22. Механика, МКТ и термодинамика: расчетная задача: все задания

До и после опускания болта температура в калориметре остается $t_0 = 0\,^\circ\text{C},$ так как вода и лед находятся в тепловом равновесии.
При опускании болта, он нагревается от $-40\,^\circ\text{C}$ до $0\,^\circ\text{C},$ а часть воды ($20\%$) замерзает, превращаясь в лед.

Теплота, выделившаяся при замерзании воды: $$Q_{\text{замерзания}} = 0.2m \cdot r$$ где $m$ — масса воды, $r$ — удельная теплота плавления льда ($r = 3.3 \cdot 10^5\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$).
Теплота, затраченная на нагревание болта: $$Q_{\text{нагрева}} = c m_1 (t_0- t)$$ где $m_1 = 0.165\,\text{кг}$ — масса болта, $c = 500\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$ — удельная теплоемкость болта, $t = -40\,^\circ\text{C}$ — начальная температура болта.

Приравниваем теплоты:
$$0.2m \cdot r = c m_1 (t_0- t)$$
Выражаем массу воды:
$$m = \frac{c m_1 (t_0- t)}{0.2 r}.$$ $$m = \frac{500 \cdot 0.165 \cdot 40}{0.2 \cdot 3.3 \cdot 10^5}.$$ $$m = \frac{3300}{66000} = 0.05\,\text{кг}$$
Ответ: масса воды, первоначально находившейся в калориметре, равна $m = 0.05\,\text{кг}.$

Условия процесса.
Газ находится в закрытом сосуде, поэтому процесс является изохорным.
Для изохорного процесса работа газа $A = 0.$

Первый закон термодинамики:
$$Q = A + \Delta U$$ Так как $A = 0,$ то:
$$Q = \Delta U$$
Для одноатомного идеального газа:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$$ где $\nu$ — количество вещества, $R = 8.31\,\frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$ — универсальная газовая постоянная, $\Delta T$ — изменение температуры.

Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$ где $p_1 = 4 \cdot 10^5\,\text{Па},$ $T_1 = 400\,\text{К},$ $p_2 = 2 \cdot 10^5\,\text{Па}.$

Находим конечную температуру $T_2$:
$$T_2 = \frac{p_2 T_1}{p_1} = \frac{2 \cdot 10^5 \cdot 400}{4 \cdot 10^5} = 200\,\text{К}$$ Изменение температуры:
$$\Delta T = T_2- T_1 = 200- 400 = -200\,\text{К}$$
Масса газа $m = 12\,\text{г} = 12 \cdot 10^{-3}\,\text{кг}.$ Молярная масса $M$ связана с количеством вещества:
$$\nu = \frac{m}{M}.$$
Подставляем в выражение для $\Delta U$:
$$\Delta U = \frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R \cdot \Delta T.$$ Так как $Q = \Delta U,$ то:
$$Q = \frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R \cdot \Delta T$$
Выражаем молярную массу $M$:
$$M = \frac{3 m R \Delta T}{2 Q}$$ Подставляем числовые значения:
$$M = \frac{3 \cdot 12 \cdot 10^{-3} \cdot 8.31 \cdot (-200)}{2 \cdot 7.5 \cdot 10^3}.$$Учитываем, что $\Delta T$ отрицательно, но $Q$ также отрицательно (газ отдает тепло), поэтому знаки сокращаются:
$$M = \frac{3 \cdot 12 \cdot 10^{-3} \cdot 8.31 \cdot 200}{2 \cdot 7.5 \cdot 10^3}$$$$M = \frac{3 \cdot 12 \cdot 8.31 \cdot 2}{2 \cdot 7.5} \cdot 10^{-3} = \frac{3 \cdot 12 \cdot 8.31}{7.5} \cdot 10^{-3}.$$
$$M = \frac{298.32}{7.5} \cdot 10^{-3} \approx 39.776 \cdot 10^{-3} \approx 4 \cdot 10^{-2}\,\text{кг/моль}.$$

Ответ: молярная масса газа $M \approx 4 \cdot 10^{-2}\,\text{кг/моль}.$

При падении воды массой $m$ с высоты $h = 807\,\text{м}$ сила тяжести совершает работу:
$$A_{\text{тяж}} = mgh$$ где $g = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ — ускорение свободного падения.

