Практика к уроку «Производная»

{"questions":[{"content":"Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=4t^2-20t+9$, где $x$ — расстояние в метрах, $t$ — время в секундах. Найдите скорость точки в момент времени $t=7$ с. [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$36\\ \\text{м/с}$","$34\\ \\text{м/с}$","$38\\ \\text{м/с}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$v(t)=x'(t)$<br />$v(t)=8t-20$","$v(7)=8\\cdot7-20=56-20=36$."]},{"content":"Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=3t^2-18t+11$. Найдите ее скорость в момент времени $t=10$ с. [[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$42\\ \\text{м/с}$","$40\\ \\text{м/с}$","$48\\ \\text{м/с}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$v(t)=x'(t)$<br />$v(t)=6t-18$","$v(10)=6\\cdot10-18=60-18=42$."]},{"content":"Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=5t^2-30t+4$. Найдите ее скорость в момент времени $t=8$ с. [[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$50\\ \\text{м/с}$","$48\\ \\text{м/с}$","$52\\ \\text{м/с}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$v(t)=x'(t)$<br />$v(t)=10t-30$","$v(8)=10\\cdot8-30=80-30=50$."]},{"content":"Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=7t^2-56t+13$. Найдите ее скорость в момент времени $t=9$ с. [[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$70\\ \\text{м/с}$","$72\\ \\text{м/с}$","$68\\ \\text{м/с}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$v(t)=x'(t)$<br />$v(t)=14t-56$","$v(9)=14\\cdot9-56=126-56=70$."]},{"content":"Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=2t^2-12t+15$. Найдите ее скорость в момент времени $t=11$ с. [[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$32\\ \\text{м/с}$","$30\\ \\text{м/с}$","$34\\ \\text{м/с}$"],"answer":[0]}},"hints":["$v(t)=x'(t)$<br />$v(t)=4t-12$","$v(11)=4\\cdot11-12=44-12=32$."]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−3;11).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=7-x$ или совпадает с ней.[[image-271]][[fill_choice_big-421]]","widgets":{"image-271":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/6_6-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-421":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $-1,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой $y=-1.$","Мысленно проведём прямую $y=-1$. Она пересекает график $f'(x)$ в трех точках.","Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=7-x$ или совпадает с ней, равно $3.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−2;11).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=5-2x$ или совпадает с ней.[[image-650]] [[fill_choice_big-607]]","widgets":{"fill_choice_big-607":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-650":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/2_2-01-1.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $-2,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой $y=-2.$","Мысленно проведём прямую $y=-2$. Она пересекает график $f'(x)$ в двух точках.","Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=5-2x$ или совпадает с ней, равно $2.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−8;4).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=16+4x$ или совпадает с ней.[[image-904]][[fill_choice_big-1041]]","widgets":{"image-904":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/1_1-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1041":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$0$","$3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $4,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой $y=4.$","Мысленно проведём прямую $y=4$. Она пересекает график $f'(x)$ в двух точках.","Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=16+4x$ или совпадает с ней, равно $2.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=3x−5$ или совпадает с ней.[[image-1224]][[fill_choice_big-1280]]","widgets":{"image-1224":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1280":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2$","$3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти количество точек, в которых значение $f'(x)$ равно $3,$ то есть количество точек пересечения графика $f'(x)$ с прямой $y=3.$","Мысленно проведём прямую $y=3$. Она пересекает график $f'(x)$ в пяти точках.","Таким образом, количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=3x−5$ или совпадает с ней, равно $5.$"]},{"content":"На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x).$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=8−4x$ или совпадает с ней.[[image-1637]][[fill_choice_big-1703]]","widgets":{"image-1637":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/4_4-01-1.svg","width":"400"},"fill_choice_big-1703":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$-1$","$-4$","$-2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Нужно найти такое значение $x,$ при котором выполняется равенство $f'(x)=−4.$ Из рисунка мы видим, что функция $f'(x)$ принимает значение $−4$ в точке $-3.$","Следовательно, абсцисса точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=8−4x$ или совпадает с ней, равна $-3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;20).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[-3;18].$[[image-2250]][[fill_choice_big-2362]]","widgets":{"image-2250":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/17_17-01.svg"},"fill_choice_big-2362":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$2$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный.","Таких точек на указанном отрезке $3$: $x_1=-2,$ $x_2=5,$ $x_3=11.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;8).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;7].