22. Механика, МКТ и термодинамика: расчетная задача: #215346

Переведем величины в $СИ{:}$ $S=200\ \text{см}^2=200\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2=0{.}02\ \text{м}^2,$ $h=5\ \text{см}=0{.}05\ \text{м}.$ Плотность воды обозначим $\rho=1\ 000\ \text{кг/м}^3,$ ускорение свободного падения $g=10\ \text{м/с}^2.$

Обозначим через $V$ объем полного шара и через $V_{\text{погр}}$ объем погруженной части шара в равновесии после всплытия.

$1)$ Запишем уравнение сил для шара в первом случае (шар полностью погружен и прикреплен нитью). На шар действуют сила Архимеда $F_{A1}$ вверх, сила тяжести $mg$ вниз и сила натяжения нити $T$ вниз. Из условия равновесия:
$$F_{A1}-mg-T=0$$

$2)$ Во втором случае (после перерезания нити) шар частично всплыл и установился так, что сила Архимеда $F_{A2}$ уравновешивает вес:
$$F_{A2}-mg=0$$

$3)$ Силы Архимеда равны $\rho g$ умноженному на вытесненный объем жидкости. При полном погружении $F_{A1}=\rho g V,$ при частичном погружении $F_{A2}=\rho g V_{\text{погр}}.$ Из пункта 2 получаем $F_{A2}=mg,$ поэтому $V_{\text{погр}}=\dfrac{m}{\rho},$ но для вычисления $T$ нам удобнее работать с разностью вытесненных объемов.

$4)$ При всплытии объем вытесненной воды уменьшился на величину
$$\Delta V=V- V_{\text{погр}} $$
Изменение уровня воды в сосуде связано с уменьшением вытесненного объема: $$\Delta V = S h $$

$5)$ Выразим силу натяжения из уравнения равновесия первого случая, подставив $F_{A1}=\rho g V$ и $F_{A2}=\rho g V_{\text{погр}}=mg{:}$
$$T = F_{A1}- mg = \rho g V- \rho g V_{\text{погр}} = \rho g (V- V_{\text{погр}}) = \rho g \Delta V $$

Так как $\Delta V = S h,$ получаем окончательно:
$$T = \rho g S h$$

Подставим числа: $T = 1\ 000\cdot 10 \cdot 0{.}02 \cdot 0{.}05 = 10\ \text{Н}$

Ответ: $T=10\ \text{Н}$