Практика к уроку «Векторы»

{"questions":[{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(25; 0)$ и $\\vec{b}(1; -5).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- 4\\vec{b}.$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$29$","$25$","$21$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты вектора $\\vec{a}- 4\\vec{b}{:}$<br />$$\\vec{a}- 4\\vec{b} = (25; 0)- 4 \\cdot (1; -5) $$ $$= (25; 0)- (4; -20) = (25- 4; 0- (-20)) = (21; 20)$$<br />$2)$ Длина вектора $\\vec{c}(x; y)$ вычисляется по формуле:<br />$$|\\vec{c}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$$<br />$3)$ Для вектора $(21; 20){:}$<br />$$|\\vec{a}- 4\\vec{b}| = \\sqrt{21^2 + 20^2} = \\sqrt{441 + 400} = \\sqrt{841} = 29$$<br />Ответ: $29.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(-13; 4)$ и $\\vec{b}(-6; 1).$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$82$","$-14$","$14$","$65$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$2)$ Подставим координаты векторов:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = (-13) \\cdot (-6) + 4 \\cdot 1 = 78 + 4 = 82$$<br />Ответ: $82.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(1; 1)$ и $\\vec{b}(0; 7).$ Найдите длину вектора $8\\vec{a} + \\vec{b}.$[[fill_choice_big-44]]","widgets":{"fill_choice_big-44":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$9$","$14$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты вектора $8\\vec{a} + \\vec{b}{:}$<br />$$8\\vec{a} + \\vec{b} = 8 \\cdot (1; 1) + (0; 7) $$ $$= (8; 8) + (0; 7) = (8 + 0; 8 + 7) = (8; 15)$$<br />$2)$ Длина вектора $\\vec{c}(x; y)$ вычисляется по формуле:<br />$$|\\vec{c}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$$<br />$3)$ Для вектора $(8; 15){:}$<br />$$|8\\vec{a} + \\vec{b}| = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17$$<br />Ответ: $17.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(2; 1)$ и $\\vec{b}(2; -4).$ Найдите скалярное произведение векторов $\\vec{a} + \\vec{b}$ и $7\\vec{a}- \\vec{b}.$[[fill_choice_big-110]]","widgets":{"fill_choice_big-110":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$16$","$14$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты векторов $\\vec{a} + \\vec{b}$ и $7\\vec{a}- \\vec{b}{:}$<br /><br />$$\\vec{a} + \\vec{b} = (2; 1) + (2; -4) = (2 + 2; 1 + (-4)) = (4; -3)$$ $$7\\vec{a}- \\vec{b} = 7 \\cdot (2; 1)- (2; -4) $$ $$= (14; 7)- (2; -4) = (14- 2; 7- (-4)) = (12; 11)$$<br />$2)$ Скалярное произведение вычисляется по формуле:<br />$$(\\vec{a} + \\vec{b}) \\cdot (7\\vec{a}- \\vec{b}) = x_1 x_2 + y_1 y_2$$где $(x_1, y_1)$ — координаты первого вектора, $(x_2, y_2)$ — координаты второго вектора.<br /><br />$3)$ Подставим координаты:<br />$$(4; -3) \\cdot (12; 11) = 4 \\cdot 12 + (-3) \\cdot 11 = 48- 33 = 15$$<br />Ответ: $15.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(6; 4)$ и $\\vec{b}(5; -7).$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-179]]","widgets":{"fill_choice_big-179":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$-2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$2)$ Подставим координаты векторов:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 6 \\cdot 5 + 4 \\cdot (-7) = 30- 28 = 2$$<br />Ответ: $2.$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b},$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\\vec{a} + 4\\vec{b}.$[[image-267]][[fill_choice_big-328]]","widgets":{"image-267":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/1-3.svg","width":"400"},"fill_choice_big-328":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$14$","$12$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты векторов по их началу и концу.<br />Вектор $\\vec{a}{:}$ начало $(1;1),$ конец $(4;5)$  <br />  $\\vec{a} = (4-1; 5-1) = (3;4)$<br />Вектор $\\vec{b}{:}$ начало $(3;3),$ конец $(5;2)$  <br />  $\\vec{b} = (5-3; 2-3) = (2;-1)$<br /><br />$2)$ Найдем координаты вектора $\\vec{a} + 4\\vec{b}{:}$<br />$$\\vec{a} + 4\\vec{b} = (3;4) + 4 \\cdot (2;-1) = (3;4) + (8;-4) = (3+8;4+(-4)) = (11;0)$$<br />$3)$ Длина вектора $\\vec{c}(x;y)$ вычисляется по формуле:<br />$$|\\vec{c}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$$<br />$4)$ Для вектора $(11;0){:}$<br />$$|\\vec{a} + 4\\vec{b}| = \\sqrt{11^2 + 0^2} = \\sqrt{121} = 11$$<br />Ответ: $11.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(31; 0)$ и $\\vec{b}(1; -1).$ Найдите длину вектора $\\vec{a}- 24\\vec{b}.$[[fill_choice_big-1153]]","widgets":{"fill_choice_big-1153":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$12$","$4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты вектора $\\vec{a}- 24\\vec{b}{:}$<br />$$\\vec{a}- 24\\vec{b} = (31; 0)- 24 \\cdot (1; -1) $$ $$= (31; 0)- (24; -24) = (31- 24; 0- (-24)) = (7; 24)$$<br />$2)$ Длина вектора $\\vec{c}(x; y)$ вычисляется по формуле:<br />$$|\\vec{c}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$$<br />$3)$ Для вектора $(7; 24){:}$<br />$$|\\vec{a}- 24\\vec{b}| = \\sqrt{7^2 + 24^2} = \\sqrt{49 + 576} = \\sqrt{625} = 25$$<br />Ответ: $25.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(14; -2)$ и $\\vec{b}(5; -8).$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-479]]","widgets":{"fill_choice_big-479":{"type":"fill_choice_big","options":["$86$","$50$","$11$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$2)$ Подставим координаты векторов:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 14 \\cdot 5 + (-2) \\cdot (-8) = 70 + 16 = 86$$<br />Ответ: $86.