$[[image-2645]][[fill_choice_big-2717]]","widgets":{"image-2645":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/5_5-01-1.svg"},"fill_choice_big-2717":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$4$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Точка является точкой максимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с положительного на отрицательный.","Такая точка на указанном отрезке $1$: $x=2.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−14;9).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−6;8].$[[image-3141]][[fill_choice_big-3281]]","widgets":{"image-3141":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/20_20-01.svg"},"fill_choice_big-3281":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$3$","$4$","$2$"],"placeholder":0,"answer":3}},"step":1,"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный.","Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-3,$ $x_2=4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−12;11).$ Найдите количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−11;9].$[[image-3613]][[fill_choice_big-3701]]","widgets":{"image-3613":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/19_19-01.svg"},"fill_choice_big-3701":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Точка является точкой минимума в том случае, когда производная функции в ней равна нулю и при переходе через эту точку производная меняет знак с отрицательного на положительный.","Таких точек на указанном отрезке $2$: $x_1=-7,$ $x_2=6.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;5).$ В какой точке отрезка $[−5;4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-4107]][[choice-4275]]","widgets":{"image-4107":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/21_21-01.svg","width":"400"},"choice-4275":{"type":"choice","options":["$-1$","$3$","$1$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает.","Рассмотрим отрезок $[−5;4].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось.","Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $-1.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−6;5).$ В какой точке отрезка $[0;4]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-4938]][[choice-5120]]","widgets":{"image-4938":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/21_21-01.svg","width":"400"},"choice-5120":{"type":"choice","options":["$4$","$3$","$2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает.","Рассмотрим отрезок $[0;4].$ На нем производная функции $f(x)$ отрицательна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка убывает.","Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $4.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−1;10).$ В какой точке отрезка $[0;4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?[[image-5708]][[choice-5986]]","widgets":{"image-5708":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/16_16-01.svg","width":"400"},"choice-5986":{"type":"choice","options":["$3$","$1$","$2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает.","Рассмотрим отрезок $[0;4].$ На нем производная функции $f(x)$ сначала положительна, затем отрицательна. Значит, функция $f(x)$ достигает своего максимума в точке перехода производной в отрицательную полуось.","Значит, наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−8;4).$ В какой точке отрезка $[0;3]$ функция $f(x)$ принимает наименьшее значение?[[image-6612]][[choice-6819]]","widgets":{"image-6612":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/1_1-01-1.svg","width":"400"},"choice-6819":{"type":"choice","options":["$3$","$5$","$4$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает.","Рассмотрим отрезок $[0;3].$ На нем производная функции $f(x)$ отрицательна. Значит, функция $f(x)$ на всем промежутке отрезка убывает.","Наименьшее значение функции $f(x)$ достигается в точке $3.$"]},{"content":"На рисунке изображен график функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечены точки $−2,$ $−1,$ $3,$ $4.$ Найдите наименьшее и наибольшее значение производной. [[image-7741]][[matcher-7869]]","widgets":{"image-7741":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/14_14-01.svg","width":"400"},"matcher-7869":{"type":"matcher","labels":["Наибольшее значение","Наименьшее значение"],"items":["$4$","$-2$","$-1$","$3$"]}},"step":1,"hints":["Значение производной функции в некоторой точке показывает скорость убывания или возрастания функции в этой точке. Заметим, что в точках $3$ и $4$ функция $f(x)$ возрастает, а в точках $−2$ и $-1$ — убывает.","Значит, наибольшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $3,$ либо в $4.$ В точке $4$ функция $f(x)$ возрастает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной больше. Значит, в ней модуль значения производной больше.","Наименьшее значение производной из перечисленных четырех точек будет либо в $-2,$ либо в $-1.$ В точке $-2$ функция $f(x)$ убывает быстрее, так как угловой коэффициент соответствующей касательной меньше. Значит, в ней значение производной меньше."]},{"content":"На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $y=f(x).$ На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8.$<br />Распределите точки по промежуткам убывания и промежуткам возрастания функции $f(x).$[[image-9237]][[grouper-9645]]","widgets":{"image-9237":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/11_11-01.svg","width":"400"},"grouper-9645":{"type":"grouper","labels":["Промежутки убывания","Промежутки убывания"],"items":[["$x_1$","$x_2$","$x_6$","$x_7$"],["$x_3$","$x_4$","$x_5$","$x_8$"]]}},"step":1,"hints":["Точка принадлежит промежутку убывания функции тогда, когда производная в этой точке принимает отрицательное значение.","Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная отрицательна в точках $x_3,$ $x_4,$ $x_5$ и $x_8.$","Точка принадлежит промежутку возрастания функции тогда, когда производная в этой точке принимает положительное значение.","Из графика функции $f'(x)$ мы видим, что производная положительна в точках $x_1,$ $x_2,$ $x_6$ и $x_7.$"]}]}