Практика к уроку «Закон сохранения энергии»

{"questions":[{"content":"Тело массой $m = 0.5 \\space \\text{кг}$ бросили горизонтально с некоторой высоты с начальной скоростью $v = 10 \\space \\text{м/с}.$ Через некоторое время тело опустилось на расстояние $\\Delta h = 25 \\space \\text{м},$ а силы сопротивления воздуха за это время совершили работу $A_{\\text{сопр}} = -60 \\space \\text{Дж}.$ Определите кинетическую энергию тела в этот момент времени.[[fill_choice_big-1]][[image-2302]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$90$","$60$","$70$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2302":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/ugol_1-01.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ Изменение полной механической энергии тела равно работе непотенциальных сил (сил сопротивления). Закон сохранения энергии в данной форме: $$E_2 = E_1 + A_{\\text{сопр}}$$ где $E_1$ — полная механическая энергия в начальный момент, $E_2$ — полная механическая энергия в искомый момент.<br /><br />$2)$ Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на той высоте, где находится тело в искомый момент. Тогда: <br />- В начальный момент тело находится на высоте $\\Delta h = 25 \\space \\text{м}$ выше нулевого уровня, имеет начальную скорость $v = 10 \\space \\text{м/с}.$<br />$$E_1 = E_{p1} + E_{k1} = m g \\Delta h + \\frac{m v^2}{2}$$<br /><br />$3)$ В искомый момент тело находится на нулевом уровне $(E_{p2} = 0)$, его полная механическая энергия равна кинетической энергии $E_{k2},$ которую нужно найти:$$E_2 = E_{k2}$$<br />$4)$ Подставим выражения в закон сохранения: $$E_{k2} = m g \\Delta h + \\frac{m v^2}{2} + A_{\\text{сопр}}$$<br />$5)$ Подставим числовые значения: $m = 0.5 \\space \\text{кг},$ $g = 10 \\space \\text{м/с}^2,$ $\\Delta h = 25 \\space \\text{м},$ $v = 10 \\space \\text{м/с},$ $A_{\\text{сопр}} = -60 \\space \\text{Дж}.$ $$E_{k2} = 0.5 \\cdot 10 \\cdot 25 + \\frac{0.5 \\cdot 10^2}{2}- 60$$<br /><br />$6)$ Выполним вычисления по частям: $$m g \\Delta h = 0.5 \\cdot 10 \\cdot 25 = 125 \\space \\text{Дж}$$ $$\\frac{m v^2}{2} = \\frac{0.5 \\cdot 100}{2} = 25 \\space \\text{Дж}$$<br /><br />$7)$ Сложим и учтем работу сил сопротивления: $$E_{k2} = 125 + 25- 60 = 90 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $E_{k2} = 90 \\space \\text{Дж}$ — кинетическая энергия тела в искомый момент."]},{"content":"Нить, удерживающая вертикально расположенную легкую пружину в сжатом на $1 \\space \\text{см}$ состоянии, внезапно оборвалась. Какова масса шарика, если он приобретает при этом начальную скорость $10 \\space \\text{м/с}$?  <br />Жесткость пружины $2 \\space \\text{кН/м}.$ Колебаниями пружины после отрыва шарика пренебречь.<br />[[fill_choice_big-30]][[image-1847]]","widgets":{"fill_choice_big-30":{"type":"fill_choice_big","options":["$ 0.002$","$ 0.2$","$ 0.001$","$ 0.1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1847":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/ur.10-2zad.svg","width":"250"}},"hints":["$1)$ По закону сохранения энергии потенциальная энергия сжатой пружины полностью переходит в кинетическую энергию шарика: $$\\dfrac{k x^2}{2} = \\dfrac{m v^2}{2}$$<br />$2)$ Сокращаем $\\dfrac{1}{2}$ и выражаем массу $m{:}$ $$m = \\dfrac{k x^2}{v^2}$$<br /><br />$3)$ Переводим величины в $СИ{:}$ $$x = 1 \\space \\text{см} = 0.01 \\space \\text{м}, \\quad k = 2 \\space \\text{кН/м} = 2\\space000 \\space \\text{Н/м}, \\quad v = 10 \\space \\text{м/с}$$<br /><br />$4)$ Подставляем числа:<br />$$m = \\dfrac{2\\space000 \\cdot (0.01)^2}{10^2}$$<br /><br />$5)$ Вычисляем:<br />$$m = \\dfrac{2\\space000 \\cdot 0.0001}{100} = \\dfrac{0.2}{100} = 0.002 \\space \\text{кг}$$<br /><br />Ответ: $m = 0.002 \\space \\text{кг}$ — масса шарика."]