Практика к уроку «Базовые задачи по теории вероятностей»

{"questions":[{"content":"Фабрика выпускает сумки. В среднем $4$ сумки из $50$ имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытого дефекта.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.92$","$0.08$","$0.84$","$0.96$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего сумок: $50$  <br />С дефектом: $4$  <br />Без дефекта: $50- 4 = 46$<br /><br />$2)$ Вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытого дефекта:<br />$$P = \\dfrac{46}{50} = 0.92$$<br />Ответ: $0.92.$"]},{"content":"На олимпиаде по математике $550$ участников разместили в четырех аудиториях. В первых трех удалось разместить по $110$ человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.2$","$0.6$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего участников: $550$<br /><br />$2)$ Участников в первых трех аудиториях:<br />$$3 \\cdot 110 = 330$$<br />$3)$ Участников в запасной аудитории:<br />$$550- 330 = 220$$<br />$4)$ Вероятность того, что случайно выбранный участник писал в запасной аудитории:<br />$$P = \\dfrac{220}{550} = 0.4$$<br />Ответ: $0.4.$<br />"]},{"content":"На конференцию приехали ученые из трех стран: $5$ из Австрии, $4$ из Германии и $6$ из Сербии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из Сербии.[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.3$","$0.5$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего ученых:<br />$$5 + 4 + 6 = 15$$<br />$2)$ Всего докладов: $15$<br />Все они равновероятно могут оказаться на любом месте, в том числе и на десятом.<br /><br />$3)$ Ученых из Сербии: $6$<br /><br />$4)$ Вероятность того, что десятым окажется доклад ученого из Сербии:<br />$$P = \\dfrac{6}{15} = 0.4$$<br />Ответ: $0.4.$<br />"]},{"content":"Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем $36.8^\\circ C,$ равна $0.83.$ Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36.8^\\circ C$ или выше.[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.17$","$0.83$","$0.07$","$0.23$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Событие «температура ниже $36.8^\\circ C$» и событие «температура $36.8^\\circ C$ или выше» являются противоположными.<br /><br />$2)$ Вероятность того, что температура ниже $36.8^\\circ C{:}$<br />$$P(A) = 0.83$$<br />$3)$ Вероятность того, что температура $36.8^\\circ C$ или выше:<br />$$P(B) = 1- P(A) = 1- 0.83 = 0.17$$<br />Ответ: $0.17.$"]},{"content":"В среднем из $3\\ 000$ садовых насосов, поступивших в продажу, $9$ подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.997$","$0.003$","$0.985$","$0.999$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего насосов: $3\\ 000$  <br />Подтекающих насосов: $9$  <br />Неподтекающих насосов: $3\\ 000- 9 = 2\\ 991$<br /><br />$2)$ Вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает:<br />$$P = \\dfrac{2\\ 991}{3\\ 000} = 0.997$$<br />Ответ: $0.997.$"]},{"content":"В чемпионате по гимнастике участвуют $25$ спортсменок: $6$ из Венгрии, $9$ из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.2$","$0.5$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего спортсменок: $25$<br /><br />$2)$ Спортсменок из Болгарии:<br />$$25- 6- 9 = 10$$<br />$3)$ Все спортсменки равновероятно могут оказаться на любом месте, в том числе и на первом.<br /><br />$4)$ Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Болгарии:<br />$$P = \\dfrac{10}{25} = 0.4$$<br />Ответ: $0.4.$"]},{"content":"В сборнике билетов по математике всего $48$ билетов, в $12$ из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Логарифмы».[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.75$","$0.25$","$0.5$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего билетов: $48$  <br />Билетов с вопросом по логарифмам: $12$  <br />Билетов без вопроса по логарифмам: $48- 12 = 36$<br /><br />$2)$ Вероятность того, что в случайно выбранном билете не будет вопроса по логарифмам:<br />$$P = \\dfrac{36}{48} = 0.75$$<br />Ответ: $0.75.$"]},{"content":"В группе туристов $20$ человек. Их вертолетом доставляют в труднодоступный район, перевозя по $4$ человека за рейс. Порядок, в котором вертолет перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист $B,$ входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолета.