22. Механика, МКТ и термодинамика: расчетная задача: #215344

Переведем данные в $СИ{:}$ $s_1=1\ \text{км}=1\ 000\ \text{м},$ $s=4\ \text{км}=4\ 000\ \text{м},$ прирост скорости на первом километре $v_1=10\ \text{м/с}.$ Начальная скорость при трогании от станции $v_0=0.$

$1)$ Так как движение равноускоренное и на первом участке от $0$ до $s_1$ скорость возросла до $v_1,$ ускорение можно найти из формулы зависимого пробега:
$$v_1^2 = v_0^2 + 2 a s_1$$
Поскольку $v_0=0,$ имеем
$$a=\dfrac{v_1^2}{2 s_1}$$

$2)$ Весь путь $s$ поезд проходит из состояния покоя при том же ускорении $a,$ поэтому время разгона $t$ (время, за которое пройден весь путь $s$) находится из соотношения движения при равном ускорении:
$$s=\dfrac{1}{2} a t^2$$
откуда
$$t=\sqrt{\dfrac{2 s}{a}}$$

$3)$ Подставим выражение для $a$ в формулу для $t{:}$
$$t=\sqrt{\dfrac{2 s}{\,\dfrac{v_1^2}{2 s_1}\,}}=\sqrt{\dfrac{4 s s_1}{v_1^2}}=\dfrac{2\sqrt{s s_1}}{v_1}$$

$4)$ Теперь численно:
$$\sqrt{s s_1}=\sqrt{4\ 000\cdot 1\ 000}=\sqrt{4\ 000\ 000}=2\ 000$$
Следовательно
$$t=\dfrac{2\cdot 2\ 000}{10}=400\ \text{с}$$

Ответ: $t=400\ \text{с}$