},{"content":"При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх шарик массой $100 \\space \\text{г}$ поднимается на высоту $2 \\space \\text{м}.$  <br />Насколько была сжата пружина до выстрела, если ее жесткость равна $1\\space600 \\space \\text{Н/м}?$ Сопротивлением воздуха пренебречь.[[fill_choice_big-51]][[image-2387]]","widgets":{"fill_choice_big-51":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.05$","$0.5$","$0.15$","$0.005$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2387":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumayushhii-razmyshlyayushhii-5-01.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ По закону сохранения энергии потенциальная энергия сжатой пружины переходит в потенциальную энергию шарика: $$\\dfrac{k x^2}{2} = m g h$$<br />$2)$ Выражаем сжатие $x{:}$ $$x = \\sqrt{\\dfrac{2 m g h}{k}}$$<br />$3)$ Подставляем данные: $m = 0.1 \\space \\text{кг},$ $g = 10 \\space \\text{м/с}^2,$ $h = 2 \\space \\text{м},$ $k = 1\\space600 \\space \\text{Н/м}{:}$ $$x = \\sqrt{\\dfrac{2 \\cdot 0.1 \\cdot 10 \\cdot 2}{1\\space600}}$$<br />$4)$ Вычисляем: $$x = \\sqrt{\\dfrac{4}{1\\space600}} = \\sqrt{0.0025} = 0.05 \\space \\text{м}$$<br />Ответ: $x = 0.05 \\space \\text{м}$ — величина сжатия пружины."]},{"content":"Камень массой $m = 2 \\space \\text{кг}$ брошен с высоты $H = 25 \\space \\text{м}$ под углом к горизонту с начальной скоростью $v_0 = 10 \\space \\text{м/с}.$  <br />Найдите кинетическую энергию камня на высоте $h = 10 \\space \\text{м}.$[[fill_choice_big-83]][[image-1928]]","widgets":{"fill_choice_big-83":{"type":"fill_choice_big","options":["$400$","$200$","$150$","$300$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1928":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/ur.10-4zad.svg","width":"450"}},"hints":["$1)$ По закону сохранения механической энергии (при отсутствии сопротивления воздуха) полная энергия камня остается постоянной:<br />$$E_{\\text{пот1}} + E_{\\text{кин1}} = E_{\\text{пот2}} + E_{\\text{кин2}}$$<br />где индекс $1$ соответствует начальному моменту $($высота $H)$, а индекс $2$ — искомому моменту $($ высота $h).$<br /><br />$2)$ Выразим кинетическую энергию на высоте $h{:}$ $$E_{\\text{кин2}} = E_{\\text{пот1}} + E_{\\text{кин1}}- E_{\\text{пот2}}$$<br />$3)$ Запишем выражения для энергий: $$E_{\\text{пот1}} = m g H, \\quad E_{\\text{кин1}} = \\dfrac{m v_0^2}{2}, \\quad E_{\\text{пот2}} = m g h$$<br />$4)$ Подставим в формулу для $E_{\\text{кин2}}{:}$ $$E_{\\text{кин2}} = m g H + \\dfrac{m v_0^2}{2}- m g h = m \\left( g H + \\dfrac{v_0^2}{2}- g h \\right)$$<br />$5)$ Примем $g = 10 \\space \\text{м/с}^2.