Практика к уроку «Вычисление значений выражений»

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $\\log_3 162- \\log_3 2.$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$6$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся свойством логарифмов:<br />$$\\log_a b- \\log_a c = \\log_a \\dfrac{b}{c}$$<br />$2)$ Применим свойство:<br />$$\\log_3 162- \\log_3 2 = \\log_3 \\dfrac{162}{2} = \\log_3 81$$<br />$3)$ Представим $81$ как степень с основанием $3{:}$<br />$$81 = 3^4$$<br />$4)$ Найдем значение логарифма:<br />$$\\log_3 81 = \\log_3 3^4 = 4$$<br />Ответ: $4.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_2 6.4 + \\log_2 10.$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$8$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся свойством логарифмов:<br />$$\\log_a b + \\log_a c = \\log_a (b \\cdot c)$$<br />$2)$ Применим свойство:<br />$$\\log_2 6.4 + \\log_2 10 = \\log_2 (6.4 \\cdot 10) = \\log_2 64$$<br />$3)$ Представим $64$ как степень с основанием $2{:}$<br />$$64 = 2^6$$<br />$4)$ Найдем значение логарифма:<br />$$\\log_2 64 = \\log_2 2^6 = 6$$<br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $6 \\log_{\\sqrt[6]{13}} 13.$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$13$","$6$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим основание логарифма как степень:<br />$$\\sqrt[6]{13} = 13^{\\frac{1}{6}}$$<br />$2)$ Воспользуемся формулой замены основания:<br />$$\\log_{a^b} c = \\frac{1}{b} \\log_a c$$<br />$3)$ Применим формулу:<br />$$\\log_{13^{\\frac{1}{6}}} 13 = \\frac{1}{\\frac{1}{6}} \\log_{13} 13 = 6 \\cdot 1 = 6$$<br />$4)$ Умножим на $6{:}$<br />$$6 \\cdot 6 = 36$$<br />Ответ: $36.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $6 \\log_7 \\sqrt[3]{7}.$[[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$1$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим корень как степень:<br />$$\\sqrt[3]{7} = 7^{\\frac{1}{3}}$$<br />$2)$ Воспользуемся свойством логарифма:<br />$$\\log_a a^b = b$$<br />$3)$ Применим свойство:<br />$$\\log_7 7^{\\frac{1}{3}} = \\frac{1}{3}$$<br />$4)$ Умножим на $6$:<br />$$6 \\cdot \\frac{1}{3} = 2$$<br />Ответ: $2.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\log_9 28}{\\log_9 7} + \\log_7 \\dfrac{7}{4}.$[[fill_choice_big-5]]","widgets":{"fill_choice_big-5":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$0$","$1$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Упростим первую дробь по формуле перехода к новому основанию:<br />$$\\frac{\\log_9 28}{\\log_9 7} = \\log_7 28$$<br />$2)$ Разложим $\\log_7 28$:<br />$$\\log_7 28 = \\log_7 (7 \\cdot 4) = \\log_7 7 + \\log_7 4 = 1 + \\log_7 4$$<br />$3)$ Подставим в исходное выражение:<br />$$(1 + \\log_7 4) + \\log_7 \\frac{7}{4} = 1 + \\log_7 4 + \\log_7 7 — \\log_7 4$$<br />$4)$ Упростим:<br />$$1 + \\log_7 4 + 1- \\log_7 4 = 2$$<br />Ответ: $2. $"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\log_6 17}{\\log_{36} 17}.$[[fill_choice_big-6]]","widgets":{"fill_choice_big-6":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$0.5$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой перехода к новому основанию для знаменателя:<br />$$\\log_{36} 17 = \\frac{\\log_6 17}{\\log_6 36}$$<br />$2)$ Вычислим $\\log_6 36$:<br />$$\\log_6 36 = \\log_6 6^2 = 2$$<br />$3)$ Подставим в исходное выражение:<br />$$\\frac{\\log_6 17}{\\frac{\\log_6 17}{2}} = \\log_6 17 \\cdot \\frac{2}{\\log_6 17} = 2$$<br />Ответ: $2. $<br />"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\log_7 32}{\\log_7 2}.