По условию, на нагревание воды затрачивается $50\%$ работы силы тяжести:
$$Q = 0.5 \cdot A_{\text{тяж}} = 0.5 \cdot mgh$$
Для повышения температуры воды на $\Delta T$ требуется энергия:
$$Q = cm\Delta T$$
Приравниваем энергию, идущую на нагрев, к необходимой энергии:
$$cm\Delta T = 0.5 \cdot mgh$$
Сокращаем массу $m$ и находим:
$$\Delta T = \frac{0.5 \cdot gh}{c} = \frac{gh}{2c}$$
Подставляем числовые значения:
$$\Delta T = \frac{10 \cdot 807}{2 \cdot 4200} = \frac{8070}{8400} \approx 0.96\,\text{К}$$
Ответ: температура падающей воды повысилась бы на $\Delta T \approx 0.96\,\text{К}.$

Горизонтальное движение: равномерное, так как ускорение отсутствует. Скорость остается постоянной:
$$v_x = v_0 = 7\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Вертикальное движение: равноускоренное с начальной скоростью $v_{0y} = 0$ и ускорением $g_y = -g = -10\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Вычислим время, за которое камешек достигнет земли, используя формулу для вертикального перемещения:
$$h = \frac{gt^2}{2}$$ Подставляем известные значения:
$$5 = \frac{10 \cdot t^2}{2} \implies t^2 = 1 \implies t = 1\,\text{с}$$ Камешек упадет на землю через $1\,\text{с}$ после броска.

Через $1\,\text{с}$ камешек уже упадет на землю и остановится (по условию задачи он застревает в мягкой земле).
Следовательно, через $2\,\text{с}$ его скорость $v = 0,$ а кинетическая энергия:
$$E_k = \frac{mv^2}{2} = 0\,\text{Дж}$$
Ответ: через $2\,\text{с}$ после броска кинетическая энергия камешка равна $0\,\text{Дж}.$

Поскольку трение отсутствует, полная механическая энергия системы сохраняется. В начальном состоянии (пружина сжата) энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины:
$$E_{\text{пот}} = \frac{k (\Delta x)^2}{2}$$ В конечном состоянии (пружина распрямлена) энергия системы переходит в кинетическую энергию бруска:
$$E_{\text{кин}} = \frac{M v^2}{2}$$
Приравниваем энергии:
$$\frac{k (\Delta x)^2}{2} = \frac{M v^2}{2}$$
Выражаем $\Delta x$:
$$\Delta x = v \sqrt{\frac{M}{k}}$$
Подставляем числовые значения:
$$\Delta x = 1 \cdot \sqrt{\frac{0.1}{1000}} = \sqrt{10^{-4}} = 0.01\,\text{м}$$
Ответ: пружина была сжата на $\Delta x = 0.01\,\text{м}.$

Импульс системы до разрыва равен векторной сумме импульсов осколков после разрыва:
$$\vec{p}_0 = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$$ где:
$\vec{p}_0 = m \vec{v}_0 = 2\vec{v}_0$ — импульс снаряда до разрыва,
$\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1 = 1 \cdot 300 = 300\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$ — импульс первого осколка,
$\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2 = 1 \cdot 500 = 500\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$ — импульс второго осколка.

Поскольку первый осколок летит под углом $90^\circ$ к исходному направлению, векторы $\vec{p}_0,$ $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ образуют прямоугольный треугольник. Применяем теорему Пифагора:
$$p_0^2 + p_1^2 = p_2^2$$ Выражаем $p_0$:
$$p_0 = \sqrt{p_2^2- p_1^2} = \sqrt{500^2- 300^2} = 400\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$$
Так как $p_0 = 2v_0,$ то:
$$v_0 = \frac{p_0}{2} = \frac{400}{2} = 200\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Ответ: скорость снаряда до разрыва составляла $v_0 = 200\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется. В точке максимального отклонения (амплитуде) кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия упругой деформации пружины максимальна:
$$E_{\text{пот}}^{\text{max}} = \frac{kA^2}{2}$$ В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия максимальна:
$$E_{\text{кин}}^{\text{max}} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{2}$$ По закону сохранения энергии:
$$E_{\text{пот}}^{\text{max}} = E_{\text{кин}}^{\text{max}}$$
Подставляем выражение для потенциальной энергии:
$$\frac{kA^2}{2} = E_{\text{кин}}^{\text{max}}$$ Решаем относительно $A$:
$$A = \sqrt{\frac{2E_{\text{кин}}^{\text{max}}}{k}}$$
Подставляем числовые значения:
$$A = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{200}} = \sqrt{\frac{2}{200}} = \sqrt{0.01} = 0.1\,\text{м}$$
Ответ: амплитуда колебаний груза равна $A = 0.1\,\text{м}.$