$ Подставим числовые значения $m = 2 \\space \\text{кг},$ $H = 25 \\space \\text{м},$ $v_0 = 10 \\space \\text{м/с},$ $h = 10 \\space \\text{м}{:}$ $$E_{\\text{кин2}} = 2 \\cdot \\left( 10 \\cdot 25 + \\dfrac{10^2}{2}- 10 \\cdot 10 \\right)$$<br />$6)$ Выполним вычисления внутри скобок: $$10 \\cdot 25 = 250$$ $$\\dfrac{10^2}{2} = \\dfrac{100}{2} = 50$$ $$10 \\cdot 10 = 100$$ $$250 + 50- 100 = 200$$<br />$7)$ Найдем кинетическую энергию: $$E_{\\text{кин2}} = 2 \\cdot 200 = 400 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $E_{\\text{кин2}} = 400 \\space \\text{Дж}$ — кинетическая энергия камня на высоте $h = 10 \\space \\text{м}.$"]},{"content":"Шарик массой $m = 2 \\space \\text{кг}$ падает с высоты $h = 5 \\space \\text{м}$ без начальной скорости. В результате его удара об пол выделилось количество теплоты $Q = 20 \\space \\text{Дж}.$ Найдите максимальную высоту подъема шарика после удара о землю.[[fill_choice_big-144]][[image-2476]]","widgets":{"fill_choice_big-144":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$2$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2476":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/personazh-dumaet.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ Закон сохранения энергии с учетом потерь на выделение тепла при ударе: $$E_{\\text{нач}} = E_{\\text{кон}} + Q$$<br />$2)$ В начальный момент $($на высоте $h)$ шарик обладает только потенциальной энергией: $$E_{\\text{нач}} = m g h$$<br /><br />$3)$ В наивысшей точке после удара шарик обладает только потенциальной энергией (скорость равна нулю): $$E_{\\text{кон}} = m g H$$ где $H$ — искомая максимальная высота подъема.<br />$4)$ Подставляем в закон сохранения: $$m g h = m g H + Q$$<br />$5)$ Выражаем высоту $H{:}$ $$H = \\dfrac{m g h- Q}{m g}$$<br />$6)$ Подставляем числовые значения $(g = 10 \\space \\text{м/с}^2){:}$ $$H = \\dfrac{2 \\cdot 10 \\cdot 5- 20}{2 \\cdot 10}$$<br />$7)$ Вычисляем числитель и знаменатель: $$H = \\dfrac{100- 20}{20} = \\dfrac{80}{20} = 4 \\space \\text{м}$$<br />Ответ: $H = 4 \\space \\text{м}$ — максимальная высота подъема шарика после удара."]},{"content":"Камень массой $m = 2 \\space \\text{кг}$ брошен под углом $30^\\circ.$ Начальный модуль импульса тела равен $p_0 = 4 \\space \\text{кг} \\cdot \\text{м/с}.$ Чему равна кинетическая энергия камня в верхней точке траектории его движения?[[fill_choice_big-231]][[image-2569]]","widgets":{"fill_choice_big-231":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-2569":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/pishet-ruchka-test-reshaet.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю. Скорость камня в этой точке равна горизонтальной составляющей начальной скорости: $$v_x = v_0 \\cos 30^\\circ$$<br />$2)$ Начальный импульс связан с начальной скоростью: $$p_0 = m v_0$$<br />$3)$ Выразим начальную скорость: $$v_0 = \\dfrac{p_0}{m}$$<br />$4)$ Тогда горизонтальная составляющая скорости в верхней точке: $$v_x = \\dfrac{p_0}{m} \\cos 30^\\circ$$<br />$5)$ Кинетическая энергия в верхней точке: $$E_k = \\dfrac{m v_x^2}{2} = \\dfrac{m}{2} \\left( \\dfrac{p_0}{m} \\cos 30^\\circ \\right)^2 = \\dfrac{p_0^2 \\cos^2 30^\\circ}{2 m}$$<br />$6)$ Подставим числовые значения: $p_0 = 4 \\space \\text{кг} \\cdot \\text{м/с},$ $m = 2 \\space \\text{кг},$ $\\cos 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0.8660,$ но точнее возведем в квадрат: $\\cos^2 30^\\circ = \\left( \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\right)^2 = \\dfrac{3}{4}.