17. Планиметрическая задача: #211345

$а)$ Обозначим $DM = BQ = x,$ $CM = y.$ Треугольники $CMP$ и $DMA$ подобны с коэффициентом подобия $\dfrac{CM}{MD} = \dfrac{y}{x}$, поэтому: $$CP = \frac{y}{x} \cdot AD = \frac{y(x+y)}{x}$$ Тогда $$BP = BC + CP = x + y + \frac{y(x+y)}{x} = (x+y) \left( 1 + \frac{y}{x} \right) = \frac{(x+y)^2}{x} = \frac{BC^2}{BQ}$$

Следовательно, $BP \cdot BQ = BC^2.$

$б)$ Пусть $O$ — центр окружности радиуса $r,$ вписанной в ромб. Тогда $OM$ — высота прямоугольного треугольника $COD,$ проведенная из вершины прямого угла, поэтому: $$r = OM = \sqrt{DM \cdot MC} = \sqrt{1 \cdot 4} = 2$$ Значит, высота ромба равна $2r = 4.$

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $A$ на прямую $BC$. Тогда $AH$ — высота ромба, поэтому: $$AH = 2r = 4; \quad BH = \sqrt{AB^2 -AH^2} = \sqrt{5^2 -4^2} = 3$$

Из подобия треугольников $CMP$ и $DMA$ находим, что $$CP = \frac{CM}{MD} \cdot AD = 4 \cdot 5 = 20$$ Значит, $PH = CP + BC + BH = 20 + 5 + 3 = 28.$

Из прямоугольного треугольника $AHP$ находим, что

$$\tg \angle APH = \frac{AH}{PH} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$$ Следовательно, $\angle APC = \angle APH = \arctg \dfrac{1}{7}.$

Ответ:
$а)$ Произведение $BP \cdot BQ$ равно квадрату стороны $BC.$
$б)$ Угол $\angle APC$ равен $\arctg \dfrac{1}{7}.$