Производная функции
Производная функции в точке $f'(x)$ показывает, как быстро меняется функция в этой точке.
Производная в точке
Производная функции в точке $x_0$ обозначается $f'(x_0)$. Она показывает скорость изменения функции именно при $x=x_0$.
Геометрический смысл производной
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: $$f'(x_0)=k.$$
Физический смысл производной
Если функция $s(t)$ задаёт путь или координату тела, то производная $s'(t)$ показывает мгновенную скорость: $$v(t)=s'(t).$$
Производная постоянной
Производная постоянного числа равна нулю: $$(C)’=0.$$
Производная переменной
Производная функции $y=x$ равна $1$: $$(x)’=1.$$
Производная степени
Для функции $y=x^n$ производная равна: $$(x^n)’=nx^{n-1}.$$
Производная квадратного корня
Производная функции $y=\sqrt{x}$ при $x>0$ равна: $$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Производная обратной функции $y=\frac1x$
Производная функции $y=\frac1x$ при $x\neq0$ равна: $\left(\frac1x\right)’=-\frac1{x^2}$.
Производная функции $y=\frac{1}{x^n}$
$$\left(\frac1{x^n}\right)’=-\frac{n}{x^{n+1}}$$
Производная линейной функции
Равна её угловому коэффициенту. Если $y=kx+b$, то: $$y’=k.$$
Производная квадратичной функции
Если $y=ax^2+bx+c$, то: $$y’=2ax+b.$$
Производная кубической функции
Если $y=ax^3+bx^2+cx+d$, то: $$y’=3ax^2+2bx+c.$$
Производная показательной функции
Производная функции $y=a^x$ при $a>0$, $a\neq1$ равна:
$$(a^x)’=a^x\ln a.$$
Производная логарифмической функции
Производная натурального логарифма: $(\ln x)’=\frac1x$ при $x>0$.
Производная синуса
$$(\sin x)’=\cos x$$
Производная косинуса
$$(\cos x)’=-\sin x$$
Производная тангенса
$$(\tg x)’=\frac1{\cos^2 x}, \cos x\neq0$$
Производная котангенса
$$(\ctg x)’=-\frac1{\sin^2 x}, \sin x\neq0$$
Производная суммы
Производная суммы равна сумме производных $$(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x).$$
Производная разности
Производная разности равна разности производных: $$(f(x)-g(x))’=f'(x)-g'(x).$$
Постоянный множитель
Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $$(C\cdot f(x))’=C\cdot f'(x).$$
Производная произведения
Производная произведения двух функций находится по формуле: $$(uv)’=u’v+uv’.$$
Производная частного
Производная частного при $v\neq0$ находится по формуле: $$\left(\frac uv\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$
Производная сложной функции
Если $y=f(g(x))$, то производная $$y’=f'(g(x))\cdot g'(x).$$
Производная степени сложной функции
Если $y=(g(x))^n$, то: $$y’=n(g(x))^{n-1}\cdot g'(x).$$
Производная корня из сложной функции
Если $y=\sqrt{g(x)}$ при $g(x)>0$, то: $$y’=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.$$
Производная логарифма сложной функции
Если $y=\ln g(x)$ при $g(x)>0$, то: $$y’=\frac{g'(x)}{g(x)}.$$
Производная показательной сложной функции
Если $y=e^{g(x)}$, то: $$y’=e^{g(x)}\cdot g'(x).$$
Касательная к графику функции
Прямая, которая имеет с графиком общий наклон в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания: $k=f'(x_0)$.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
Угловой коэффициент прямой
Если прямая задана уравнением $y=kx+b$, то число $k$ называется угловым коэффициентом.
Горизонтальная касательная
Горизонтальная касательная имеет угловой коэффициент $0$. Если касательная горизонтальна, то: $f'(x_0)=0$.
Возрастающая функция
Функция возрастает на промежутке, если при увеличении $x$ значения функции увеличиваются.
Убывающая функция
Функция убывает на промежутке, если при увеличении $x$ значения функции уменьшаются.
Промежуток возрастания
Промежуток, на котором функция возрастает. Для его нахождения нужно решить неравенство: $f'(x)>0$.
Промежуток убывания
Промежуток, на котором функция убывает. Для его нахождения нужно решить неравенство: $f'(x)<0$.
Интервалы монотонности
Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.
Критические точки
Точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.
Стационарные точки
Точки, в которых производная равна нулю: $f'(x)=0$. Не каждая стационарная точка обязательно является точкой экстремума.
Экстремум функции
Максимум или минимум функции. К экстремумам относятся точки максимума и точки минимума.
Точка максимума
Такая точка, в которой значение функции больше значений функции в соседних точках.
Точка минимума
Такая точка, в которой значение функции меньше значений функции в соседних точках.
Наибольшее значение функции
Самое большое значение функции среди всех значений на данном отрезке.
Наименьшее значение функции
Самое маленькое значение функции среди всех значений на данном отрезке.
ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