$<br />$$E_k = \\dfrac{4^2 \\cdot \\dfrac{3}{4}}{2 \\cdot 2}$$<br />$7)$ Вычислим поэтапно: $$4^2 = 16$$ $$16 \\cdot \\dfrac{3}{4} = 12$$ $$2 \\cdot 2 = 4$$ $$E_k = \\dfrac{12}{4} = 3 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $E_k = 3 \\space \\text{Дж}$ — кинетическая энергия камня в верхней точке траектории."]},{"content":"Шайбе массой $m = 1 \\space \\text{кг},$ находящейся на наклонной плоскости, сообщили скорость $v = 4 \\space \\text{м/с},$ направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Угол наклона плоскости $30^\\circ.$ Какова будет скорость шайбы, после того, как она пройдет $l = 0.5 \\space \\text{м},$ если сила трения равна $F = 1 \\space \\text{Н}.$ (Ответ округлите до десятых).[[fill_choice_big-324]][[image-2666]]","widgets":{"fill_choice_big-324":{"type":"fill_choice_big","options":["$3.2$","$3$","$2.9$","$3.4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2666":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/hokkey_2-01.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ Закон изменения механической энергии (или теорема о кинетической энергии с учетом потенциальной и работы силы трения): $$\\dfrac{m v'^2}{2}- \\dfrac{m v^2}{2} = -m g h- F l$$ где $v'$ — искомая конечная скорость, $h = l \\sin 30^\\circ$ — высота подъема.<br /><br />$2)$ Найдем высоту $h{:}$ $$h = l \\sin 30^\\circ = 0.5 \\cdot \\dfrac{1}{2} = 0.25 \\space \\text{м}$$<br />$3)$ Подставим все числовые значения $(g = 10 \\space \\text{м/с}^2){:}$ $$\\dfrac{1 \\cdot v'^2}{2}- \\dfrac{1 \\cdot 4^2}{2} = -1 \\cdot 10 \\cdot 0.25- 1 \\cdot 0.5$$<br />$4)$ Упрощаем: $$\\dfrac{v'^2}{2}- 8 = -2.5- 0.5$$<br />$5)$ Складываем правую часть: $$\\dfrac{v'^2}{2}- 8 = -3.0$$<br />$6)$ Переносим $-8$ в правую часть: $$\\dfrac{v'^2}{2} = 8- 3 = 5$$<br />$7)$ Умножаем на $2{:}$ $$v'^2 = 10$$<br />$8)$ Извлекаем корень: $$v' = \\sqrt{10} \\approx 3.162 \\space \\text{м/с}$$<br />Ответ: $v' \\approx 3.2 \\space \\text{м/с}$ — скорость шайбы после прохождения $0.5 \\space \\text{м}.$"]},{"content":"Шар массой $m_1 = 5 \\space \\text{кг}$ со скоростью $v_1 = 3 \\space \\text{м/с}$ врезается в неподвижный шар массой $m_2 = 10 \\space \\text{кг}.$ В результате их упругого столкновения второй шар приобрел скорость, а первый отскочил в обратном направлении. Найдите кинетическую энергию первого шара после столкновения.[[fill_choice_big-754]][[image-2767]]","widgets":{"fill_choice_big-754":{"type":"fill_choice_big","options":["$2.5$","$3.5$","$2.0$","$3.0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2767":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/uchenik-01.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ Запишем систему из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии:<br />$$\\begin{cases}m_1 v_1 = -m_1 v_{k1} + m_2 v_{k2} \\\\ \\dfrac{m_1 v_1^2}{2} = \\dfrac{m_1 v_{k1}^2}{2} + \\dfrac{m_2 v_{k2}^2}{2} \\end{cases} $$ где $v_{k1}$ — скорость первого шара после столкновения, $v_{k2}$ — скорость второго шара после столкновения.