Объем тела
Величина, которая показывает, сколько пространства занимает геометрическое тело $V$. Единицы измерения объёма: $мм^3$, $см^3$, $дм^3$, $м^3$.
Основание тела
Фигура, на которой «стоит» пространственное тело. Например, у призмы основанием является многоугольник, у цилиндра — круг, у пирамиды — многоугольник, у конуса — круг.
Площадь основания
Площадь соответствующей фигуры, его обычно обозначают $S_{\text{осн}}$.
Высота тела
Перпендикулярное расстояние $h$ между основанием и противоположной вершиной, гранью или основанием. В формулах объёма важно использовать именно перпендикулярную высоту, а не боковое ребро или образующую.
Куб
Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.
Объём куба
Если ребро куба равно $a$, то объём куба равен: $$V=a^3.$$
Ребро куба через объём
Если известен объём куба $V$, то ребро куба можно найти по формуле: $$a=\sqrt[3]{V}.$$
Прямоугольный параллелепипед
Праллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками. $a$, $b$ и $c$ — длина, ширина и высота параллелепипеда.
Объём прямоугольного параллелепипеда
Если его измерения равны $a$, $b$ и $c$, то объём равен: $$V=abc.$$
Объём параллелепипеда
Равен произведению площади основания на высоту: $$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Прямая призма
Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям. У прямой призмы высота равна боковому ребру.
Объём прямой призмы
Равен произведению площади основания на высоту: $V=S_{\text{осн}}\cdot h$.
Наклонная призма
Призма, у которой боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. У наклонной призмы высота не равна боковому ребру.
Объём наклонной призмы
Объём наклонной призмы также равен произведению площади основания на высоту: $$V=S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Если основание — треугольник, то площадь основания?
$$S_{\text{осн}}=\frac12 ah$$
Если основание — прямоугольник, то площадь основания?
$$S_{\text{осн}}=ab$$
Если основание — параллелограмм, то площадь основания?
$$S_{\text{осн}}=ah$$
Если основание — трапеция, то площадь основания?
$$S_{\text{осн}}=\frac{a+b}{2}\cdot h$$
Треугольная призма
Призма, основанием которой является треугольник.
Объём треугольной призмы
$V=S_{\triangle}\cdot h_{\text{призмы}}$.
Пирамида
Многогранник, у которого одно основание, а боковые грани являются треугольниками.
Объём пирамиды
Равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot h.$$
Высота пирамиды
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.
Правильная пирамида
Пирамида, у которой основание является правильным многоугольником, а вершина проектируется в центр основания.
Объём правильной пирамиды
$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot h$.
Если основание правильной пирамиды — квадрат со стороной $a$, то объем?
$$V=\frac13 a^2h$$
Усечённая пирамида
Она получается, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю малую пирамиду.
Объём усечённой пирамиды
Если площади оснований равны $S_1$ и $S_2$, а высота равна $h$, то объём усечённой пирамиды равен: $$V=\frac{h}{3}\left(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2\right).$$
Цилиндр
Тело, у которого два равных параллельных основания являются кругами.
Объём цилиндра
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V=\pi R^2h.$$
Радиус цилиндра через объём и высоту
Если известны объём цилиндра $V$ и высота $h$, то радиус основания можно найти из формулы: $$R=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}.$$
Высота цилиндра через объём и радиус
Если известны объём цилиндра $V$ и радиус основания $R$, то высота цилиндра равна: $$h=\frac{V}{\pi R^2}.$$
Конус
Тело, у которого основание является кругом, а боковая поверхность сходится в одну вершину.
Объём конуса
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: $$V=\frac13\pi R^2h.$$
Высота конуса
Перпендикуляр, проведённый из вершины конуса к плоскости основания. В прямом круговом конусе высота проходит через центр основания.
Образующая конуса
Отрезок $l$, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания. В прямом конусе радиус основания $R$, высота $h$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник: $$l^2=R^2+h^2.$$
Радиус конуса через объём и высоту
Если известны объём конуса $V$ и высота $h$, то радиус основания можно найти по формуле: $$R=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}.$$
Высота конуса через объём и радиус
Если известны объём конуса $V$ и радиус основания $R$, то высота равна: $$h=\frac{3V}{\pi R^2}.$$
Шар
Тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до центра не больше радиуса.
Объём шара
$$V=\frac43\pi R^3$$
Радиус шара через объём
Если известен объём шара $V$, то радиус можно найти по формуле: $$R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}.$$
Диаметр шара
Отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две точки поверхности шара. Если известен диаметр $d$, то радиус равен: $R=\frac d2$.
Объём шара через диаметр
$$V=\frac{\pi d^3}{6}$$
Объём полушара
Объём полушара равен половине объёма шара: $$V=\frac12\cdot\frac43\pi R^3=\frac23\pi R^3.$$
Общая формула объёма призмы и цилиндра
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h$$
Общая формула объёма пирамиды и конуса
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot h$$
Сравнение объёмов цилиндра и конуса
Если цилиндр и конус имеют одинаковые основание и высоту, то объём конуса в $3$ раза меньше объёма цилиндра.
Сравнение объёмов призмы и пирамиды
Если призма и пирамида имеют одинаковые основание и высоту, то объём пирамиды в $3$ раза меньше объёма призмы.
Объёмы подобных тел
Если два тела подобны с коэффициентом подобия $k$, то их объёмы относятся как куб коэффициента подобия: $$\frac{V_1}{V_2}=k^3.$$
Единицы объёма
Если длины даны в сантиметрах, то объём получится в кубических сантиметрах: $см^3$. Если длины даны в метрах, то объём получится в кубических метрах: $м^3$. Перед подстановкой в формулу все величины нужно привести к одним единицам измерения.
Перевод единиц объёма: метры в сантиметры
$$1 м^3=100^3 см^3=1000000 см^3$$
Перевод единиц объёма: дециметры в сантиметры
$$1 дм^3=10^3 см^3=1000 см^3$$
Перевод единиц объёма: литры в сантиметры
$$1 л =1 дм^3=1000 см^3$$
ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
