопроводности изоляции, $d$ — ее толщина, $\Delta T$ — разность температур между воздухом и металлом. При добавлении слоя с малой $\lambda$ поток $q$ уменьшается, следовательно температура поверхности $T_{\text{пов}}$ возрастает (становится ближе к $T_{\text{в}}$). Поскольку $p_{\text{нас}}(T)$ возрастает с температурой, подъем $T_{\text{пов}}$ повышает $p_{\text{нас}}(T_{\text{пов}})$ и тем самым снижает вероятность выполнения условия $p_v>p_{\text{нас}}(T_{\text{пов}})$ — конденсат перестает образовываться. Влагонепроницаемая пленка (паробарьер) дополнительно препятствует проникновению водяного пара к холодной поверхности, то есть уменьшает локальную подачу влаги к холодной точке.

$3)$ Роль проветривания.
Проветривание уменьшает абсолютную (и относительную) влажность внутри помещения: из помещения удаляется насыщенный влажный воздух и поступает более сухой наружный воздух, или происходит обмен влажного воздуха на тот, который быстрее смешивается и отводится. Это снижает парциальное давление $p_v$ в помещении, а значит труднее достигнуть условия $$p_v>p_{\text{нас}}(T_{\text{пов}})$$ Кроме того, проветривание ускоряет испарение уже сконденсировавшейся воды с поверхностей и выносит влагу наружу.

$4)$ Практические замечания и предостережения.
Оборачивание труб теплоизоляцией и паробарьером эффективно при условии правильного монтажа: если паробарьер некорректен, влага может конденсироваться внутри изоляции и вызывать гниение или плесень. Поэтому совмещать теплоизоляцию и периодическое проветривание важно: изоляция повышает температуру поверхностей, а проветривание и контроль влажности снижают общее содержание влаги в доме. Также полезно устраивать вентиляцию в местах повышенной влажности (кухня, ванная) и следить за герметичностью соединений труб, чтобы исключить капиллярный перенос воды в конструкцию.

Итог:
Теплоизоляция повышает температуру поверхностей труб и паробарьер уменьшает доступ пара к холодной поверхности, а проветривание снижает парциальное давление водяного пара в помещении. В результате уменьшается вероятность достижения условия насыщения у поверхности трубы и, следовательно, образование конденсата и общая сырость в доме снижаются.

$1)$ Почему роса выпадает в ясную ночь и не выпадает при пасмурной.
В ясную ночь поверхность земли и растения эффективно охлаждаются за счет теплового излучения в небо: атмосферный слой сверху прозрачен для длинноволнового излучения, поэтому излучаемая поверхностью энергия уходит в космос, а взамен поступает мало излучения от облаков. В результате поверхность холоднее воздуха рядом с ней. Если температура поверхности понижается ниже точки росы воздуха, содержащегося над ней, то насыщенность водяного пара при температуре поверхности $p_{\text{нас}}(T_{\text{пов}})$ становится меньше парциального давления водяного пара $p_v$ в воздухе, и избыточный пар конденсируется в капли: образуется роса. При пасмурной погоде облака действуют как «одеяло», возвращая излучение назад, поверхность охлаждается значительно меньше и редко достигает точки росы, поэтому роса не образуется.

$2)$ Какие физические законы здесь задействованы.
Тепловое излучение описывается законом Стефана — Больцмана, тепловой баланс поверхности определяется разностью излучаемой и поглощаемой энергии. Формула для условия конденсации: конденсат образуется, если $p_v>p_{\text{нас}}(T_{\text{пов}}).$ Давление насыщенных паров $p_{\text{нас}}(T)$ быстро растет с температурой, поэтому невысокое понижение $T_{\text{пов}}$ может привести к фазовому переходу пара в жидкость.

$3)$ Приборы и справочные данные, необходимые юному физику.

• Для оценки массы воды в $1\ \text{м}^3$ воздуха понадобятся:
• гигрометр (или психрометр) для измерения относительной влажности $\varphi$;
• точный термометр для измерения температуры воздуха $T$ (в градусах Цельсия и затем в Кельвинах);
• барометр (опционально) для измерения общего атмосферного давления $p$ — пригодится, если нужно учитывать отклонение от нормального давления;
• табличные значения давления насыщенных паров воды $p_{\text{нас}}(T)$ при различных температурах (или формула Клаузиуса — Клапейрона / таблицы);
• значения универсальной газовой постоянной $R=8.31\ Дж/(моль·K) $ и молярной массы воды $\mu=18.0\cdot10^{-3}\ \text{кг/моль}.$

