Практика к уроку «Решение уравнений»

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\dfrac{1}{7}\\right)^{x+4} = 49.$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-6$","$-2$","$2$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\left(\\dfrac{1}{7}\\right)^{x+4} = 49$$<br />$2)$ Представим обе части уравнения в виде степени с основанием $7{:}$<br />$$\\left(7^{-1}\\right)^{x+4} = 7^2$$$$7^{-(x+4)} = 7^2$$<br />$3)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$-(x+4) = 2$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x- 4 = 2$$$$-x = 2 + 4$$$$-x = 6$$$$x = -6$$<br />Ответ: $-6.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $2^{-4-x} = 16.$[[fill_choice_big-15]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$-8$","$4$","$-4$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$2^{-4-x} = 16$$<br />$2)$ Представим $16$ как степень двойки:<br />$$16 = 2^4$$<br />$3)$ Подставим в уравнение:<br />$$2^{-4-x} = 2^4$$<br />$4)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$-4- x = 4$$<br />$5)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x = 4 + 4$$$$-x = 8$$$$x = -8$$<br />Ответ: $-8.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{9x- 47} = 4.$[[fill_choice_big-25]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$9$","$5$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\sqrt{9x- 47} = 4$$<br />$2)$ Возведем обе части уравнения в квадрат:<br />$$9x- 47 = 4^2$$$$9x- 47 = 16$$<br />$3)$ Решим полученное уравнение:<br />$$9x = 16 + 47$$$$9x = 63$$$$x = 7$$<br />$4)$ Проверим корень:<br />$$\\sqrt{9 \\cdot 7- 47} = \\sqrt{63- 47} = \\sqrt{16} = 4$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $7.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_5 (8- x) = \\log_5 2.$[[fill_choice_big-42]]","widgets":{"fill_choice_big-42":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$2$","$10$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\log_5 (8- x) = \\log_5 2$$<br />$2)$ Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, можно приравнять их аргументы:<br />$$8- x = 2$$<br />$3)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x = 2- 8$$$$-x = -6$$$$x = 6$$<br />$4)$ Проверим корень:<br />$$\\log_5 (8- 6) = \\log_5 2$$<br />Корень подходит.<br />Ответ: $6.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{5x- 1} = 7.$[[fill_choice_big-66]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$8$","$12$","$9.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\sqrt{5x- 1} = 7$$<br />$2)$ Возведем обе части уравнения в квадрат:<br />$$5x- 1 = 7^2$$$$5x- 1 = 49$$<br />$3)$ Решим полученное уравнение:<br />$$5x = 49 + 1$$$$5x = 50$$$$x = 10$$<br />$4)$ Проверим корень:<br />$$\\sqrt{5 \\cdot 10- 1} = \\sqrt{50- 1} = \\sqrt{49} = 7$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $10.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{3x + 49} = 10.$[[fill_choice_big-98]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$17$","$13$","$21$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\sqrt{3x + 49} = 10$$<br />$2)$ Возведем обе части уравнения в квадрат:<br />$$3x + 49 = 10^2$$$$3x + 49 = 100$$<br />$3)$ Решим полученное уравнение:<br />$$3x = 100- 49$$$$3x = 51$$$$x = 17$$<br />$4)$ Проверим корень:<br />$$\\sqrt{3 \\cdot 17 + 49} = \\sqrt{51 + 49} = \\sqrt{100} = 10$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $17.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $(x- 5)^3 = 64.$[[fill_choice_big-146]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$-3$","$13$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$(x- 5)^3 = 64$$<br />$2)$ Представим $64$ как куб числа:<br />$$64 = 4^3$$<br />$3)$ Подставим в уравнение:<br />$$(x- 5)^3 = 4^3$$<br />$4)$ Извлечем кубический корень из обеих частей:<br />$$x- 5 = 4$$<br />$5)$ Решим полученное уравнение:<br />$$x = 4 + 5$$$$x = 9$$<br />Ответ: $9.