$[[fill_choice_big-7]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой перехода к новому основанию:<br />$$\\frac{\\log_7 32}{\\log_7 2} = \\log_2 32$$<br />$2)$ Представим $32$ как степень с основанием $2$:<br />$$32 = 2^5$$<br />$3)$ Найдем значение логарифма:<br />$$\\log_2 32 = \\log_2 2^5 = 5$$<br />Ответ: $5. $"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_2 6.4 + \\log_2 5.$[[fill_choice_big-8]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$4$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем выражение:<br />$$\\log_2 6.4 + \\log_2 5$$<br />$2)$ Воспользуемся свойством логарифмов:<br />$$\\log_a b + \\log_a c = \\log_a (b \\cdot c)$$<br />$3)$ Применим свойство:<br />$$\\log_2 6.4 + \\log_2 5 = \\log_2 (6.4 \\cdot 5) = \\log_2 32$$<br />$4)$ Представим $32$ как степень с основанием $2{:}$<br />$$32 = 2^5$$<br />$5)$ Найдем значение логарифма:<br />$$\\log_2 32 = \\log_2 2^5 = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{0.7} 10- \\log_{0.7} 7.$[[fill_choice_big-9]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1$","$1$","$2$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем выражение:<br />$$\\log_{0.7} 10- \\log_{0.7} 7$$<br />$2)$ Воспользуемся свойством логарифмов:<br />$$\\log_a b- \\log_a c = \\log_a \\frac{b}{c}$$<br />$3)$ Применим свойство:<br />$$\\log_{0.7} 10- \\log_{0.7} 7 = \\log_{0.7} \\frac{10}{7}$$<br />$4)$ Заметим, что $0.7 = \\frac{7}{10} {:}$<br />$$\\log_{0.7} \\frac{10}{7} = \\log_{\\frac{7}{10}} \\frac{10}{7} = -1$$<br />Ответ: $-1.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_{0.6} 50- \\log_{0.6} 18.$[[fill_choice_big-10]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2$","$2$","$1$","$-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем выражение:<br />$$\\log_{0.6} 50- \\log_{0.6} 18$$<br />$2)$ Воспользуемся свойством логарифмов:<br />$$\\log_a b- \\log_a c = \\log_a \\frac{b}{c}$$<br />$3)$ Применим свойство:<br />$$\\log_{0.6} 50- \\log_{0.6} 18 = \\log_{0.6} \\frac{50}{18}$$<br />$4)$ Упростим дробь:<br />$$\\frac{50}{18} = \\frac{25}{9}$$<br />$5)$ Заметим, что $0.6 = \\frac{3}{5},$ тогда:<br />$$\\log_{0.6} \\frac{25}{9} = \\log_{\\frac{3}{5}} \\frac{25}{9}$$<br />$6)$ Представим числа как степени:<br />$$\\frac{25}{9} = \\left(\\frac{5}{3}\\right)^2 = \\left(\\frac{3}{5}\\right)^{-2}$$<br />$7)$ Найдем значение логарифма:<br />$$\\log_{\\frac{3}{5}} \\left(\\frac{3}{5}\\right)^{-2} = -2$$<br />Ответ: $-2.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $8 \\log_5 \\sqrt[4]{5}.$[[fill_choice_big-11]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$8$","$1$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим корень как степень:<br />$$\\sqrt[4]{5} = 5^{\\frac{1}{4}}$$<br />$2)$ Воспользуемся свойством логарифма:<br />$$\\log_a a^b = b$$<br />$3)$ Применим свойство:<br />$$\\log_5 5^{\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{4}$$<br />$4)$ Умножим на $8{:}$<br />$$8 \\cdot \\frac{1}{4} = 2$$<br />Ответ: $2.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\log_2 96- \\log_2 3.$[[fill_choice_big-12]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$6$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся свойством логарифмов:<br />$$\\log_a b- \\log_a c = \\log_a \\frac{b}{c}$$<br />$2)$ Применим свойство:<br />$$\\log_2 96- \\log_2 3 = \\log_2 \\frac{96}{3} = \\log_2 32$$<br />$3)$ Представим $32$ как степень с основанием $2{:}$<br />$$32 = 2^5$$<br />$4)$ Найдем значение логарифма:<br />$$\\log_2 32 = \\log_2 2^5 = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{2\\sin 136^\\circ}{\\sin 68^\\circ \\cdot \\sin 22^\\circ}.