В первом случае момент силы тяжести линейки уравновешивается моментом силы тяжести груза $m_1$ относительно края стола.
Плечо силы тяжести линейки: $d_M = \frac{l}{2}- \frac{l}{4} = \frac{l}{4} = 22.5\,\text{см}.$
Плечо силы тяжести груза: $d_{m_1} = \frac{l}{4} = 22.5\,\text{см}.$

Условие равновесия моментов:
$$M g \cdot d_M = m_1 g \cdot d_{m_1}$$ где $M$ — масса линейки.
Подставляем значения: $$M \cdot 22.5 = 250 \cdot 22.5 \implies M = 250\,\text{г}$$

Второй случай: линейка выдвинута на расстояние $x$ (от края стола до конца линейки).
Плечо силы тяжести груза $m_2$: $d_{m_2} = x.$
Плечо силы тяжести линейки: $d_M = \frac{l}{2}- x.$

Условие равновесия:
$$m_2 g \cdot x = M g \left(\frac{l}{2}- x\right)$$ Сокращаем $g$ и выражаем $x$:
$$125 \cdot x = 250 \left(45- x\right)$$ $$125x = 11250- 250x$$ $$375x = 11250$$ $$x = 30\,\text{см}.$$
В первом случае линейка была выдвинута на $22.5\,\text{см},$ во втором — на $30\,\text{см}.$
$$\Delta x = 30- 22.5 = 7.5\,\text{см}$$
Ответ: линейку можно дополнительно выдвинуть на $\Delta x = 7.5\,\text{см}.$

Импульс системы до разрыва равен векторной сумме импульсов осколков после разрыва:
$$\vec{p}_0 = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$$ где:
$\vec{p}_0 = m v_0 = 2 \cdot 200 = 400\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$ — импульс снаряда,
$\vec{p}_1 = m_1 v_1$ — импульс первого осколка,
$\vec{p}_2 = m_2 v_2$ — импульс второго осколка.

Направим ось $x$ вдоль первоначального движения снаряда, ось $y$ — перпендикулярно.
Для первого осколка $( 90^\circ )$:
$$p_{1x} = 0, \quad p_{1y} = m_1 v_1$$ Для второго осколка $( 60^\circ )$:
$$p_{2x} = m_2 v_2 \cos 60^\circ, \quad p_{2y} = m_2 v_2 \sin 60^\circ$$
По оси $x$:
$$p_0 = p_{2x} \implies 400 = 1 \cdot v_2 \cdot 0.5 \implies v_2 = \frac{400}{0.5} = 800\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
По оси $y$:
$$0 = p_{1y}- p_{2y} \implies m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 60^\circ$$
Подставляем $v_2 = 800\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$:
$$1 \cdot v_1 = 1 \cdot 800 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v_1 = 400\sqrt{3}\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Ответ: скорость второго осколка равна $v_2 = 800\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

Импульс системы до разрыва равен векторной сумме импульсов осколков после разрыва:
$$m\vec{v}_0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$$ где $m_2 = m- m_1 = 1\,\text{кг}.$

Направим ось $x$ вдоль начальной скорости $\vec{v}_0,$ ось $y$ — перпендикулярно. Первый осколок: $p_{1x} = 0,$ $p_{1y} = m_1v_1 = 1 \cdot 300 = 300\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$
Второй осколок:
$p_{2x} = m_2v_{2x},$ $p_{2y} = m_2v_{2y}$
Начальный импульс:
$p_{0x} = mv_0 = 400\,\frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}},$ $p_{0y} = 0$