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\dfrac{1}{6}\\right)^{x-2} = 6^x.$[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$0$","$-1$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\left(\\dfrac{1}{6}\\right)^{x-2} = 6^x$$<br />$2)$ Представим левую часть как степень с основанием $6{:}$<br />$$\\left(6^{-1}\\right)^{x-2} = 6^x$$$$6^{-(x-2)} = 6^x$$<br />$3)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$-(x-2) = x$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x + 2 = x$$$$2 = x + x$$$$2 = 2x$$$$x = 1$$<br />Ответ: $1.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $4^{x-7} = \\dfrac{1}{64}.$[[fill_choice_big-244]]","widgets":{"fill_choice_big-244":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$10$","$-10$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$4^{x-7} = \\dfrac{1}{64}$$<br />$2)$ Представим обе части уравнения как степени с основанием $4{:}$<br />$$4^{x-7} = 4^{-3}$$<br />$3)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$x- 7 = -3$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$x = -3 + 7$$$$x = 4$$<br />Ответ: $4.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt[3]{x + 3} = 3.$[[fill_choice_big-312]]","widgets":{"fill_choice_big-312":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$18$","$30$","$21$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\sqrt[3]{x + 3} = 3$$<br />$2)$ Возведем обе части уравнения в куб:<br />$$x + 3 = 3^3$$$$x + 3 = 27$$<br />$3)$ Решим полученное уравнение:<br />$$x = 27- 3$$$$x = 24$$<br />$4)$ Проверим корень:<br />$$\\sqrt[3]{24 + 3} = \\sqrt[3]{27} = 3$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $24.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\dfrac{1}{6}\\right)^{x-3} = \\dfrac{1}{36}.$[[fill_choice_big-151]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$1$","$7$","$-1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\left(\\dfrac{1}{6}\\right)^{x-3} = \\dfrac{1}{36}$$<br />$2)$ Представим обе части уравнения как степени с основанием $6{:}$<br />$$\\left(6^{-1}\\right)^{x-3} = 6^{-2}$$$$6^{-(x-3)} = 6^{-2}$$<br />$3)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$-(x-3) = -2$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x + 3 = -2$$$$-x = -2- 3$$$$-x = -5$$$$x = 5$$<br />Ответ: $5.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $3^{x+6} = 9^{2x}.$[[fill_choice_big-258]]","widgets":{"fill_choice_big-258":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$-2$","$3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$3^{x+6} = 9^{2x}$$<br />$2)$ Представим правую часть как степень с основанием $3{:}$<br />$$9 = 3^2$$$$9^{2x} = (3^2)^{2x} = 3^{4x}$$<br />$3)$ Подставим в уравнение:<br />$$3^{x+6} = 3^{4x}$$<br />$4)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$x + 6 = 4x$$<br />$5)$ Решим полученное уравнение:<br />$$6 = 4x- x$$$$6 = 3x$$$$x = 2$$<br />Ответ: $2.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $6^{x-5} = 36.$[[fill_choice_big-375]]","widgets":{"fill_choice_big-375":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$3$","$9$","$-3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$6^{x-5} = 36$$<br />$2)$ Представим $36$ как степень с основанием $6{:}$<br />$$36 = 6^2$$<br />$3)$ Подставим в уравнение:<br />$$6^{x-5} = 6^2$$<br />$4)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$x- 5 = 2$$<br />$5)$ Решим полученное уравнение:<br />$$x = 2 + 5$$$$x = 7$$<br />Ответ: $7.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{8x- 20} = 2.$[[fill_choice_big-502]]","widgets":{"fill_choice_big-502":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$4$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\sqrt{8x- 20} = 2$$<br />$2)$ Возведем обе части уравнения в квадрат:<br />$$8x- 20 = 2^2$$$$8x- 20 = 4$$<br />$3)$ Решим полученное уравнение:<br />$$8x = 4 + 20$$$$8x = 24$$$$x = 3$$<br />$4)$ Проверим корень:<br />$$\\sqrt{8 \\cdot 3- 20} = \\sqrt{24- 20} = \\sqrt{4} = 2$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $3.