<br /><br />$2)$ Умножим второе уравнение на $2{:}$ $$\\begin{cases} m_1 v_1 = -m_1 v_{k1} + m_2 v_{k2} \\\\ m_1 v_1^2 = m_1 v_{k1}^2 + m_2 v_{k2}^2\\end{cases}$$<br />$3)$ Перепишем систему, сгруппировав слагаемые: $$\\begin{cases}m_1 (v_1 + v_{k1}) = m_2 v_{k2} \\quad (1) \\\\ m_1 (v_1^2- v_{k1}^2) = m_2 v_{k2}^2 \\quad (2) \\end{cases} $$<br />$4)$ Преобразуем разность квадратов во втором уравнении:$$m_1 (v_1- v_{k1})(v_1 + v_{k1}) = m_2 v_{k2}^2 \\quad (2')$$<br />$5)$ Поделим уравнение $(2')$ на уравнение $(1){:}$ $$\\dfrac{m_1 (v_1- v_{k1})(v_1 + v_{k1})}{m_1 (v_1 + v_{k1})} = \\dfrac{m_2 v_{k2}^2}{m_2 v_{k2}}$$ $$v_1- v_{k1} = v_{k2} \\quad (3)$$<br />$6)$ Подставим $(3)$ в $(1){:}$ $$m_1 (v_1 + v_{k1}) = m_2 (v_1- v_{k1})$$<br />$7)$ Раскроем скобки и выразим $v_{k1}{:}$ $$m_1 v_1 + m_1 v_{k1} = m_2 v_1- m_2 v_{k1}$$ $$m_1 v_{k1} + m_2 v_{k1} = m_2 v_1- m_1 v_1$$ $$v_{k1} (m_1 + m_2) = v_1 (m_2- m_1)$$ $$v_{k1} = \\dfrac{v_1 (m_2- m_1)}{m_1 + m_2}$$<br />$8)$ Подставим числовые значения: $$v_{k1} = \\dfrac{3 \\cdot (10- 5)}{5 + 10} = \\dfrac{3 \\cdot 5}{15} = 1 \\space \\text{м/с}$$ Учитываем направление: первый шар отскочил назад, поэтому $v_{k1} = -1 \\space \\text{м/с}$ $($по модулю $1 \\space \\text{м/с}).$<br /><br />$9)$ Кинетическая энергия первого шара после столкновения: $$E_{k1} = \\dfrac{m_1 v_{k1}^2}{2} = \\dfrac{5 \\cdot 1^2}{2} = 2.5 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $E_{k1} = 2.5 \\space \\text{Дж}$ — кинетическая энергия первого шара после столкновения."]},{"content":"Два шарика массами $m_1 = 0.01 \\space \\text{кг}$ и $m_2 = 0.02 \\space \\text{кг}$ движутся навстречу друг к другу с одинаковыми скоростями равными $v = 0.5 \\space \\text{м/с}.$ Найти скорость шариков после абсолютно неупругого столкновения (округлите до сотых).<br />[[fill_choice_big-658]][[image-2872]]","widgets":{"fill_choice_big-658":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.17$","$0.1$","$0.15$","$0.21$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2872":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"350"}},"hints":["$1)$ При абсолютно неупругом столкновении шарики слипаются и движутся вместе как одно целое. Используем закон сохранения импульса.<br /><br />$2)$ Выберем направление оси $x$ в сторону движения шарика массой $m_2$ как положительное. Тогда:<br />Импульс первого шарика (движется навстречу): $p_1 =- m_1 v;$<br />Импульс второго шарика (движется вдоль оси): $p_2 = m_2 v.$<br /><br />$3)$ После столкновения оба шарика движутся вместе со скоростью $u$ (вдоль оси $x$). Их общая масса $M = m_1 + m_2.$<br /><br />$4)$ Закон сохранения импульса в проекции на ось $x{:}$ $$- m_1 v + m_2 v = (m_1 + m_2) u$$<br />$5)$ Выразим скорость $u$ после столкновения: $$u = \\dfrac{v (m_2- m_1)}{m_1 + m_2}$$<br />$6)$ Подставим числовые значения: $$u = \\dfrac{0.5 \\cdot (0.02- 0.01)}{0.01 + 0.02} = \\dfrac{0.5 \\cdot 0.01}{0.03}$$<br />$7)$ Вычислим: $$u = \\dfrac{0.005}{0.03} = \\dfrac{5}{30} = \\dfrac{1}{6} \\approx 0.1667 \\space \\text{м/с}$$<br />$8)$ Округляем до сотых: $$u \\approx 0.17 \\space \\text{м/с}$$<br />Ответ: $u \\approx 0.17 \\space \\text{м/с}$ — скорость слипшихся шариков после абсолютно неупругого столкновения."]},{"content":"Снаряд массой $4 \\space \\text{кг},$ летящий со скоростью $400 \\space \\text{м/с},$ в полете разрывается на две равные части, одна из которых продолжает движение по направлению движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличивается за счет энергии взрыва на величину $0.5 \\space \\text{МДж}.