$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b},$ координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[image-612]][[fill_choice_big-828]]","widgets":{"image-612":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/2-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-828":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$13$","$2$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты векторов по их началу и концу.<br />Вектор $\\vec{a}{:}$ начало $(1;1),$ конец $(3;4)$  <br />  $$\\vec{a} = (3-1; 4-1) = (2;3)$$<br />Вектор $\\vec{b}{:}$ начало $(3;3),$ конец $(5;2)$  <br />  $$\\vec{b} = (5-3; 2-3) = (2;-1)$$<br /><br />$2)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$3)$ Подставим координаты векторов:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot (-1) = 4- 3 = 1$$<br />Ответ: $1.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(2; 0)$ и $\\vec{b}(1; 4).$ Найдите длину вектора $\\vec{a} + 3\\vec{b}.$[[fill_choice_big-721]]","widgets":{"fill_choice_big-721":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$1$","$25$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты вектора $\\vec{a} + 3\\vec{b}{:}$<br />$$\\vec{a} + 3\\vec{b} = (2; 0) + 3 \\cdot (1; 4) $$ $$= (2; 0) + (3; 12) = (2 + 3; 0 + 12) = (5; 12)$$<br />$2)$ Длина вектора $\\vec{c}(x; y)$ вычисляется по формуле:<br />$$|\\vec{c}| = \\sqrt{x^2 + y^2}$$<br />$3)$ Для вектора $(5; 12){:}$<br />$$|\\vec{a} + 3\\vec{b}| = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13$$<br />Ответ: $13.$"]},{"content":"Длины векторов $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$ равны $3$ и $7,$ а угол между ними равен $60^\\circ.$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-1012]]","widgets":{"fill_choice_big-1012":{"type":"fill_choice_big","options":["$10.5$","$21$","$12$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos\\alpha$$<br />$2)$ Подставим известные значения:<br />$$|\\vec{a}| = 3, \\quad |\\vec{b}| = 7, \\quad \\alpha = 60^\\circ$$<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 3 \\cdot 7 \\cdot \\cos 60^\\circ = 21 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 10.5$$<br />Ответ: $10.5.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a}(8; 9)$ и $\\vec{b}(4; -3).$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-1371]]","widgets":{"fill_choice_big-1371":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$10$","$2$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$2)$ Подставим координаты векторов:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 8 \\cdot 4 + 9 \\cdot (-3) = 32- 27 = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b}$, координаты которых являются целыми числами. Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[image-1606]][[fill_choice_big-1682]]","widgets":{"image-1606":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/3-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1682":{"type":"fill_choice_big","options":["$71$","$25$","$2$","$108$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты вектора $\\vec{a}.$ Для этого из координат конца вычтем координаты начала:<br />$$\\vec{a} = (9- 1; 7- 2) = (8; 5)$$<br />$2)$ Найдем координаты вектора $\\vec{b}{:}$<br />$$\\vec{b} = (8- 1; 4- 1) = (7; 3)$$<br />$3)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$4)$ Подставим координаты векторов $\\vec{a}(8; 5)$ и $\\vec{b}(7; 3)$ в формулу:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 8 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 56 + 15 = 71$$<br />Ответ: $71.$"]},{"content":"Даны векторы $\\vec{a} (5; -7)$ и $\\vec{b} (14; 1).$ Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[fill_choice_big-1998]]","widgets":{"fill_choice_big-1998":{"type":"fill_choice_big","options":["$63$","$13$","$25$","$72$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Скалярное произведение двух векторов $\\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$<br />$2)$ Подставим координаты векторов $\\vec{a}(5; -7)$ и $\\vec{b}(14; 1)$ в формулу:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 5 \\cdot 14 + (-7) \\cdot 1 = 70- 7 = 63$$<br />Ответ: $63.$"]},{"content":"На координатной плоскости изображены векторы $\\vec{a}$ и $\\vec{b},$ координаты которых являются целыми числами. Найдите скалярное произведение $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}.$[[image-2267]][[fill_choice_big-2358]]","widgets":{"image-2267":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/11/4-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-2358":{"type":"fill_choice_big","options":["$41$","$73$","$11$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем координаты вектора $\\vec{a}{:}$<br />$$\\vec{a} = (8- 1; 5- 2) = (7; 3)$$<br />$2)$ Найдем координаты вектора $\\vec{b}{:}$<br />$$\\vec{b} = (6- 1; 3- 1) = (5; 2)$$<br />$3)$ Скалярное произведение векторов находится по формуле:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y$$<br />$4)$ Подставим координаты векторов в формулу:<br />$$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 7 \\cdot 5 + 3 \\cdot 2 = 35 + 6 = 41$$<br />Ответ: $41.$"]}]}