Практика к уроку «Задачи по теории вероятностей»

{"questions":[{"content":"Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0.03.$ Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0.91.$ Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0.01.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.037$","$0.94$","$0.87$","$0.017$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$H_1$ — батарейка исправна.<br />$H_2$ — батарейка неисправна.<br />$A$ — батарейка забракована системой контроля.  <br /><br />$2)$ Найдем вероятности гипотез:  <br />$$P(H_1) = 1- 0.03 = 0.97$$ $$P(H_2) = 0.03$$  <br />$3)$ Условные вероятности.<br />$P(A|H_1)$ — вероятность забраковать исправную батарейку.<br />$$P(A|H_1) = 0.01$$  <br />$P(A|H_2)$ — вероятность забраковать неисправную батарейку.  <br />$$P(A|H_2) = 0.91$$  <br />$4)$ Применяем формулу полной вероятности:  <br />$$P(A) = P(H_1) \\cdot P(A|H_1) + P(H_2) \\cdot P(A|H_2)$$  $$P(A) = 0.97 \\cdot 0.01 + 0.03 \\cdot 0.91$$  <br />$5)$ Вычисляем:  <br />$$0.97 \\cdot 0.01 = 0.0097$$  $$0.03 \\cdot 0.91 = 0.0273$$  $$P(A) = 0.0097 + 0.0273 = 0.0370$$  <br />Ответ: $0.037.$<br />"]},{"content":"Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0.7.$ Найдите вероятность того, что стрелок попадет в первую мишень и не попадет в три остальные.[[fill_choice_big-16]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.0189$","$0.0018$","$0.049$","$0.0324$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — стрелок попал в первую мишень.<br />$B$ — стрелок не попал во вторую мишень.<br />$C$ — стрелок не попал в третью мишень.<br />$D$ — стрелок не попал в четвертую мишень.<br /><br />$2)$ Найдем вероятности этих событий:<br />$$P(A) = 0.7$$$$P(B) = 1- 0.7 = 0.3$$$$P(C) = 0.3$$$$P(D) = 0.3$$<br />$3)$ Так как выстрелы независимы, вероятность совместного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей:<br />$$P = P(A) \\cdot P(B) \\cdot P(C) \\cdot P(D)$$<br />$4)$ Подставим значения:<br />$$P = 0.7 \\cdot 0.3 \\cdot 0.3 \\cdot 0.3 = 0.7 \\cdot 0.027 = 0.0189$$<br />Ответ: $0.0189.$"]},{"content":"Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит ее. Известно, что он поражает ее с вероятностью $0.5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил мишень с вероятностью не менее $0.8 ?$[[fill_choice_big-48]]","widgets":{"fill_choice_big-48":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$ 2$","$1$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вероятность промаха при одном выстреле:<br />$$q = 1- 0.5 = 0.5$$<br />$2)$ Проверим для одного выстрела:<br />Вероятность поражения мишени: $P = 0.5.$<br />$0.5 < 0.8$ — не подходит.<br /><br />$3)$ Проверим для двух выстрелов.<br />Вероятность, что не попадет ни разу за два выстрела: $0.5 \\cdot 0.5 = 0.25.$<br />Вероятность поражения мишени: $P = 1- 0.25 = 0.75.$<br />$0.75 < 0.8$ — не подходит.<br /><br />$4)$ Проверим для трех выстрелов.<br />Вероятность, что не попадет ни разу за три выстрела: $0.5 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5 = 0.125.$<br />Вероятность поражения мишени: $P = 1- 0.125 = 0.875.$<br />$0.875 \\geq 0.8$ — подходит.<br /><br />$5)$ Наименьшее количество патронов: $3$<br /><br />Ответ: $3.$<br />"]},{"content":"Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0.2.$ Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[fill_choice_big-93]]","widgets":{"fill_choice_big-93":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.992$","$0.008$","$0.08$","$0.558$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем вероятность противоположного события — перегорят все три лампы:<br />$$P(\\text{все перегорят}) = 0.2 \\cdot 0.2 \\cdot 0.2 = 0.008$$<br />$2)$ Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна:<br />$$P = 1- P(\\text{все перегорят}) = 1- 0.008 = 0.992$$<br />Ответ: $0.992.$"]},{"content":"В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $0.2.$ Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же — $0.2.$ Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0.18.$ Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.[[fill_choice_big-161]]","widgets":{"fill_choice_big-161":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.78.$","$0.58.$","$0.98.$","$0.72.$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — кофе закончится в первом автомате.<br />$B$ — кофе закончится во втором автомате.