По оси $x$:
$$400 = 1 \cdot v_{2x} \implies v_{2x} = 400\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$ По оси $y$:
$$0 = 300- 1 \cdot v_{2y} \implies v_{2y} = 300\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Нахождение скорости: $$v_2 = \sqrt{v_{2x}^2 + v_{2y}^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Ответ: скорость второго осколка составляет $v_2 = 500\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

До удара суммарный импульс системы равен:
$$\vec{p}_{\text{нач}} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m\vec{v} + 3m(-\vec{v}) = -2m\vec{v}$$ После неупругого удара общая масса становится $4m,$ а импульс: $$\vec{p}_{\text{кон}} = 4m\vec{v}_1$$
Приравниваем импульсы:
$$-2m\vec{v} = 4m\vec{v}_1$$ Проекция на направление движения более тяжелого шарика:
$$3mv- mv = 4mv_1 \implies 2mv = 4mv_1$$
Сокращаем массы и выражаем скорость:
$$v = 2v_1 = 2 \cdot 0.5 = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Ответ: первоначальная скорость шариков составляла $v = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

До удара суммарный импульс системы:
$$\vec{p}_{\text{нач}} = M\vec{v}_2 + m\vec{v}_1 = Mv- mv$$ где учтено, что скорости направлены противоположно ($\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$).

После удара.
Импульс слипшихся шариков:
$$\vec{p}_{\text{кон}} = (M + m)u$$
Приравниваем импульсы:
$$Mv- mv = (M + m)u$$
Выражаем отношение масс:
$$M(v- u) = m(v + u)$$ $$\frac{M}{m} = \frac{v + u}{v- u} = \frac{1 + 0.5}{1- 0.5} = 3$$

Ответ: масса тяжелого шарика превышает массу легкого в $3$ раза.

При равноускоренном движении с начальной скоростью $v_0$ и ускорением $g.$
Конечная скорость через пройденное расстояние $h$:
$$v^2 = v_0^2 + 2gh$$ По условию скорость увеличилась в $2$ раза:
$$v = 2v_0$$
Подстановка условия:
$$(2v_0)^2 = v_0^2 + 2gh \implies 4v_0^2 = v_0^2 + 2gh$$ $$3v_0^2 = 2gh$$
Вычисление начальной скорости:
$$v_0 = \sqrt{\frac{2gh}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 15}{3}} = \sqrt{100} = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$

Ответ: тело было брошено вниз со скоростью $v_0 = 10\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

Ускорение — производная скорости по времени:
$$a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = -0.5 \cdot 4 \sin(4t) = -2 \sin(4t)\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$
Определяем момент времени.
Приводим заданную скорость к $СИ$:
$$30\,\frac{\text{см}}{\text{с}} = 0.3\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$ Решаем уравнение для $t$:
$$0.5 \cos(4t) = 0.3 \implies \cos(4t) = 0.6$$ Находим $\sin(4t)$:
$$\sin(4t) = \sqrt{1- \cos^2(4t)} = \sqrt{1- 0.36} = 0.8$$
Подставляем в уравнение ускорения:
$$a_x = -2 \cdot 0.8 = -1.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$ Модуль ускорения: $$|a_x| = 1.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$

Ответ: модуль ускорения тела равен $1.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.$

Полная механическая энергия колебательной системы сохраняется. В крайних точках (при максимальном отклонении) энергия равна потенциальной энергии пружины:
$$E_{\text{пот}}^{\text{max}} = \frac{kA^2}{2}$$ В положении равновесия энергия переходит в кинетическую:
$$E_{\text{кин}}^{\text{max}} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{2}$$
Приравниваем энергии: $$\frac{mv_{\text{max}}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$$
Выражаем скорость: $$v_{\text{max}} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$$
Подставляем значения: $$v_{\text{max}} = 0.1 \cdot \sqrt{\frac{200}{2}} = 0.1 \cdot \sqrt{100} = 0.1 \cdot 10 = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Ответ: максимальная скорость груза составляет $v_{\text{max}} = 1\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