$[[fill_choice_big-13]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$1$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Заметим, что $136^\\circ = 2 \\cdot 68^\\circ.$ Применим формулу синуса двойного угла:<br />$$\\sin 136^\\circ = \\sin(2 \\cdot 68^\\circ) = 2\\sin 68^\\circ \\cos 68^\\circ$$<br />$2)$ Подставим в исходное выражение:<br />$$\\dfrac{2 \\cdot 2\\sin 68^\\circ \\cos 68^\\circ}{\\sin 68^\\circ \\cdot \\sin 22^\\circ} = \\dfrac{4\\cos 68^\\circ}{\\sin 22^\\circ}$$<br />$3)$ Заметим, что $68^\\circ$ и $22^\\circ$ — дополнительные углы ($68^\\circ + 22^\\circ = 90^\\circ$), поэтому:<br />$$\\cos 68^\\circ = \\sin 22^\\circ$$<br />$4)$ Подставим:<br />$$\\dfrac{4\\sin 22^\\circ}{\\sin 22^\\circ} = 4$$<br />Ответ: $4.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $2\\sqrt{3} \\cos^2 \\dfrac{13\\pi}{12}- \\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-14]]","widgets":{"fill_choice_big-14":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$1$","$0.5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем выражение:<br />$$2\\sqrt{3} \\cos^2 \\dfrac{13\\pi}{12}- \\sqrt{3}$$<br />$2)$ Вынесем $\\sqrt{3}$ за скобки:<br />$$\\sqrt{3} \\left( 2\\cos^2 \\dfrac{13\\pi}{12}- 1 \\right)$$<br />$3)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$2\\cos^2 \\alpha- 1 = \\cos 2\\alpha$$<br />$4)$ Применим формулу:<br />$$\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\left( 2 \\cdot \\dfrac{13\\pi}{12} \\right) = \\sqrt{3} \\cdot \\cos \\dfrac{13\\pi}{6}$$<br />$5)$ Упростим угол:<br />$$\\dfrac{13\\pi}{6} = 2\\pi + \\dfrac{\\pi}{6}$$$$\\cos \\dfrac{13\\pi}{6} = \\cos \\left( 2\\pi + \\dfrac{\\pi}{6} \\right) = \\cos \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$<br />$6)$ Подставим:<br />$$\\sqrt{3} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3}{2}$$<br />Ответ: $1.5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $4\\sqrt{2}- 8\\sqrt{2} \\sin^2 \\dfrac{7\\pi}{8}.$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$1$","$8$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем выражение:<br />$$4\\sqrt{2}- 8\\sqrt{2} \\sin^2 \\dfrac{7\\pi}{8}$$<br />$2)$ Вынесем общий множитель $4\\sqrt{2}{:}$<br />$$4\\sqrt{2} \\left( 1- 2\\sin^2 \\dfrac{7\\pi}{8} \\right)$$<br />$3)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$1- 2\\sin^2 \\alpha = \\cos 2\\alpha$$<br />$4)$ Применим формулу:<br />$$4\\sqrt{2} \\cdot \\cos \\left( 2 \\cdot \\dfrac{7\\pi}{8} \\right) = 4\\sqrt{2} \\cdot \\cos \\dfrac{7\\pi}{4}$$<br />$5)$ Найдем значение косинуса:<br />$$\\cos \\dfrac{7\\pi}{4} = \\cos \\left( 2\\pi- \\dfrac{\\pi}{4} \\right) = \\cos \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$$<br />$6)$ Подставим:<br />$$4\\sqrt{2} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 4 \\cdot \\dfrac{2}{2} = 4$$<br />Ответ: $4.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $6\\sqrt{3} \\cos^2 \\dfrac{11\\pi}{12}- 3\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-16]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$4.5$","$2.25$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем выражение:<br />$$6\\sqrt{3} \\cos^2 \\dfrac{11\\pi}{12}- 3\\sqrt{3}$$<br />$2)$ Вынесем общий множитель $3\\sqrt{3}{:}$<br />$$3\\sqrt{3} \\left( 2\\cos^2 \\dfrac{11\\pi}{12}- 1 \\right)$$<br />$3)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$2\\cos^2 \\alpha- 1 = \\cos 2\\alpha$$<br />$4)$ Применим формулу:<br />$$3\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\left( 