$ Найдите модуль скорости осколка, движущегося по направлению движения снаряда.[[fill_choice_big-573]][[image-2981]]","widgets":{"fill_choice_big-573":{"type":"fill_choice_big","options":["$900$","$800$","$850$","$880$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2981":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-.svg","width":"350"}},"hints":["Обоснование:<br />Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей, и направим ось $Ox$ в направлении начальной скорости движения снаряда. При описании движения снаряда и осколков используем модель материальной точки. Для описания разрыва снаряда используется закон сохранения импульса системы тел. Он выполняется в инерциальной системе отсчета, если сумма внешних сил, приложенных к телам системы, равна нулю. В данном случае из-за отсутствия сопротивления воздуха внешней силой является только сила тяжести $m g,$ которая не равна нулю. Однако этим можно пренебречь, считая время разрыва снаряда малым. За малое время разрыва импульс каждого из осколков меняется на конечную величину за счет больших внутренних сил, разрывающих снаряд при взрыве. По сравнению с этими большими силами конечная сила тяжести пренебрежимо мала. Так как время разрыва снаряда считаем малым, можно пренебречь и изменением потенциальной энергии снаряда и его осколков в поле тяжести в процессе разрыва.<br /><br />Решение:<br /><br />$1)$ Масса каждого осколка: $$m = \\dfrac{4}{2} = 2 \\space \\text{кг}$$<br />$2)$ Запишем систему уравнений, состоящую из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии: $$\\begin{cases} \\dfrac{2 m v_0^2}{2} + \\Delta E = \\dfrac{m v_1^2}{2} + \\dfrac{m v_2^2}{2} \\\\ 2 m v_0 = m v_1- m v_2 \\end{cases} $$<br />где $v_0 = 400 \\space \\text{м/с}$ — начальная скорость снаряда, $\\Delta E = 0.5 \\space \\text{МДж} = 5 \\cdot 10^5 \\space \\text{Дж}$ — энергия взрыва, $v_1$ — скорость осколка, движущегося вперед, $v_2$ — скорость осколка, движущегося назад.<br /><br />$3)$ Из закона сохранения импульса выразим $v_2{:}$ $$2 v_0 = v_1- v_2 \\quad \\Rightarrow \\quad v_2 = v_1- 2 v_0$$<br />$4)$ Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$\\dfrac{2 m v_0^2}{2} + \\Delta E = \\dfrac{m v_1^2}{2} + \\dfrac{m (v_1- 2 v_0)^2}{2}$$<br />$5)$ Упростим левую и правую части: $$m v_0^2 + \\Delta E = \\dfrac{m v_1^2}{2} + \\dfrac{m (v_1^2- 4 v_0 v_1 + 4 v_0^2)}{2}$$<br />$6)$ Приведем подобные в правой части: $$m v_0^2 + \\Delta E = \\dfrac{2 m v_1^2- 4 m v_0 v_1 + 4 m v_0^2}{2}$$<br />$7)$ Умножим обе части на $2{:}$ $$2 m v_0^2 + 2 \\Delta E = 2 m v_1^2- 4 m v_0 v_1 + 4 m v_0^2$$<br />$8)$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и сгруппируем: $$0 = 2 m v_1^2- 4 m v_0 v_1 + 4 m v_0^2- 2 m v_0^2- 2 \\Delta E$$ $$0 = 2 m v_1^2- 4 m v_0 v_1 + 2 m v_0^2- 2 \\Delta E$$<br />$9)$ Разделим на $2{:}$ $$0 = m v_1^2- 2 m v_0 v_1 + m v_0^2- \\Delta E$$<br />$10)$ Выделим полный квадрат относительно $v_1{:}$ $$m (v_1^2- 2 v_0 v_1 + v_0^2) = \\Delta E$$ $$m (v_1- v_0)^2 = \\Delta E$$<br />$11)$ Выразим $(v_1- v_0)^2{:}$ $$(v_1- v_0)^2 = \\dfrac{\\Delta E}{m}$$<br /><br />$12)$ Извлечем квадратный корень $($учитывая, что $v_1 > v_0){:}$ $$v_1- v_0 = \\sqrt{\\dfrac{\\Delta E}{m}}$$<br />$13)$ Подставим числовые значения: $$v_1- v_0 = \\sqrt{\\dfrac{5 \\cdot 10^5}{2}} = \\sqrt{250\\space000} = 500 \\space \\text{м/с}$$<br />$14)$ Находим скорость $v_1{:}$ $$v_1 = v_0 + 500 = 400 + 500 = 900 \\space \\text{м/с}$$<br />Ответ: $v_1 = 900 \\space \\text{м/с}$ — модуль скорости осколка, движущегося по направлению движения снаряда."]