Вектор
Направленный отрезок, у которого есть начало, конец, длина и направление. Обозначения: $\overrightarrow{AB}$ или $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$.
Длина вектора
Расстояние между его началом и концом: $\vec a$ обозначается $|\vec a|$. Если вектор задан точками $A$ и $B$, то его длина равна длине отрезка $AB$: $|\overrightarrow{AB}|=AB$.
Нулевой вектор
Вектор, у которого начало и конец совпадают. Он не имеет направления и его длина равна нулю: $|\vec 0|=0$.
Равные векторы
Векторы называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Противоположные векторы
Векторы называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, но противоположные направления.
Коллинеарные векторы
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы $\vec a$ и $\vec b$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что
$\vec a=k\vec b$.
Сонаправленные векторы
Коллинеарные векторы, которые направлены в одну сторону. Если $\vec a$ и $\vec b$ сонаправлены, то угол между ними равен $0^\circ$.
Противоположно направленные векторы
Коллинеарные векторы, которые направлены в разные стороны. Если $\vec a$ и $\vec b$ противоположно направлены, то угол между ними равен $180^\circ$.
Сложение векторов
Суммой векторов $\vec a$ и $\vec b$ называется вектор $\vec a+\vec b$. Складывать векторы можно по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Правило треугольника
Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, нужно от конца первого вектора отложить второй вектор.
Правило параллелограмма
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить оба вектора из одной точки и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки, будет суммой этих векторов.
Разность векторов
Разность векторов $\vec a$ и $\vec b$ — это сумма вектора $\vec a$ и вектора, противоположного $\vec b$: $$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).$$
Умножение вектора на число
При умножении вектора $\vec a$ на число $k$ получается вектор $k\vec a$.
Координаты вектора на плоскости
Если точка $A$ имеет координаты $A(x_1;y_1)$, а точка $B$ имеет координаты $B(x_2;y_2)$, то координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны: $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1).$$
Координаты вектора в пространстве
Если точка $A$ имеет координаты $A(x_1;y_1;z_1)$, а точка $B$ имеет координаты $B(x_2;y_2;z_2)$, то координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны: $$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1).$$
Длина вектора по координатам на плоскости
Если вектор $\vec a$ имеет координаты $\vec a=(x;y)$, то его длина равна:
$$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}.$$
Длина вектора по координатам в пространстве
Если вектор $\vec a$ имеет координаты $\vec a=(x;y;z)$, то его длина равна: $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$
Сложение векторов по координатам
Если $\vec a=(x_1;y_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2)$, то $$\vec a+\vec b=(x_1+x_2;y_1+y_2).$$
Разность векторов по координатам
Если $\vec a=(x_1;y_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2)$, то $$\vec a-\vec b=(x_1-x_2;y_1-y_2).$$
Умножение вектора на число по координатам
Если $\vec a=(x;y)$, то $k\vec a=(kx;ky)$. Если $\vec a=(x;y;z)$, то $k\vec a=(kx;ky;kz)$.
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$ равно произведению их длин на косинус угла между ними: $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha.$$
Скалярное произведение по координатам на плоскости
Если $\vec a=(x_1;y_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2)$, то $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2$.
Скалярное произведение по координатам в пространстве
Если $\vec a=(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2;z_2)$, то $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.
Угол между векторами
Угол между векторами можно найти через скалярное произведение: $$\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.$$
Перпендикулярные векторы
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$ и их скалярное произведение равно нулю.
Условие перпендикулярности векторов на плоскости
Если $\vec a=(x_1;y_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2)$, то векторы перпендикулярны, если $x_1x_2+y_1y_2=0$.
Условие перпендикулярности векторов в пространстве
Если $\vec a=(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2;z_2)$, то векторы перпендикулярны, если $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$.
Условие коллинеарности векторов на плоскости
Если $\vec a=(x_1;y_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2)$, то векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}.$$
Условие коллинеарности векторов в пространстве
Если $\vec a=(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec b=(x_2;y_2;z_2)$, то векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}.$$
Единичный вектор
Вектор, длина которого равна $1$.
Орты координатных осей
Единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. На плоскости обычно используют орты $\vec i$ и $\vec j$. В пространстве используют орты $\vec i$, $\vec j$ и $\vec k$.
Разложение вектора по координатным ортам на плоскости
Если $\vec a=(x;y)$, то его можно записать так: $$\vec a=x\vec i+y\vec j.$$
Разложение вектора по координатным ортам в пространстве
Если $\vec a=(x;y;z)$, то его можно записать так: $$\vec a=x\vec i+y\vec j+z\vec k.$$
Радиус-вектор точки
Вектор, проведённый из начала координат в данную точку.
Проекция вектора на ось
Число, показывающее, насколько вектор направлен вдоль этой оси.
Проекция одного вектора на другой
Проекция вектора $\vec a$ на направление вектора $\vec b$ равна: $$\operatorname{пр}_{\vec b}\vec a=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}.$$
Вектор между двумя точками
Вектор от точки $A$ к точке $B$ находится как разность радиус-векторов конца и начала: $$\overrightarrow{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}.$$
ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