2 \\cdot \\dfrac{11\\pi}{12} \\right) = 3\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\dfrac{11\\pi}{6}$$<br />$5)$ Упростим угол:<br />$$\\dfrac{11\\pi}{6} = 2\\pi- \\dfrac{\\pi}{6}$$$$\\cos \\dfrac{11\\pi}{6} = \\cos \\left( 2\\pi- \\dfrac{\\pi}{6} \\right) = \\cos \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$$<br />$6)$ Подставим:<br />$$3\\sqrt{3} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3 \\cdot \\dfrac{3}{2} = \\dfrac{9}{2} = 4.5$$<br />Ответ: $4.5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{14^{6.4} \\cdot 7^{-5.4}}{2^{4.4}}.$[[fill_choice_big-17]]","widgets":{"fill_choice_big-17":{"type":"fill_choice_big","options":["$28$","$14$","$56$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим $14$ как $2 \\cdot 7{:}$<br />$$14^{6.4} = (2 \\cdot 7)^{6.4} = 2^{6.4} \\cdot 7^{6.4}$$<br />$2)$ Подставим в выражение:<br />$$\\dfrac{2^{6.4} \\cdot 7^{6.4} \\cdot 7^{-5.4}}{2^{4.4}} = \\dfrac{2^{6.4} \\cdot 7^{1}}{2^{4.4}}$$<br />$3)$ Упростим степени двойки:<br />$$2^{6.4- 4.4} \\cdot 7^{1} = 2^{2} \\cdot 7 = 4 \\cdot 7 = 28$$<br />Ответ: $28.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{(3\\sqrt{8})^2}{6}.$[[fill_choice_big-18]]","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$6$","$18$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Упростим $\\sqrt{8}{:}$<br />$$\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}$$<br />$2)$ Подставим и возведем в квадрат:<br />$$(3 \\cdot 2\\sqrt{2})^2 = (6\\sqrt{2})^2 = 36 \\cdot 2 = 72$$<br />$3)$ Подставим в выражение:<br />$$\\dfrac{72}{6} = 12$$<br />Ответ: $12.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(64^9)^3 : (16^5)^8.$[[fill_choice_big-19]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$16$","$1$","$64$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Упростим степени:<br />$$(64^9)^3 = 64^{27}$$$$(16^5)^8 = 16^{40}$$<br />$2)$ Представим числа как степени с основанием $4{:}$<br />$$64 = 4^3 \\quad \\Rightarrow \\quad 64^{27} = (4^3)^{27} = 4^{81}$$$$16 = 4^2 \\quad \\Rightarrow \\quad 16^{40} = (4^2)^{40} = 4^{80}$$<br />$3)$ Выполним деление:<br />$$4^{81} : 4^{80} = 4^{81-80} = 4^1 = 4$$<br />Ответ: $4.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $5^{0.06} \\cdot 25^{0.97}.$[[fill_choice_big-20]]","widgets":{"fill_choice_big-20":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$10$","$5$","$125$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим $25$ как $5^2{:}$<br />$$25^{0.97} = (5^2)^{0.97} = 5^{1.94}$$<br />$2)$ Перемножим степени с одинаковым основанием:<br />$$5^{0.06} \\cdot 5^{1.94} = 5^{0.06 + 1.94} = 5^{2} = 25$$<br />Ответ: $25.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{81^{2.6}}{9^{3.7}}.$[[fill_choice_big-21]]","widgets":{"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$27$","$243$","$9$","$81$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим числа как степени с основанием $3{:}$<br />$$81 = 3^4 \\quad \\Rightarrow \\quad 81^{2.6} = (3^4)^{2.6} = 3^{10.4}$$$$9 = 3^2 \\quad \\Rightarrow \\quad 9^{3.7} = (3^2)^{3.7} = 3^{7.4}$$<br />$2)$ Выполним деление:<br />$$\\dfrac{3^{10.4}}{3^{7.4}} = 3^{10.4- 7.4} = 3^{3} = 27$$<br />Ответ: $27.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{\\sqrt[3]{36} \\cdot \\sqrt[5]{36}}{\\sqrt[30]{36}}.