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $(x + 4)^3 = -125.$[[fill_choice_big-639]]","widgets":{"fill_choice_big-639":{"type":"fill_choice_big","options":["$-9$","$-6$","$-1$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$(x + 4)^3 = -125$$<br />$2)$ Представим $-125$ как куб числа:<br />$$-125 = (-5)^3$$<br />$3)$ Подставим в уравнение:<br />$$(x + 4)^3 = (-5)^3$$<br />$4)$ Извлечем кубический корень из обеих частей:<br />$$x + 4 = -5$$<br />$5)$ Решим полученное уравнение:<br />$$x = -5- 4$$$$x = -9$$<br />Ответ: $-9.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{x-5} = 125.$[[fill_choice_big-3114]]","widgets":{"fill_choice_big-3114":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$5$","$-2$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^{x-5} = 125$$<br />$2)$ Представим обе части уравнения как степени с основанием $5{:}$<br />$$\\left(5^{-1}\\right)^{x-5} = 5^3$$$$5^{-(x-5)} = 5^3$$<br />$3)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$-(x-5) = 3$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x + 5 = 3$$$$-x = 3- 5$$$$-x = -2$$$$x = 2$$<br />Ответ: $2.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\dfrac{1}{3x- 4} = 5.$[[fill_choice_big-2965]]","widgets":{"fill_choice_big-2965":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.4$","$1.2$","$1.6$","$1.8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\dfrac{1}{3x- 4} = 5$$<br />$2)$ Умножим обе части уравнения на $(3x- 4){:}$<br />$$1 = 5(3x- 4)$$<br />$3)$ Раскроем скобки:<br />$$1 = 15x- 20$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$15x = 1 + 20$$$$15x = 21$$$$x = \\dfrac{21}{15} = \\dfrac{7}{5} = 1.4$$<br />$5)$ Проверим корень:<br />$$\\dfrac{1}{3 \\cdot 1.4- 4} = \\dfrac{1}{4.2- 4} = \\dfrac{1}{0.2} = 5$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $1.4.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_4 (x- 4) = 3.$[[fill_choice_big-2824]]","widgets":{"fill_choice_big-2824":{"type":"fill_choice_big","options":["$68$","$60$","$76$","$80$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\log_4 (x- 4) = 3$$<br />$2)$ По определению логарифма:<br />$$x- 4 = 4^3$$<br />$3)$ Вычислим правую часть:<br />$$x- 4 = 64$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$x = 64 + 4$$$$x = 68$$<br />$5)$ Проверим корень:<br />$$\\log_4 (68- 4) = \\log_4 64 = \\log_4 4^3 = 3$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $68.$<br />"]},{"content":"Найдите корень уравнения $8^{9-x} = 64.$[[fill_choice_big-2691]]","widgets":{"fill_choice_big-2691":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$5$","$9$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$8^{9-x} = 64$$<br />$2)$ Представим обе части уравнения как степени с основанием $2{:}$<br />$$8 = 2^3$$$$64 = 2^6$$$$(2^3)^{9-x} = 2^6$$$$2^{3(9-x)} = 2^6$$<br />$3)$ Приравняем показатели степеней:<br />$$3(9-x) = 6$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$27- 3x = 6$$$$-3x = 6- 27$$$$-3x = -21$$$$x = 7$$<br />Ответ: $7.$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_5 (20- x) = 2.$[[fill_choice_big-2566]]","widgets":{"fill_choice_big-2566":{"type":"fill_choice_big","options":["$-5$","$15$","$-15$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем уравнение:<br />$$\\log_5 (20- x) = 2$$<br />$2)$ По определению логарифма:<br />$$20- x = 5^2$$<br />$3)$ Вычислим правую часть:<br />$$20- x = 25$$<br />$4)$ Решим полученное уравнение:<br />$$-x = 25- 20$$$$-x = 5$$$$x = -5$$<br />$5)$ Проверим корень:<br />$$\\log_5 (20- (-5)) = \\log_5 25 = \\log_5 5^2 = 2$$<br />Корень подходит.<br /><br />Ответ: $-5.$"]}]}