16. Окружность и круг: #257296

$1)$ Проведем радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

$2)$ Аналогично проведем радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$3)$ Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами образуется развернутый угол, следовательно, оба радиуса лежат на одной прямой.

$4)$ Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам: $$a = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$

$5)$ Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем: $$d^2 = a^2 + a^2$$ $$d^2 = 2a^2$$ $$d = a\sqrt{2}$$

$6)$ Запишем диагональ квадрата со стороной $8\sqrt{2}{:}$ $$d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16.$$