$[[fill_choice_big-22]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$36$","$12$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим корни как степени:<br />$$\\sqrt[3]{36} = 36^{\\frac{1}{3}}$$$$\\sqrt[5]{36} = 36^{\\frac{1}{5}}$$$$\\sqrt[30]{36} = 36^{\\frac{1}{30}}$$<br />$2)$ Подставим в выражение:<br />$$\\dfrac{36^{\\frac{1}{3}} \\cdot 36^{\\frac{1}{5}}}{36^{\\frac{1}{30}}}$$<br />$3)$ Объединим степени в числителе:<br />$$36^{\\frac{1}{3} + \\frac{1}{5}} = 36^{\\frac{5}{15} + \\frac{3}{15}} = 36^{\\frac{8}{15}}$$<br />$4)$ Выполним деление:<br />$$36^{\\frac{8}{15}} : 36^{\\frac{1}{30}} = 36^{\\frac{8}{15}- \\frac{1}{30}} = 36^{\\frac{16}{30}- \\frac{1}{30}} = 36^{\\frac{15}{30}} = 36^{\\frac{1}{2}}$$<br />$5)$ Упростим:<br />$$36^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{36} = 6$$<br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $(\\sqrt{96}- \\sqrt{24}) \\cdot \\sqrt{6}.$[[fill_choice_big-23]]","widgets":{"fill_choice_big-23":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$6$","$18$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Упростим корни:<br />$$\\sqrt{96} = \\sqrt{16 \\cdot 6} = 4\\sqrt{6}$$$$\\sqrt{24} = \\sqrt{4 \\cdot 6} = 2\\sqrt{6}$$<br />$2)$ Подставим в выражение:<br />$$(4\\sqrt{6}- 2\\sqrt{6}) \\cdot \\sqrt{6} = 2\\sqrt{6} \\cdot \\sqrt{6}$$<br />$3)$ Умножим:<br />$$2\\sqrt{6} \\cdot \\sqrt{6} = 2 \\cdot 6 = 12$$<br />Ответ: $12.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $4^{\\frac{1}{5}} \\cdot 16^{\\frac{9}{10}}.$[[fill_choice_big-24]]","widgets":{"fill_choice_big-24":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$4$","$8$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Представим числа как степени с основанием $2$:<br />$$4 = 2^2 \\quad \\Rightarrow \\quad 4^{\\frac{1}{5}} = (2^2)^{\\frac{1}{5}} = 2^{\\frac{2}{5}}$$$$16 = 2^4 \\quad \\Rightarrow \\quad 16^{\\frac{9}{10}} = (2^4)^{\\frac{9}{10}} = 2^{\\frac{36}{10}} = 2^{\\frac{18}{5}}$$<br />$2)$ Перемножим степени с одинаковым основанием:<br />$$2^{\\frac{2}{5}} \\cdot 2^{\\frac{18}{5}} = 2^{\\frac{2}{5} + \\frac{18}{5}} = 2^{\\frac{20}{5}} = 2^{4} = 16$$<br />Ответ: $16.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $4\\sqrt{3} \\cos^2 \\frac{23\\pi}{12}- 4\\sqrt{3} \\sin^2 \\frac{23\\pi}{12}.$[[fill_choice_big-1002]]","widgets":{"fill_choice_big-1002":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$8$","$4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вынесем общий множитель $4\\sqrt{3}{:}$<br />$$4\\sqrt{3} \\left( \\cos^2 \\frac{23\\pi}{12}- \\sin^2 \\frac{23\\pi}{12} \\right)$$<br />$2)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$\\cos^2 \\alpha- \\sin^2 \\alpha = \\cos 2\\alpha$$<br />$3)$ Применим формулу:<br />$$4\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\left( 2 \\cdot \\frac{23\\pi}{12} \\right) = 4\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\frac{23\\pi}{6}$$<br />$4)$ Упростим угол:<br />$$\\frac{23\\pi}{6} = 4\\pi- \\frac{\\pi}{6}$$ $$\\cos \\frac{23\\pi}{6} = \\cos \\left( 4\\pi- \\frac{\\pi}{6} \\right) = \\cos \\frac{\\pi}{6} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$<br />$5)$ Подставим:<br />$$4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4 \\cdot \\frac{3}{2} = 6$$<br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $5\\sqrt{2} \\sin \\frac{3\\pi}{8} \\cos \\frac{3\\pi}{8}.