Корень уравнения
Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Линейное уравнение
Уравнение, которое можно привести к виду $$ax+b=0.$$
Линейное уравнение с одним корнем
Если уравнение имеет вид $ax+b=0$ и $a\neq0$, то оно имеет единственное решение: $x=-\frac ba$.
Линейное уравнение без корней
Если после преобразований получается неверное равенство, например: $0=5$, то уравнение не имеет корней. Такое уравнение называют несовместным.
Линейное уравнение с бесконечным числом решений
Если после преобразований получается верное равенство, например: $0=0$, то уравнение имеет бесконечно много решений.
Равносильные преобразования
Преобразования, которые не меняют множество корней уравнения: раскрытие скобок; приведение подобных слагаемых; перенос слагаемых и др.
Перенос слагаемого
Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак.
Раскрытие скобок
При раскрытии скобок нужно умножить каждый член внутри скобок на множитель перед скобкой.
Подобные слагаемые
Слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Уравнение с дробями
Если в уравнении есть дроби, часто удобно умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Область допустимых значений
ОДЗ — это множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл.
Проверка корня
Подстановка найденного значения переменной в исходное уравнение. Она особенно важна в уравнениях, где могли появиться посторонние корни: иррациональных, логарифмических и дробно-рациональных.
Квадратное уравнение
Уравнение вида: $ax^2+bx+c=0$. Число $a$ называют старшим коэффициентом, $b$ — вторым коэффициентом, $c$ — свободным членом.
Полное квадратное уравнение
Уравнение вида: $ax^2+bx+c=0$, где $a\neq0$, $b\neq0$, $c\neq0$.
Неполное квадратное уравнение
Квадратное уравнение, в котором отсутствует член с $x$ или свободный член.
Дискриминант квадратного уравнения
Дискриминант уравнения $ax^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле: $D=b^2-4ac$. Он показывает, сколько корней имеет квадратное уравнение.
Формула корней квадратного уравнения
Если $D>0$, то квадратное уравнение имеет два корня: $$x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}.$$
Один корень квадратного уравнения
Если $D=0$, то квадратное уравнение имеет один корень (двойной корень): $$x=\frac{-b}{2a}.$$
Нет действительных корней
Если $D<0$, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение вида $$x^2+px+q=0.$$
Теорема Виета
Для приведённого квадратного уравнения с корнями $x_1$ и $x_2$: $$x_1+x_2=-p, x_1x_2=q.$$
Теорема Виета для общего квадратного уравнения
Для квадратного уравнения с корнями $x_1$ и $x_2$: $$x_1+x_2=-\frac ba, x_1x_2=\frac ca.$$
Обратная теорема Виета
Если числа $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1+x_2=-p$ и $x_1x_2=q$,
то они являются корнями уравнения: $$x^2+px+q=0.$$
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Если квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно разложить на множители: $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$
Метод вынесения общего множителя
Если в квадратном уравнении отсутствует свободный член, его можно решить вынесением общего множителя.
Метод извлечения квадратного корня
Если уравнение можно привести к виду $x^2=a$, то его решения: $x=\pm\sqrt a$, если $a\geq0$.
Квадратное уравнение, сводящееся к квадратному
Иногда уравнение не является квадратным сразу, но заменой переменной сводится к квадратному.
Биквадратное уравнение
Уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0.$$
Посторонний корень
Посторонний корень — это значение переменной, которое появилось в процессе преобразований, но не является решением исходного уравнения.
Иррациональное уравнение
Уравнение, в котором переменная находится под знаком корня $$\sqrt{x+5}=3.$$
Арифметический квадратный корень
Неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ при условии $a\geq0$.
ОДЗ иррационального уравнения
В иррациональном уравнении все выражения под корнями чётной степени должны быть неотрицательными.
Главный метод решения иррационального уравнения
Изолировать корень и возвести обе части уравнения в квадрат.
Изолирование корня
Изолировать корень — значит оставить выражение с корнем в одной части уравнения, а все остальные выражения перенести в другую часть.
Возведение в квадрат
Если обе части уравнения возвести в квадрат, можно получить следствие исходного уравнения. После решения обязательно нужно выполнить проверку или учесть все условия равносильности.
Уравнение с двумя радикалами
Если в уравнении два корня, обычно один из них изолируют, затем возводят в квадрат.
Проверка в иррациональном уравнении
После решения иррационального уравнения найденные значения нужно подставить в исходное уравнение. Проверка нужна, потому что при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.
Корень чётной степени
Имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении.
Корень нечётной степени
Имеет смысл при любом действительном значении подкоренного выражения.
Логарифм
Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $$\log_a b=c.$$
Основание логарифма
В выражении $\log_a b$ число $a$. Основание должно удовлетворять условиям: $a>0$, $a\neq1$.
Аргумент логарифма
В выражении $\log_a b$ число $b$. Аргумент логарифма должен быть положительным: $b>0$.
ОДЗ логарифмического уравнения
В логарифмическом уравнении нужно требовать, чтобы все аргументы логарифмов были положительными.
Основное логарифмическое тождество
Для $a>0$, $a\neq1$ и $b>0$ выполняется: $$a^{\log_a b}=b.$$
Логарифм единицы
По любому допустимому основанию равен нулю: $\log_a 1=0$. Здесь $a>0$, $a\neq1$.
Логарифм основания
По тому же основанию равен единице: $\log_a a=1$. Здесь $a>0$, $a\neq1$.
Логарифм степени основания
Равен показателю степени: $\log_a a^x=x$. Здесь $a>0$, $a\neq1$.
Логарифм произведения
Равен сумме логарифмов: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$.
Логарифм частного
Равен разности логарифмов: $$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y.$$
Логарифм степени
Показатель степени можно вынести перед логарифмом: $$\log_a x^r=r\log_a x.$$
Логарифмическое уравнение
Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма, в основании логарифма или и там, и там $$\log_2(x-3)=4.$$
Простейшее логарифмическое уравнение
Уравнение вида $\log_a f(x)=b$ решается переходом к показательной форме: $f(x)=a^b$.
Метод логарифмирования
Используется, когда переменная находится в показателе степени или в выражениях, которые удобно преобразовать через логарифмы.
Метод потенцирования
Переход от логарифмического равенства к равенству аргументов или к показательной форме.
Замена переменной в логарифмическом уравнении
Если в уравнении повторяется одно и то же логарифмическое выражение, удобно ввести замену. После нахождения $t$ нужно вернуться к переменной $x$.
Логарифмическое уравнение, сводящееся к квадратному
Если уравнение содержит квадрат логарифма, его часто решают заменой переменной.
Проверка в логарифмическом уравнении
После решения логарифмического уравнения нужно проверить, входят ли найденные корни в ОДЗ. Если найденное значение нарушает условие положительности аргумента или допустимости основания, оно не является корнем.
Логарифм суммы
Не равен сумме логарифмов $$\log_a(x+y)\neq\log_a x+\log_a y.$$
Логарифм разности
Не равен разности логарифмов $$\log_a(x-y)\neq\log_a x-\log_a y.$$
ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