<br /><br />$2)$ Из условия:$$P(A) = 0.2$$$$P(B) = 0.2$$$$P(A \\cap B) = 0.18$$<br />$3)$ Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:<br />$$P(A \\cup B) = P(A) + P(B)- P(A \\cap B)$$ $$ = 0.2 + 0.2- 0.18 = 0.22$$<br />$4)$ Вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах):<br />$$P = 1- P(A \\cup B) = 1- 0.22 = 0.78$$<br />Ответ: $0.78.$"]},{"content":"В коробке $12$ синих, $6$ красных и $7$ зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.[[fill_choice_big-231]]","widgets":{"fill_choice_big-231":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.24$","$0.12$","$0.13$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Общее число фломастеров: $12 + 6 + 7 = 25$<br /><br />$2)$ Вероятность, что первый фломастер синий, а второй красный:<br />$$\\dfrac{12}{25} \\cdot \\dfrac{6}{24} = \\dfrac{12}{25} \\cdot \\dfrac{1}{4} = \\dfrac{12}{100} = 0.12$$<br />$3)$ Вероятность, что первый фломастер красный, а второй синий:<br />$$\\dfrac{6}{25} \\cdot \\dfrac{12}{24} = \\dfrac{6}{25} \\cdot \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{6}{50} = 0.12$$<br />$4)$ Общая вероятность:<br />$$0.12 + 0.12 = 0.24$$<br />Ответ: $0.24.$"]},{"content":"При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежих буханок. Известно, что вероятность того, что масса буханки окажется меньше $810\\ г,$ равна $0.96.$ Вероятность того, что масса буханки окажется больше $790\\ г,$ равна $0.82.$ Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше $790\\ г,$ но меньше $810\\ г.$[[fill_choice_big-360]]","widgets":{"fill_choice_big-360":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.78$","$0.62$","$0.14$","$0.88$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — масса буханки меньше $810\\ г.$<br />$B$ — масса буханки больше $790\\ г.$<br />$C$ — масса буханки больше $790\\ г,$ но меньше $810\\ г.$<br /><br />$2)$ Из условия:<br />$$P(A) = 0.96$$$$P(B) = 0.82$$<br />$3)$ Событие $C$ означает, что масса находится в интервале $(790; 810),$ что соответствует одновременному выполнению событий $A$ и $B{:}$<br />$$C = A \\cap B$$<br />$4)$ Вероятность того, что масса меньше $790\\ г{:}$<br />$$P(\\text{масса} < 790) = 1- P(B) = 1- 0.82 = 0.18$$<br />$5)$ Вероятность того, что масса больше $810\\ г{:}$<br />$$P(\\text{масса} > 810) = 1- P(A) = 1- 0.96 = 0.04$$<br />$6)$ Вероятность искомого события $C{:}$<br />$$P(C) = 1- 0.18- 0.04 = 0.78$$<br />Ответ: $0.78.$"]},{"content":"Игральную кость бросили два раза. Известно, что ни один раз не выпало $6$ очков. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна $9$».[[fill_choice_big-482]]","widgets":{"fill_choice_big-482":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.08$","$0.04$","$0.12$","$0.16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ При одном броске игральной кости возможны исходы: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ очков.  <br />По условию ни разу не выпало $6$ очков, значит, возможные исходы за один бросок: $1, 2, 3, 4, 5$ очков.<br /><br />$2)$ Число всех возможных исходов при двух бросках с учетом условия:  <br />$$5 \\cdot 5 = 25$$<br />$3)$ Благоприятные исходы:  <br />$(4, 5), (5, 4)$  <br />Всего $2$ благоприятных исхода.<br /><br />$4)$ Вероятность:  <br />$$P = \\dfrac{2}{25} = 0.08$$<br />Ответ: $0.08.$"]},{"content":"Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0.9.$ Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[fill_choice_big-614]]","widgets":{"fill_choice_big-614":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.271$","$0.729$","$0.999$","$0.081$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем вероятность противоположного события — перегорят все три лампы:<br />$$P(\\text{все перегорят}) = 0.9 \\cdot 0.9 \\cdot 0.9 = 0.729$$<br />$2)$ Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна:<br />$$P = 1- P(\\text{все перегорят}) = 1- 0.729 = 0.271$$<br />Ответ: $0.271.$"]},{"content":"Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Стартер», «Стартёр» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать только вторую игру.[[fill_choice_big-781]]","widgets":{"fill_choice_big-781":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$0.25$","$0.375$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ В каждой игре вероятность того, что «Ротор» начнет игру, равна $0.5,$ и вероятность того, что не начнет, тоже $0.5.