Сложное событие
Событие, которое составлено из нескольких простых условий. Например: «первый стрелок попал, а второй не попал».
Сумма событий $A$ и $B$
Событие $A\cup B$, при котором происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$.
Произведение событий
Событие $A\cap B$, при котором происходят оба события одновременно.
Несовместные события
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно: $P(A\cap B)=0$. Например, на кубике события «выпало $2$» и «выпало $5$» несовместны.
Совместные события
События называются совместными, если они могут произойти одновременно. Например, на кубике события «выпало чётное число» и «выпало число больше $3$» совместны, потому что возможны исходы $4$ и $6$.
Формула сложения вероятностей для несовместных событий
Если события $A$ и $B$ несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$
Формула сложения вероятностей для совместных событий
Если события $A$ и $B$ могут произойти одновременно, то: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
Пересечение событий
Событие $A\cap B$, при котором выполняются оба условия сразу. Например, событие «число чётное и больше $3$» при броске кубика имеет исходы $4$ и $6$.
Объединение событий
Событие $A\cup B$, при котором происходит хотя бы одно из событий. Например, событие «число чётное или больше $4$» при броске кубика имеет исходы $2$, $4$, $5$, $6$.
Условная вероятность $P(A\mid B)$
Вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло.
Формула условной вероятности
$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ при $P(B)\neq 0$.
Зависимые события
События называются зависимыми, если наступление одного события меняет вероятность другого.
Независимые события
События называются независимыми, если наступление одного события не меняет вероятность другого. Если события $A$ и $B$ независимы, то: $$P(A\mid B)=P(A).$$
Правило умножения вероятностей для независимых событий
Если события $A$ и $B$ независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$
Правило умножения вероятностей для зависимых событий
Если события $A$ и $B$ зависимы, то: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).$$
Схема «и» в вероятности
Слово «и» обычно означает, что события должны произойти одновременно или последовательно вместе: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$$
Схема «или» в вероятности несовместных событий
Если варианты несовместны, вероятности складываются: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$$
Схема «или» в вероятности совместных событий
Если варианты совместны, нужно вычесть пересечение: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
Дерево вероятностей
Схема, которая показывает последовательность событий и вероятности переходов. Вероятность одной ветви находится умножением вероятностей вдоль этой ветви. Если нужных ветвей несколько, их вероятности складываются.
Формула полной вероятности
Если события $B_1$, $B_2$, …, $B_n$ образуют полную группу несовместных случаев, то:
$P(A)=P(B_1)\cdot P(A\mid B_1)+P(B_2)\cdot P(A\mid B_2)+…+P(B_n)\cdot P(A\mid B_n)$.
Полная группа событий
События образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдёт одно из них.
Попарно несовместные события
События называются попарно несовместными, если никакие два из них не могут произойти одновременно. Для полной группы событий это важно, чтобы не было пересечений между случаями.
Формула Байеса
Если событие $A$ уже произошло, то вероятность причины $B_i$ равна: $$P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)\cdot P(A\mid B_i)}{P(A)}.$$
Испытания Бернулли
Повторение одного и того же независимого опыта, в каждом из которых есть два исхода: успех и неудача.
Успех в испытании Бернулли
Тот исход, вероятность которого нас интересует. Вероятность успеха обычно обозначают $p$. Вероятность неудачи равна: $q=1-p$.
Формула Бернулли
Если проводится $n$ независимых испытаний, вероятность успеха в каждом равна $p$, а вероятность неудачи равна $q=1-p$, то: $$P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}.$$
Число сочетаний
Число сочетаний показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ объектов из $n$ без учёта порядка: $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
Факториал
Факториал числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$: $$n!=1\cdot2\cdot3\cdot…\cdot n.$$
Перестановки
Способы расположить $n$ различных объектов в определённом порядке. Количество перестановок равно: $P_n=n!$
Размещения
Способы выбрать $k$ объектов из $n$ и расположить их в определённом порядке. Количество размещений равно: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$.
Сочетания
Способы выбрать $k$ объектов из $n$ без учёта порядка. Количество сочетаний равно: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Выбор без возвращения
Выбор без возвращения означает, что выбранный объект не возвращается обратно. В этом случае вероятности на следующих шагах обычно меняются. Такие события чаще всего являются зависимыми.
Выбор с возвращением
Выбор с возвращением означает, что выбранный объект возвращается обратно перед следующим выбором. В этом случае состав множества не меняется. Такие события часто являются независимыми.
Вероятность нескольких независимых повторений
Если событие $A$ должно произойти несколько раз подряд в независимых испытаниях, вероятности перемножаются.
Вероятность «ровно один раз»
Событие «ровно один раз» означает, что успех происходит один раз, а во всех остальных испытаниях происходит неудача.
Вероятность «ровно k раз»
Событие «ровно $k$ раз» в $n$ независимых испытаниях считается по формуле Бернулли: $$P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}.$$
Вероятность «хотя бы один раз» в независимых испытаниях
Вероятность хотя бы одного успеха удобно находить через противоположное событие: $$P(\text{хотя бы один успех})=1-q^n.$$
Вероятность «ни разу»
Если вероятность успеха равна $p$, а вероятность неудачи равна $q=1-p$, то вероятность ни одного успеха в $n$ независимых испытаниях равна: $$P(\text{ни одного успеха})=q^n.$$
Вероятность «все разы»
Если вероятность успеха в одном испытании равна $p$, то вероятность успеха во всех $n$ независимых испытаниях равна: $$P(\text{все успехи})=p^n.$$
Диаграмма Эйлера-Венна
Помогает решать задачи на события $A$, $B$, их объединение и пересечение. Она особенно полезна, когда в условии есть слова «или», «и», «оба», «хотя бы одно», «только одно».
Событие «только одно»
Событие «только одно из двух» означает, что произошло первое и не произошло второе, или произошло второе и не произошло первое.
Событие «оба»
Событие «оба» означает, что произошли два события одновременно: $P(\text{оба})=P(A\cap B)$. Если события независимы, то $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
Событие «ни один»
Событие «ни один» означает, что не произошло ни первое, ни второе событие: $P(\text{ни один})=P(\overline A\cap\overline B)$. Если события независимы, то $P(\text{ни один})=(1-P(A))(1-P(B))$.
Событие «хотя бы одно из двух»
Событие «хотя бы одно из двух» означает, что произошло первое событие, или второе, или оба сразу: $P(\text{хотя бы одно})=P(A\cup B)$. Если события независимы, то удобно считать через противоположное: $P(\text{хотя бы одно})=1-(1-P(A))(1-P(B))$.
ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