[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.25$","$0.15$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего туристов: $20$  <br />Вертолет перевозит по $4$ человека за рейс.<br /><br />$2)$ Все туристы равновероятно могут оказаться на любом рейсе, в том числе и на первом.<br /><br />$3)$ Вероятность того, что турист $B$ полетит первым рейсом:<br />$$P = \\dfrac{4}{20} = 0.2$$<br />Ответ: $0.2.$"]},{"content":"На чемпионате по прыжкам в воду выступают $25$ спортсменов, среди них $10$ спортсменов из Испании и $6$ спортсменов из Бразилии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что одиннадцатым будет выступать спортсмен из Испании.[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.2$","$0.5$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего спортсменов: $25$  <br />Спортсменов из Испании: $10$<br /><br />$2)$ Все спортсмены равновероятно могут оказаться на любом месте, в том числе и на одиннадцатом.<br /><br />$3)$ Вероятность того, что одиннадцатым будет выступать спортсмен из Испании:<br />$$P = \\dfrac{10}{25} = 0.4$$<br />Ответ: $0.4.$"]},{"content":"В сборнике билетов по химии $30$ билетов, в девяти из них встречается вопрос по теме «Щелочи». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Щелочи».[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.7$","$0.3$","$0.5$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего билетов: $30$  <br />Билетов с вопросом по щелочам: $9$  <br />Билетов без вопроса по щелочам: $30- 9 = 21$<br /><br />$2)$ Вероятность того, что в случайно выбранном билете не будет вопроса по щелочам:<br />$$P = \\dfrac{21}{30} = 0.7$$<br />Ответ: $0.7.$"]},{"content":"Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся $A.$ верно решит больше четырех задач, равна $0.73.$ Вероятность того, что $A.$ верно решит больше трех задач, равна $0.86.$ Найдите вероятность того, что $A.$ верно решит ровно $4$ задачи.[[fill_choice_big-151]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.13$","$0.27$","$0.59$","$0.05$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$X > 4$ — верно решит больше $4$ задач.<br />$X > 3$ — верно решит больше $3$ задач.<br />$X = 4$ — верно решит ровно $4$ задачи.<br /><br />$2)$ Из условия:<br />$$P(X > 4) = 0.73$$$$P(X > 3) = 0.86$$<br />$3)$ Событие $X > 3$ можно представить как объединение двух несовместных событий:<br />$$X > 3 = (X = 4) \\cup (X > 4)$$<br />$4)$ Отсюда:<br />$$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X > 4)$$$$0.86 = P(X = 4) + 0.73$$$$P(X = 4) = 0.86- 0.73 = 0.13$$<br />Ответ: $0.13.$"]},{"content":"В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырех стран: $6$ из Великобритании, $2$ из Франции, $4$ из Германии и $3$ из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Великобритании.[[fill_choice_big-258]]","widgets":{"fill_choice_big-258":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.2$","$0.5$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего спортсменов:<br />$$6 + 2 + 4 + 3 = 15$$<br />$2)$ Спортсменов из Великобритании: $6.$<br /><br />$3)$ Все спортсмены равновероятно могут оказаться на любом месте, в том числе и на первом.<br /><br />$4)$ Вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из Великобритании:<br />$$P = \\dfrac{6}{15} = 0.4$$<br />Ответ: $0.4.$<br />"]},{"content":"В группе туристов $20$ человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист $Л.,$ входящий в состав группы, пойдет в магазин?[[fill_choice_big-375]]","widgets":{"fill_choice_big-375":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.35$","$0.25$","$0.45$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего туристов: $20$  <br />Выбирают $7$ человек.<br /><br />$2)$ Все туристы равновероятно могут быть выбраны.<br /><br />$3)$ Вероятность того, что турист $Л.$ будет среди выбранных семи:<br />$$P = \\dfrac{7}{20} = 0.35$$<br />Ответ: $0.35.$"]},{"content":"На олимпиаде по химии $300$ участников разместили в трех аудиториях. В первых двух удалось разместить по $120$ человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.[[fill_choice_big-502]]","widgets":{"fill_choice_big-502":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$0.4$","$0.6$","$0.3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего участников: $300.$<br /><br />$2)$ Участников в первых двух аудиториях:<br />$$2 \\cdot 120 = 240$$<br />$3)$ Участников в запасной аудитории:<br />$$300- 240 = 60$$<br />$4)$ Вероятность того, что случайно выбранный участник писал в запасной аудитории:<br />$$P = \\dfrac{60}{300} = 0.2$$<br />Ответ: $0.2.