26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #208010

Обоснование.

Систему отсчета связываем с Землей (инерциальная система).
Тела считаем материальными точками.
При ударе выполняется закон сохранения импульса (горизонтальные внешние силы отсутствуют).
После удара работает закон сохранения механической энергии (сила натяжения нити не совершает работы).
Минимальное условие: в верхней точке натяжение нити $ T = 0 .$

Закон сохранения импульса при ударе:
$$ mv_0 = (M + m)v_1 \quad (1)$$ где $ v_1 $ — скорость системы шар+пуля сразу после удара.

Закон сохранения энергии (нижняя → верхняя точка):
$$\frac{(M + m)v_1^2}{2} = \frac{(M + m)v_2^2}{2} + (M + m)g \cdot 2l \quad (2)$$ где $ v_2 $ — скорость в верхней точке.

Условие минимальной скорости (в верхней точке):
$$ (M + m)g = \frac{(M + m)v_2^2}{l} \implies v_2^2 = gl \quad (3)$$

Подстановка $(3)$ в $(2)$:$$ \frac{v_1^2}{2} = \frac{gl}{2} + 2gl \implies v_1^2 = 5gl \implies v_1 = \sqrt{5gl}$$

Выражаем массу пули из $ (1)$:$$ m = \frac{M\sqrt{5gl}}{v_0- \sqrt{5gl}}$$Подставляем численные значения ($ g = 10 \, \text{м/с}^2 ,$ $ l = 0.5 \, \text{м} ,$ $ M = 0.23 \, \text{кг} ,$ $ v_0 = 120 \, \text{м/с} $):
$$\sqrt{5gl} = \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0.5} = 5 \, \text{м/с}$$ $$ m = \frac{0.23 \cdot 5}{120- 5} = \frac{1.15}{115} = 0.01 \, \text{кг} = 10 \, \text{г}$$

Ответ: $m = 10 \, \text{г}.$