Система «тележка + мальчик» замкнута (внешние силы отсутствуют), поэтому:
$$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{u}$$
Учитывая противоположные направления скоростей:
$$m_2v_2- m_1v_1 = (m_1 + m_2)u$$
Подставляем значения:
$$u = \frac{m_2v_2- m_1v_1}{m_1 + m_2} = \frac{50 \cdot 2- 50 \cdot 1}{50 + 50} = \frac{100- 50}{100} = 0.5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$

Ответ: тележка с мальчиком будет двигаться влево со скоростью $u = 0.5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.$

Условие плавания: сила тяжести уравновешивается силой Архимеда:
$$mg = F_A$$
Масса льдины:
$$m = \rho_{\text{л}} V = \rho_{\text{л}} S H$$ где $H$ — полная толщина льдины.
Сила Архимеда:
$$F_A = \rho_{\text{в}} g V_{\text{погр}} = \rho_{\text{в}} g S (H- h)$$
Уравнение равновесия:
$$\rho_{\text{л}} S H g = \rho_{\text{в}} S (H- h) g$$
Сокращаем $S$ и $g$:
$$\rho_{\text{л}} H = \rho_{\text{в}} (H- h)$$
Находим толщину льдины $H$:
$$H = \frac{\rho_{\text{в}} h}{\rho_{\text{в}}- \rho_{\text{л}}} = \frac{1000 \cdot 0.04}{1000- 900} = \frac{40}{100} = 0.4\,\text{м}$$ Вычисляем массу:
$$m = \rho_{\text{л}} S H = 900 \cdot 0.25 \cdot 0.4 = 90\,\text{кг}$$
Ответ: масса льдины составляет $m = 90\,\text{кг}.$

Для равноускоренного движения без начальной скорости пройденный путь зависит от времени по закону:
$$s(t) = \frac{at^2}{2}$$ Вычислим ускорение для каждого временного интервала:
Для $t_1 = 1\,\text{с}$: $$a_1 = \frac{2s_1}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 0.3}{1^2} = 0.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$
Для $t_2 = 2\,\text{с}$: $$a_2 = \frac{2s_2}{t_2^2} = \frac{2 \cdot 1.2}{4} = 0.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$
Для $t_3 = 3\,\text{с}$: $$a_3 = \frac{2s_3}{t_3^2} = \frac{2 \cdot 2.7}{9} = 0.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$
Так как ускорение $a$ одинаково для всех моментов времени, движение является равноускоренным.

Из расчетов следует, что ускорение шайбы:
$$a = 0.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$
Ответ: движение шайбы равноускоренное с ускорением $a = 0.6\,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}.$

Разложение начальной скорости.
Горизонтальная составляющая:
$$v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 10 \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot 0.5 = 5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$ Вертикальная составляющая: $$v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Скорости через время $t$:
Горизонтальная скорость остается постоянной: $$v_x = v_{0x} = 5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Вертикальная скорость изменяется под действием $g$: $$v_y = v_{0y}- gt = 8.66- 10 \cdot 0.366 \approx 8.66- 3.66 = 5\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$$
Тангенс угла наклона скорости к горизонту:
$$\tan \beta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{5}{5} = 1 \implies \beta = \arctan(1) = 45^\circ$$

Ответ: через $0.366\,\text{с}$ скорость мяча будет направлена под углом $\beta = 45^\circ$ к горизонту.

Условие равновесия в покоящемся лифте.
Сила тяжести уравновешивается силой упругости:
$$mg = kx_0$$ где $x_0$ — удлинение пружины в покое.

Уравнение движения для ускоряющегося лифта.
В системе отсчета, связанной с лифтом, на груз действуют:
Сила тяжести $mg$ (вниз),
Сила упругости $F_{\text{упр}} = kx$ (вверх).
По второму закону Ньютона:
$$ma = mg- kx$$ Выражаем массу $m$:
$$m(g- a) = kx \implies m = \frac{kx}{g- a}$$
Подставляем значения:
$$m = \frac{100 \cdot 0.015}{10- 2.5} = \frac{1.5}{7.5} = 0.2\,\text{кг}$$
Ответ: масса груза равна $m = 0.2\,\text{кг}.$