Алгебраическое выражение
Выражение, составленное из чисел, переменных, арифметических действий, степеней, корней и скобок.
Значение выражения
Число, которое получается после подстановки допустимого значения переменной и выполнения всех действий.
Допустимые значения переменной
Такие значения, при которых выражение имеет смысл.
Область допустимых значений выражения
ОДЗ — это множество всех допустимых значений переменной. Это особенно важно учитывать в выражениях с дробями, корнями чётной степени и логарифмами.
Равные выражения
Два выражения называются равными, если они принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных.
Тождественно равные выражения
Выражения, которые равны при всех допустимых значениях переменных.
Тождественное преобразование
Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Цель тождественных преобразований — привести выражение к удобному виду.
Степень с натуральным показателем
Произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$: $$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot…\cdot a}_{n\text{ раз}}.$$
Основание степени
Число или выражение, которое возводят в степень. В выражении $a^n$ число $a$ — основание степени.
Показатель степени
Показывает, сколько раз основание используется как множитель. В выражении $a^n$ число $n$ — показатель степени.
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$
Деление степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$$
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень показатели перемножаются $$(a^m)^n=a^{mn}.$$
Степень произведения
При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень $$(ab)^n=a^n b^n.$$
Степень дроби
При возведении дроби в степень числитель и знаменатель возводятся в эту степень $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.$$
Нулевая степень
Любое ненулевое число в нулевой степени при $a\neq0$ равно $1$ $$a^0=1.$$
Степень с отрицательным показателем
Степень с отрицательным показателем при $a\neq0$ переводится в дробь $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}.$$
Дробь со степенью с отрицательным показателем
Если отрицательная степень стоит в знаменателе, её можно перенести в числитель $$\frac{1}{a^{-n}}=a^n.$$
Перенос множителя из числителя в знаменатель
Множитель можно перенести из числителя в знаменатель, изменив знак показателя степени $$a^n=\frac{1}{a^{-n}}.$$
Перенос множителя из знаменателя в числитель
Множитель можно перенести из знаменателя в числитель, изменив знак показателя степени $$\frac{1}{a^n}=a^{-n}.$$
Степень числа $1$
Число $1$ в любой степени равно $1$: $$1^n=1.$$
Степень числа $-1$
Для числа $-1$ важно учитывать чётность показателя: $$(-1)^{2n}=1, (-1)^{2n+1}=-1.$$
Чётная степень отрицательного числа
Если отрицательное число возвести в чётную степень, получится положительное число.
Нечётная степень отрицательного числа
Если отрицательное число возвести в нечётную степень, получится отрицательное число.
Арифметический квадратный корень
Неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ при $a\geq0$: $$\sqrt a.$$
Корень чётной степени
Имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении: $\sqrt[2n]{a}$ существует при $a\geq0$.
Корень нечётной степени
Имеет смысл при любом действительном подкоренном выражении.
Квадратный корень из квадрата
$$\sqrt{x^2}=|x|$$
Корень из произведения
Равен произведению корней при $a\geq0$, $b\geq0$: $$\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b.$$
Корень из дроби
Равен дроби из корней при $a\geq0$, $b>0$: $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$
Внесение множителя под знак корня
Если $a\geq0$, то $$a\sqrt b=\sqrt{a^2b}.$$
Вынесение множителя из-под корня
$$\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$$
Подобные радикалы
Выражения с одинаковой подкоренной частью.
Неподобные радикалы
Неподобные радикалы имеют разные подкоренные выражения.
Умножение корней
Корни с одинаковым показателем можно перемножать при $a\geq0$, $b\geq0$: $$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}.$$
Деление корней
Корни с одинаковым показателем можно делить при $a\geq0$, $b>0$: $$\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}.$$
Степень с дробным показателем
$$a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}$$
Квадратный корень как степень
Cтепень с показателем $\frac12$ при $a\geq0$: $$\sqrt a=a^{\frac12}.$$
Кубический корень как степень
Степень с показателем $\frac13$: $$\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}.$$
Корень $n$-й степени как степень
$\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}$.
Рациональная дробь
Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.
Числитель дроби
Выражение, стоящее над дробной чертой.
Знаменатель дроби
Выражение, стоящее под дробной чертой. Знаменатель не должен быть равен нулю: $B\neq0$.
