17. Планиметрическая задача: #211353

$а)$ Треугольник $AMC$ равнобедренный, следовательно, $\angle MAC = \angle MCA.$ Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, следовательно, накрест лежащие углы $BCA$ и $CAD$ при секущей $AC$ равны. Получаем, что $\angle MAC = \angle MCA = \angle CAD,$ а значит, луч $AC$ является биссектрисой угла $MAD,$ на которой лежит центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности.

$б)$ Обозначим $AM = MC$ через $x,$ тогда $BM = 10 -x.$

По теореме косинусов в треугольнике $ABM{:}$

$$AM^2 = AB^2 + BM^2 -2AB \cdot BM \cdot \cos 120^\circ$$ то есть $$x^2 = 25 + (10 -x)^2 + 5(10-x)$$

откуда $x = 7.$ По теореме косинусов в треугольнике $CMD.$ в котором $\angle MCD = 60^\circ,$ $$MD = \sqrt{MC^2 + CD^2 -MC \cdot CD} = \sqrt{39}$$

Треугольник $AMD$ и параллелограмм $ABCD$ имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми $AD$ и $BC,$ и общую сторону $AD,$ перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь $S_{AMD}$ треугольника $AMD$ равна половине площади параллелограмма $ABCD{:}$ $$S_{AMD} = \frac{AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$$

С другой стороны, площадь треугольника $AMD$ равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдем радиус $r$ вписанной в треугольник $AMD$ окружности:

$$r = \frac{2S_{AMD}}{AM + MD + AD} = \frac{25\sqrt{3}}{7 + \sqrt{39} + 10} = \frac{25\sqrt{3}}{17 + \sqrt{39}} = \frac{17\sqrt{3}-3\sqrt{13}}{10}$$ Ответ:
$a)$ Центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC.$
$б)$ Радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности равен $\dfrac{17\sqrt{3} -3\sqrt{13}}{10}.$