$[[fill_choice_big-881]]","widgets":{"fill_choice_big-881":{"type":"fill_choice_big","options":["$2.5$","$5$","$2$","$1.25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой синуса двойного угла:<br />$$\\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\frac{1}{2} \\sin 2\\alpha$$<br />$2)$ Применим формулу:<br />$$5\\sqrt{2} \\cdot \\dfrac{1}{2} \\sin \\left( 2 \\cdot \\frac{3\\pi}{8} \\right) = \\frac{5\\sqrt{2}}{2} \\sin \\frac{3\\pi}{4}$$<br />$3)$ Найдем значение синуса:<br />$$\\sin \\frac{3\\pi}{4} = \\sin \\left( \\pi- \\frac{\\pi}{4} \\right) = \\sin \\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$$<br />$4)$ Подставим:<br />$$\\frac{5\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\frac{5\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}}{4} = \\frac{5 \\cdot 2}{4} = \\frac{10}{4} = 2.5$$<br />Ответ: $2.5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $3\\sqrt{3}- 6\\sqrt{3} \\sin^2 \\frac{13\\pi}{12}.$[[fill_choice_big-760]]","widgets":{"fill_choice_big-760":{"type":"fill_choice_big","options":["$4.5$","$3$","$6$","$2.25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вынесем общий множитель $3\\sqrt{3}{:}$<br />$$3\\sqrt{3} \\left( 1- 2\\sin^2 \\frac{13\\pi}{12} \\right)$$<br />$2)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$1- 2\\sin^2 \\alpha = \\cos 2\\alpha$$<br />$3)$ Применим формулу:<br />$$3\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\left( 2 \\cdot \\frac{13\\pi}{12} \\right) = 3\\sqrt{3} \\cdot \\cos \\frac{13\\pi}{6}$$<br />$4)$ Упростим угол:<br />$$\\frac{13\\pi}{6} = 2\\pi + \\frac{\\pi}{6}$$<br />$$\\cos \\frac{13\\pi}{6} = \\cos \\left( 2\\pi + \\frac{\\pi}{6} \\right) = \\cos \\frac{\\pi}{6} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$<br />$5)$ Подставим:<br />$$3\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 3 \\cdot \\frac{3}{2} = \\frac{9}{2} = 4.5$$<br />Ответ: $4.5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{8 \\sin 64^\\circ \\cos 64^\\circ}{\\sin 128^\\circ}.$[[fill_choice_big-3473]]","widgets":{"fill_choice_big-3473":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$8$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой синуса двойного угла в числителе:<br />$$2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\sin 2\\alpha$$$$8 \\sin 64^\\circ \\cos 64^\\circ = 4 \\cdot (2 \\sin 64^\\circ \\cos 64^\\circ) = 4 \\sin 128^\\circ$$<br />$2)$ Подставим в выражение:<br />$$\\dfrac{4 \\sin 128^\\circ}{\\sin 128^\\circ} = 4$$<br />Ответ: $4.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $6 \\cos 2\\alpha,$ если $\\sin \\alpha = -0.8.$[[fill_choice_big-2950]]","widgets":{"fill_choice_big-2950":{"type":"fill_choice_big","options":["$-1.68$","$1.68$","$-0.28$","$2.4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$\\cos 2\\alpha = 1- 2\\sin^2 \\alpha$$<br />$2)$ Подставим значение $\\sin \\alpha = -0.8{:}$<br />$$\\cos 2\\alpha = 1- 2 \\cdot (-0.8)^2 $$ $$= 1- 2 \\cdot 0.64 = 1- 1.28 = -0.28$$<br />$3)$ Умножим на $6{:}$<br />$$6 \\cdot (-0.28) = -1.68$$<br />Ответ: $-1.68.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $3 \\sin \\dfrac{13\\pi}{12} \\cos \\dfrac{13\\pi}{12}.$[[fill_choice_big-2474]]","widgets":{"fill_choice_big-2474":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.75$","$1$","$1.5$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой синуса двойного угла:<br />$$\\sin 2\\alpha = 2\\sin \\alpha \\cos \\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\dfrac{1}{2} \\sin 2\\alpha$$<br />$2)$ Применим формулу:<br />$$3 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\sin \\left( 2 \\cdot \\dfrac{13\\pi}{12} \\right) = \\dfrac{3}{2} \\sin \\dfrac{13\\pi}{6}$$<br />$3)$ Упростим угол:<br />$$\\dfrac{13\\pi}{6} = 2\\pi + \\dfrac{\\pi}{6}$$<br />$$\\sin \\dfrac{13\\pi}{6} = \\sin \\left( 2\\pi + \\dfrac{\\pi}{6} \\right) = \\sin \\dfrac{\\pi}{6} = \\dfrac{1}{2}$$<br />$4)$ Подставим:<br />$$\\dfrac{3}{2} \\cdot \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{3}{4} = 0.75$$<br />Ответ: $0.75.