26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #208009

Обоснование.

Система отсчета связана с Землей (инерциальная).
Тела считаем материальными точками.
При ударе выполняется закон сохранения импульса (горизонтальные внешние силы отсутствуют).
После удара работает закон сохранения механической энергии (сила натяжения нити не совершает работы).
Минимальное условие: в верхней точке натяжение нити $ T = 0 .$

Закон сохранения импульса при ударе:
$$mv = (M + m)u \quad (1)$$ где $ u $ — скорость системы после удара.

Закон сохранения энергии (нижняя → верхняя точка):$$ \frac{(M + m)u^2}{2} = \frac{(M + m)V^2}{2} + (M + m)g \cdot 2l \quad (2)$$где $ V $ — скорость в верхней точке.

Условие минимальной скорости (в верхней точке):
$$ (M + m)g = \frac{(M + m)V^2}{l} \implies V^2 = gl \quad (3)$$

Подставляем $(3)$ в $(2)$:$$ \frac{u^2}{2} = \frac{gl}{2} + 2gl \implies u^2 = 5gl$$

Из уравнения $(1)$ находим $ v $:
$$ v = \frac{M + m}{m} \sqrt{5gl} = \frac{0.26}{0.01} \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0.5} = 26 \cdot 5 = 130 \, \text{м/с}$$

Ответ: $v = 130 \, \text{м/с}.$ ободного падения $ g = 10 \, \text{м/с}^2 .$