$<br /><br />$2)$ Нам нужно, чтобы «Ротор» начинал только вторую игру. Это означает:<br />- первую игру не начинает,<br />- вторую игру начинает,<br />- третью игру не начинает.<br /><br />$3)$ Поскольку игры независимы, перемножаем вероятности:<br />$$P = 0.5 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5 = 0.125$$<br />Ответ: $0.125.$"]},{"content":"В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна $0.2.$ Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же — $0.2.$ Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0.12.$ Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.[[fill_choice_big-957]]","widgets":{"fill_choice_big-957":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.72$","$0.68$","$0.80$","$0.52$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — кофе закончится в первом автомате.<br />$B$ — кофе закончится во втором автомате.<br /><br />$2)$ Из условия:<br />$$P(A) = 0.2$$$$P(B) = 0.2$$$$P(A \\cap B) = 0.12$$<br />$3)$ Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:<br />$$P(A \\cup B) = P(A) + P(B)- P(A \\cap B) = 0.2 + 0.2- 0.12 = 0.28$$<br />$4)$ Вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах):<br />$$P = 1- P(A \\cup B) = 1- 0.28 = 0.72$$<br />Ответ: $0.72.$"]},{"content":"Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0.05.$ Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна $0.99.$ Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна $0.01.$ Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.[[fill_choice_big-1151]]","widgets":{"fill_choice_big-1151":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.059$","$0.1045$","$0.0295$","$0.079$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — батарейка забракована системой контроля.<br />$H_1$ — батарейка исправна.<br />$H_2$ — батарейка неисправна.<br /><br />$2)$ Найдем вероятности гипотез:<br />$$P(H_1) = 1- 0.05 = 0.95$$ $$P(H_2) = 0.05$$<br />$3)$ Найдем условные вероятности:<br />$$P(A|H_1) = 0.01$$$$P(A|H_2) = 0.99$$<br />$4)$ По формуле полной вероятности найдем вероятность события $A{:}$<br />$$P(A) = P(H_1) \\cdot P(A|H_1) + P(H_2) \\cdot P(A|H_2)$$$$P(A) = 0.95 \\cdot 0.01 + 0.05 \\cdot 0.99$$ $$ = 0.0095 + 0.0495 = 0.059$$<br />Ответ: $0.059.$"]},{"content":"Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырех мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0.9.$ Найдите вероятность того, что стрелок попадет в первые три мишени и не попадет в последнюю.[[fill_choice_big-1375]]","widgets":{"fill_choice_big-1375":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.0729$","$0.0656$","$0.081$","$0.09$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вероятность попадания в мишень: $0.9$  <br />Вероятность промаха: $$1- 0.9 = 0.1$$<br />$2)$ Нам нужно, чтобы стрелок:<br />попал в первую мишень,<br />попал во вторую мишень,<br />попал в третью мишень,<br />не попал в четвертую мишень.<br /><br />$3)$ Поскольку выстрелы независимы, перемножаем вероятности:<br />$$P = 0.9 \\cdot 0.9 \\cdot 0.9 \\cdot 0.1 = 0.729 \\cdot 0.1 = 0.0729$$<br />Ответ: $0.0729.$"]},{"content":"Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $0.7.$ Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.[[fill_choice_big-1631]]","widgets":{"fill_choice_big-1631":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.657$","$0.343$","$0.973$","$0.427$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем вероятность противоположного события — перегорят все три лампы:<br />$$P(\\text{все перегорят}) = 0.7 \\cdot 0.7 \\cdot 0.7 = 0.343$$<br />$2)$ Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна:<br />$$P = 1- P(\\text{все перегорят}) = 1- 0.343 = 0.657$$<br />Ответ: $0.657.$"]},{"content":"При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежих буханок. Известно, что вероятность того, что масса буханки окажется меньше $810\\ г,$ равна $0.95.$ Вероятность того, что масса буханки окажется больше $790\\ г,$ равна $0.84.$ Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше $790\\ г,$ но меньше $810\\ г.$[[fill_choice_big-1893]]","widgets":{"fill_choice_big-1893":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.79$","$0.11$","$0.89$","$0.68$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — масса буханки меньше $810\\ г.$<br />$B$ — масса буханки больше $790\\ г.$<br />$C$ — масса буханки больше $790\\ г,$ но меньше $810\\ г.