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $5\\sqrt{2} \\cos^2 \\dfrac{7\\pi}{8}- 5\\sqrt{2} \\sin^2 \\dfrac{7\\pi}{8}.$[[fill_choice_big-1921]]","widgets":{"fill_choice_big-1921":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2.5$","$10$","$7.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Вынесем общий множитель $5\\sqrt{2}{:}$<br />$$5\\sqrt{2} \\left( \\cos^2 \\dfrac{7\\pi}{8}- \\sin^2 \\dfrac{7\\pi}{8} \\right)$$<br />$2)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$\\cos^2 \\alpha- \\sin^2 \\alpha = \\cos 2\\alpha$$<br />$3)$ Применим формулу:<br />$$5\\sqrt{2} \\cdot \\cos \\left( 2 \\cdot \\dfrac{7\\pi}{8} \\right) = 5\\sqrt{2} \\cdot \\cos \\dfrac{7\\pi}{4}$$<br />$4)$ Найдем значение косинуса:<br />$$\\cos \\dfrac{7\\pi}{4} = \\cos \\left( 2\\pi- \\dfrac{\\pi}{4} \\right) = \\cos \\dfrac{\\pi}{4} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$$<br />$5)$ Подставим:<br />$$5\\sqrt{2} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5 \\cdot \\dfrac{2}{2} = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $3 \\cos 2\\alpha,$ если $\\sin \\alpha = 0.2.$[[fill_choice_big-1505]]","widgets":{"fill_choice_big-1505":{"type":"fill_choice_big","options":["$2.76$","$2.4$","$1.2$","$0.92$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:<br />$$\\cos 2\\alpha = 1- 2\\sin^2 \\alpha$$<br />$2)$ Подставим значение $\\sin \\alpha = 0.2{:}$<br />$$\\cos 2\\alpha = 1- 2 \\cdot (0.2)^2 = 1- 2 \\cdot 0.04 = 1- 0.08 = 0.92$$<br />$3)$ Умножим на $3{:}$<br />$$3 \\cdot 0.92 = 2.76$$<br />Ответ: $2.76.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{3 \\sin 68^\\circ}{\\cos 34^\\circ \\cos 56^\\circ}.$[[fill_choice_big-959]]","widgets":{"fill_choice_big-959":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$1.5$","$4.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Заметим, что $56^\\circ = 90^\\circ- 34^\\circ,$ поэтому:<br />$$\\cos 56^\\circ = \\cos (90^\\circ- 34^\\circ) = \\sin 34^\\circ$$<br />$2)$ Подставим в выражение:<br />$$\\dfrac{3 \\sin 68^\\circ}{\\cos 34^\\circ \\sin 34^\\circ}$$<br />$3)$ Воспользуемся формулой синуса двойного угла в знаменателе:<br />$$2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\sin 2\\alpha \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\dfrac{1}{2} \\sin 2\\alpha$$$$\\cos 34^\\circ \\sin 34^\\circ = \\dfrac{1}{2} \\sin 68^\\circ$$<br />$4)$ Подставим в выражение:<br />$$\\dfrac{3 \\sin 68^\\circ}{\\dfrac{1}{2} \\sin 68^\\circ} = \\dfrac{3}{\\dfrac{1}{2}} = 6$$<br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Найдите значение выражения $26\\sqrt{2} \\cos \\frac{\\pi}{4} \\cos \\frac{4\\pi}{3}.$[[fill_choice_big-487]]","widgets":{"fill_choice_big-487":{"type":"fill_choice_big","options":["$-13$","$13$","$26$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Найдем значения косинусов:<br />$$\\cos \\frac{\\pi}{4} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$$$$\\cos \\frac{4\\pi}{3} = \\cos \\left( \\pi + \\frac{\\pi}{3} \\right) = -\\cos \\frac{\\pi}{3} = -\\frac{1}{2}$$<br />$2)$ Подставим в выражение:<br />$$26\\sqrt{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left( -\\frac{1}{2} \\right) = 26\\sqrt{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\left( -\\frac{1}{2} \\right)$$<br />$3)$ Упростим:<br />$$26 \\cdot \\frac{2}{2} \\cdot \\left( -\\frac{1}{2} \\right) = 26 \\cdot 1 \\cdot \\left( -\\frac{1}{2} \\right) = -13$$<br />Ответ: $-13.$"]}]}