Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Преобразование логических выражений: #292411
Обозначим через $m\mathbin{\&}n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $$14\mathbin{\&}5=1110_2\mathbin{\&}0101_2=0100_2=4.$$
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа $A$ логическое выражение $$\bigl((x\mathbin{\&}52\ne0)\land(x\mathbin{\&}48=0)\bigr)\to\neg(x\mathbin{\&}A=0)$$ истинно (т. е. принимает значение $1$) при любом неотрицательном целом значении переменной $x$?
Запишем числа $52$ и $48$ в двоичной системе счисления:
- $52=110100_2,$
- $48=110000_2.$
Условие $x\mathbin{\&}48=0$ означает, что в двоичной записи числа $x$ на местах единиц числа $48$ должны стоять нули.
У числа $48$ единицы стоят в разрядах, соответствующих числам $32$ и $16$. Следовательно, в числе $x$ эти разряды равны нулю.
У числа $52$ единицы стоят в разрядах, соответствующих числам $32$, $16$ и $4$.
Так как разряды $32$ и $16$ в числе $x$ равны нулю, условие $x\mathbin{\&}52\ne0$ может выполняться только тогда, когда в числе $x$ стоит единица в разряде $4$.
Следовательно, для каждого подходящего числа $x$ должно выполняться: $$x\mathbin{\&}A\ne0.$$
Для этого число $A$ должно содержать единицу в разряде $4$.
Наименьшее такое неотрицательное целое число: $A=4.$ Наименьшее подходящее значение: $A=4$.
20