Основное свойство дроби
Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение: $$\frac AB=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}.$$
Сокращение дроби
Деление числителя и знаменателя на общий ненулевой множитель.
Нельзя сокращать слагаемые
Сокращать можно только множители, а не слагаемые.
Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Если знаменатели одинаковые, числители складываются при $B\neq0$: $$\frac AB+\frac CB=\frac{A+C}{B}.$$
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Если знаменатели одинаковые, числители вычитаются при $B\neq0$: $$\frac AB-\frac CB=\frac{A-C}{B}$$.
Сложение дробей с разными знаменателями
Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю при $B\neq0$, $D\neq0$: $$\frac AB+\frac CD=\frac{AD+BC}{BD}.$$
Вычитание дробей с разными знаменателями
Для вычитания дробей с разными знаменателями при $B\neq0$, $D\neq0$: $$\frac AB-\frac CD=\frac{AD-BC}{BD}.$$
Умножение дробей
При умножении дробей числитель умножается на числитель, знаменатель — на знаменатель при $B\neq0$, $D\neq0$: $$\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}.$$
Деление дробей
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь при $B\neq0$, $C\neq0$, $D\neq0$: $$\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC=\frac{AD}{BC}.$$
Дробь, равная нулю
Если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $\frac AB=0$ при $A=0$ и $B\neq0.$
Сложная дробь
Дробь, в числителе или знаменателе которой есть другие дроби.
Многочлен
Сумма одночленов. Например: $x^2+5x+6$.
Одночлен
Произведение чисел и переменных в степенях. Например: $3x^2y$.
Общий множитель
Множитель, который есть во всех слагаемых выражения.
Формула разности квадратов
Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Формула квадрата суммы
Квадрат суммы раскрывается по формуле $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$
Формула квадрата разности
Квадрат разности раскрывается по формуле $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$
Формула разности кубов
Разность кубов раскладывается по формуле $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$
Формула суммы кубов
Сумма кубов раскладывается по формуле $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Квадратный трёхчлен
Выражение вида $$ax^2+bx+c.$$
Группировка
Способ разложения выражения на множители, при котором слагаемые объединяют в группы.
Рационализация знаменателя
Преобразование дроби, при котором из знаменателя убирают корень.
Рационализация знаменателя вида $\sqrt a$
Если знаменатель имеет вид $\sqrt a$, нужно умножить числитель и знаменатель на $\sqrt a$ при $a>0$: $$\frac{b}{\sqrt a}=\frac{b\sqrt a}{a}.$$
Сопряжённое выражение
Сопряжённые выражения отличаются только знаком между слагаемыми. Для выражения $a+\sqrt b$ сопряжённым является $a-\sqrt b$.
Рационализация знаменателя с помощью сопряжённого выражения
Если в знаменателе стоит сумма или разность с корнем, дробь умножают на сопряжённое выражение.
Формула для рационализации
Главная формула рационализации через сопряжённое выражение — разность квадратов:
$(u-v)(u+v)=u^2-v^2$.
Параметр
Буква, которая считается постоянной величиной, но её значение заранее не задано.
Выражение с параметром
Выражение, в котором кроме переменной есть ещё одна или несколько букв, считающихся постоянными.
Ограничения на параметр
Если параметр находится в знаменателе, под корнем или в основании степени, нужно учитывать ограничения.
Параметр в знаменателе
Если параметр стоит в знаменателе, знаменатель не должен быть равен нулю.
Параметр под корнем
Если параметр находится под корнем чётной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Сокращение выражения с параметром
Сокращать параметр можно только тогда, когда он является множителем и не равен нулю.
Нельзя сокращать параметр-слагаемое
Нельзя сокращать параметр, если он является частью суммы или разности.
Разложение с параметром
Выражения с параметром часто упрощаются через вынесение общего множителя или формулы сокращённого умножения.
Квадрат суммы с параметром
Если выражение содержит параметр, формулы сокращённого умножения работают так же $$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2.$$
Квадрат разности с параметром
$$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$$
Разность квадратов с параметром
$$x^2-a^2=(x-a)(x+a)$$
Параметр в степени
Если параметр находится в степени, применяются обычные свойства степеней.
Параметр под корнем и модуль
$$\sqrt{a^2}=|a|$$
ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