$4)$ Формула для массы воды в $1\ \text{м}^3$ влажного воздуха и порядок действий.
Парциальное давление водяного пара равно $$p_v=\varphi\cdot p_{\text{нас}}(T)$$ где $\varphi$ — относительная влажность (в дробном виде, например $0.60$ для $60\%$), $p_{\text{нас}}(T)$ — давление насыщенных паров при температуре $T.$ Плотность водяного пара при давлении $p_v$ и температуре $T$ можно получить из уравнения состояния идеального газа в виде
$$m_{\text{п}}=\rho_{\text{п}}V,\quad \rho_{\text{п}}=\dfrac{\mu\,p_v}{R\,T}$$
где $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура в К. Для объема $V=1\ \text{м}^3$ масса воды равна
$$m=\dfrac{\mu\,\varphi\,p_{\text{нас}}(T)}{R\,T}$$

Шаги измерений и вычислений: измерить $\varphi$ и $T,$ взять из таблицы $p_{\text{нас}}(T),$ подставить в формулу и вычислить $m.$

Итог:
В ясную ночь поверхность охлаждается сильнее излучением, опускается ниже точки росы и образуется роса. Чтобы оценить массу воды в $1\ \text{м}^3$ влажного воздуха, юному физику нужны гигрометр (или психрометр), точный термометр, при необходимости барометр, а также таблицы $p_{\text{нас}}(T),$ значение $\mu$ и $R.$ Вычисление проводится по формуле $$m=\dfrac{\mu\,\varphi\,p_{\text{нас}}(T)}{R\,T}$$

$1)$ Характер процесса и закон для изохорного процесса.
Поскольку сосуд плотно закрыт, его объем остается постоянным, значит нагревание происходит при постоянном объеме (изохорно). По закону Шарля для изохорного процесса $$\dfrac{p}{T}=\mathrm{const}$$ следовательно при повышении абсолютной температуры $T$ давление газа увеличивается.

$2)$ Поведение парциального давления водяного пара.
Обозначим через $n_v$ число молей водяного пара в сосуде (оно остается постоянным, если не происходит фазового перехода между паром и жидкой водой). Из уравнения состояния идеального газа для парциального давления паров имеем $$p_vV=n_vRT$$ откуда
$p_v=\dfrac{n_vRT}{V}.$
Поскольку $n_v$ и $V$ постоянны, то $p_v$ растет пропорционально абсолютной температуре $T.$ Следовательно при нагреве от $t_1$ до $t_2$ парциальное давление водяного пара увеличится.

$3)$ Поведение давления насыщенных паров и относительной влажности.
Определение относительной влажности: $$\varphi=\dfrac{p_v}{p_{\text{нас}}(T)}$$ где $p_{\text{нас}}(T)$ — давление насыщенных паров воды при температуре $T.$ При повышении температуры $p_v$ увеличивается примерно пропорционально $T$ (см. пункт 2), тогда как давление насыщенных паров $p_{\text{нас}}(T)$ растет значительно быстрее с увеличением $T$ (это следует из уравнения Клаузиуса — Клапейрона: зависимость экспоненциальная). Поэтому отношение $$\dfrac{p_v}{p_{\text{нас}}(T)}$$ в общем случае будет уменьшаться при нагреве, то есть относительная влажность $\varphi$ уменьшится.

$4)$ Особые случаи (кратко).
Если в сосуде изначально в значительном количестве присутствовала свободная жидкая вода, то при нагревании часть воды может испариться и $n_v$ увеличится до тех пор, пока $p_v$ не достигнет $p_{\text{нас}}(T).$ В этом случае пар может стать насыщенным при новой температуре и $\varphi$ станет равна $1.$ Однако в общем (когда число молей пара фиксировано, либо если испарение не обеспечивает достижение нового давления насыщения) парциальное давление возрастает, а относительная влажность уменьшается.

Итог: парциальное давление водяного пара увеличивается, относительная влажность воздуха уменьшается.

$1)$ Так как температура воздуха в комнате не изменилась, давление насыщенных паров воды при этой температуре $p_{\text{нас}}(T)$ остается неизменным.

$2)$ Обозначим через $p$ парциальное давление водяного пара в комнате. По условию работы увлажнителя парциальное давление увеличилось, то есть $p$ возросло.

$3)$ Относительная влажность определяетcя как $$\varphi=\dfrac{p}{p_{\text{нас}}(T)}$$ где $p$ — парциальное давление водяного пара, $p_{\text{нас}}(T)$ — давление насыщенных паров при абсолютной температуре $T.$ Поскольку $p$ увеличилось, а $p_{\text{нас}}(T)$ неизменно, из этого следует, что относительная влажность увеличилась.

$4)$ Плотность водяного пара можно получить из уравнения состояния идеального газа в виде $$\rho=\dfrac{pM}{RT}$$ где $M$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура. При неизменной $T$ и возраставшем $p$ величина $\rho$ увеличится пропорционально $p.$ Следовательно плотность водяных паров в комнате увеличилась.

Вывод: относительная влажность воздуха и плотность водяных паров в комнате увеличились.

Ответ: относительная влажность воздуха увеличилась; плотность водяных паров увеличилась.