$"]},{"content":"Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.[[fill_choice_big-639]]","widgets":{"fill_choice_big-639":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.4$","$0.5$","$0.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего людей: $5.$  <br />Мальчиков: $3.$<br /><br />$2)$ Все дети равновероятно могут начинать игру.<br /><br />$3)$ Вероятность того, что начинать игру будет мальчик:<br />$$P = \\dfrac{3}{5} = 0.6$$<br />Ответ: $0.6.$"]},{"content":"Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше $23$ пассажиров, равна $0.87.$ Вероятность того, что окажется меньше $14$ пассажиров, равна $0.61.$ Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от $14$ до $22$ включительно.[[fill_choice_big-3638]]","widgets":{"fill_choice_big-3638":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.26$","$0.39$","$0.48$","$0.13$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Введем события.<br />$A$ — число пассажиров меньше $23.$<br />$B$ — число пассажиров меньше $14.$<br />$C$ — число пассажиров от $14$ до $22$ включительно.<br /><br />$2)$ Из условия:<br />$$P(A) = 0.87$$ $$P(B) = 0.61$$<br />$3)$ Событие $A$ можно представить как объединение двух несовместных событий:<br />$$A = B \\cup C$$<br />$4)$ Отсюда:<br />$$P(A) = P(B) + P(C)$$$$0.87 = 0.61 + P(C)$$$$P(C) = 0.87- 0.61 = 0.26$$<br />Ответ: $0.26.$"]},{"content":"В чемпионате по гимнастике участвуют $50$ спортсменок: $13$ из Великобритании, $7$ из России, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.[[fill_choice_big-3577]]","widgets":{"fill_choice_big-3577":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.4$","$0.5$","$0.7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего спортсменок: $50.$  <br />Из Великобритании: $13.$  <br />Из России: $7.$  <br />Из Германии: $50- 13- 7 = 30.$<br /><br />$2)$ Все спортсменки равновероятно могут оказаться на любом месте, в том числе и на первом.<br /><br />$3)$ Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Германии:<br />$$P = \\dfrac{30}{50} = 0.6$$<br />Ответ: $0.6.$"]},{"content":"В сборнике билетов по истории всего $50$ билетов, в пяти из них встречается вопрос по теме «Великая Отечественная война». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Великая Отечественная война».[[fill_choice_big-3516]]","widgets":{"fill_choice_big-3516":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.9$","$0.1$","$0.8$","$0.85$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего билетов: $50.$  <br />Билетов с вопросом по Великой Отечественной войне: $5.$  <br />Билетов без этого вопроса: $50- 5 = 45.$<br /><br />$2)$ Вероятность того, что в случайно выбранном билете не будет вопроса по Великой Отечественной войне:<br />$$P = \\dfrac{45}{50} = 0.9$$<br />Ответ: $0.9.$"]},{"content":"Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем $36.8^\\circ C,$ равна $0.91.$ Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется $36.8^\\circ C$ или выше.[[fill_choice_big-3455]]","widgets":{"fill_choice_big-3455":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.09$","$0.91$","$0.19$","$0.01$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Событие «температура ниже $36.8^\\circ C$» и событие «температура $36.8^\\circ C$ или выше» являются противоположными.<br /><br />$2)$ Вероятность того, что температура ниже $36.8^\\circ C{:}$<br />$$P(A) = 0.91$$<br />$3)$ Вероятность того, что температура $36.8^\\circ C$ или выше:<br />$$P(B) = 1- P(A) = 1- 0.91 = 0.09$$<br />Ответ: $0.09.$"]},{"content":"На конференцию приехали ученые из трех стран: $2$ из Румынии, $2$ из Италии и $6$ из Венгрии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что первым окажется доклад ученого из Венгрии.[[fill_choice_big-3394]]","widgets":{"fill_choice_big-3394":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.7$","$0.5$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Всего ученых:<br />$$2 + 2 + 6 = 10$$<br />$2)$ Ученых из Венгрии: $6.$<br /><br />$3)$ Все доклады равновероятно могут оказаться на любом месте, в том числе и на первом.<br /><br />$4)$ Вероятность того, что первым окажется доклад ученого из Венгрии:<br />$$P = \\dfrac{6}{10} = 0.6$$<br />Ответ: $0.6.$"]}]}