$<br /><br />$2)$ Из условия:<br />$$P(A) = 0.95$$ $$P(B) = 0.84$$<br />$3)$ Событие $C$ означает, что масса находится в интервале $(790; 810),$ что соответствует одновременному выполнению событий $A$ и $B{:}$<br />$$C = A \\cap B$$<br />$4)$ Вероятность того, что масса меньше $790\\ г{:}$<br />$$P(\\text{масса} < 790) = 1- P(B) = 1- 0.84 = 0.16$$<br />$5)$ Вероятность того, что масса больше $810\\ г{:}$<br />$$P(\\text{масса} > 810) = 1- P(A) = 1- 0.95 = 0.05$$<br />$6)$ Вероятность искомого события $C{:}$<br />$$P(C) = 1- 0.16- 0.05 = 0.79$$<br />Ответ: $0.79.$"]},{"content":"Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Вымпел» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Вымпел» начнет игру с мячом все три раза.[[fill_choice_big-2144]]","widgets":{"fill_choice_big-2144":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.125$","$0.25$","$0.375$","$0.0625$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вероятность того, что команда «Вымпел» начнет игру с мячом в одном матче (при бросании монетки), равна:<br />$$P = 0.5$$<br />$2)$ Поскольку матчи независимы, вероятность того, что это произойдет во всех трех матчах, равна:<br />$$P = 0.5 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5 = 0.125$$<br />Ответ: $0.125.$"]},{"content":"В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.[[fill_choice_big-2412]]","widgets":{"fill_choice_big-2412":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.375$","$0.25$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ При одном бросании монеты возможны два равновероятных исхода: орел или решка.  <br />Вероятность каждого исхода: $0.5$<br /><br />$2)$ При двух бросаниях возможны $4$ равновероятных исхода:<br />- $OO$<br />- $OP$<br />- $PO$<br />- $PP$<br /><br />$3)$ Благоприятные исходы (решка выпадает ровно один раз):<br />- $OP$<br />- $PO$<br /><br />Всего $2$ благоприятных исхода.<br /><br />$4)$ Вероятность:<br />$$P = \\dfrac{2}{4} = 0.5$$<br />Ответ: $0.5.$"]},{"content":"В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.[[fill_choice_big-2764]]","widgets":{"fill_choice_big-2764":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$0.75$","$0.125$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ При одном бросании монеты возможны два равновероятных исхода: орел или решка.  <br />Вероятность каждого исхода: $0.5$<br /><br />$2)$ При двух бросаниях возможны $4$ равновероятных исхода:<br />- $OO$<br />- $OP$<br />- $PO$<br />- $PP$<br /><br />$3)$ Благоприятные исходы (орел не выпадает ни разу):<br />- $PP$<br /><br />Всего $1$ благоприятный исход.<br /><br />$4)$ Вероятность:<br />$$P = \\dfrac{1}{4} = 0.25$$<br />Ответ: $0.25.$"]},{"content":"Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнет игру с мячом не более одного раза.[[fill_choice_big-3101]]","widgets":{"fill_choice_big-3101":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$0.25$","$0.625$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вероятность того, что команда «Сапфир» начнет игру с мячом в одном матче, равна $p = 0.5.$  <br />Вероятность того, что не начнет, равна $q = 1- 0.5 = 0.5.$<br /><br />$2)$ Нам нужно найти вероятность того, что команда начнет игру с мячом $0$ раз или $1$ раз.<br /><br />$3)$ Вероятность начать $0$ раз (все три матча начинает соперник):<br />$$P(0) = 0.5 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5 = 0.125$$<br />$4)$ Вероятность начать ровно $1$ раз. Есть три варианта: начинает только первый, только второй или только третий матч:<br />$$P(1) = 3 \\cdot (0.5 \\cdot 0.5 \\cdot 0.5) = 3 \\cdot 0.125 = 0.375$$<br />$5)$ Общая вероятность:<br />$$P = P(0) + P(1) = 0.125 + 0.375 = 0.5$$<br />Ответ: $0.5.$"]},{"content":"Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна $10$».[[fill_choice_big-3420]]","widgets":{"fill_choice_big-3420":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.04$","$0.02$","$0.08$","$0.16$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ При одном броске игральной кости возможны исходы: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ очков.  <br />По условию ни разу не выпало $6$ очков, значит, возможные исходы за один бросок: $1, 2, 3, 4, 5$ очков.<br /><br />$2)$ Число всех возможных исходов при двух бросках с учетом условия:  <br />$$5 \\cdot 5 = 25$$<br />$3)$ Благоприятные исходы: $(5, 5).$  <br />Всего $1$ благоприятный исход.<br /><br />$4)$ Вероятность:  <br />$$P = \\dfrac{1}{25} = 0.04$$<br />Ответ: $0.04.$<br />"]}]}