},{"content":"Небольшая шайба после удара скользит вверх по наклонной плоскости из точки $A.$ В точке $B$ наклонная плоскость без излома переходит в наружную поверхность горизонтальной трубы радиусом $R = 0.3 \\space \\text{м}.$ Если в точке $A$ скорость шайбы превосходит $v_0 = 4 \\space \\text{м/с},$ то в точке $B$ шайба отрывается от опоры. Длина наклонной плоскости $L,$ угол $\\alpha = 30^\\circ.$ Коэффициент трения между наклонной плоскостью и шайбой $\\mu = 0.2.$ Найдите длину наклонной плоскости $L.$[[fill_choice_big-931]][[image-2014]]","widgets":{"fill_choice_big-931":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2014":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/ur.10-11zad.svg","width":"450"}},"hints":["Обоснование:<br />$1)$ Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.<br />$2)$ Шайбу можно считать материальной точкой, так как ее размеры много меньше радиусов кривизны траектории.<br />$3)$ Для описания движения шайбы в $ИСО$ применимы законы Ньютона.<br />$4)$ При движении по закругленной поверхности шайба обладает центростремительным ускорением, направленным к центру окружности.<br />$5)$ В момент отрыва сила нормальной реакции опоры обращается в нуль, так как шайба перестает контактировать с поверхностью.<br />$6)$ Связь между скоростями шайбы в точках $A$ и $B$ устанавливается с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, поскольку на шайбу действует сила трения, совершающая отрицательную работу. Работа силы нормальной реакции равна нулю, так как эта сила перпендикулярна перемещению.<br /><br />Решение:<br /><br />$1)$ В момент отрыва в точке $B$ сила нормальной реакции опоры $N = 0.$ Запишем второй закон Ньютона для шайбы в точке $B$ в проекции на ось, направленную к центру окружности $($вертикальную ось $y){:}$ $$m g \\cos \\alpha = m a_n$$ где $a_n = \\dfrac{v_B^2}{R}$ — центростремительное ускорение, $v_B$ — скорость шайбы в точке $B.$<br /><br />$2)$ Получаем условие отрыва: $$g \\cos \\alpha = \\dfrac{v_B^2}{R}$$ $$v_B^2 = g R \\cos \\alpha \\quad (1)$$<br />$3)$ Найдем работу всех сил при движении шайбы от $A$ до $B.$ Силы, действующие на шайбу: сила тяжести $m \\vec{g},$ сила нормальной реакции $\\vec{N},$ сила трения $\\vec{F}_{\\text{тр}}.$<br />- Работа силы тяжести: $A_{mg} =- m g \\Delta h =- m g L \\sin \\alpha$ (так как шайба поднимается на высоту $L \\sin \\alpha$).<br />- Работа силы нормальной реакции: $A_N = 0,$ так как $\\vec{N} \\perp \\text{перемещению}.$<br />- Работа силы трения: $A_{\\text{тр}} =- F_{\\text{тр}} L.$ Сила трения скольжения $F_{\\text{тр}} = \\mu N.$ При движении по наклонной плоскости $N = m g \\cos \\alpha,$ поэтому $F_{\\text{тр}} = \\mu m g \\cos \\alpha.$ Следовательно, $A_{\\text{тр}} = -\\mu m g L \\cos \\alpha.$<br /><br />$4)$ Запишем теорему об изменении кинетической энергии: $$\\Delta E_k = A_{mg} + A_N + A_{\\text{тр}}$$ $$\\dfrac{m v_B^2}{2}- \\dfrac{m v_0^2}{2} =- m g L \\sin \\alpha- \\mu m g L \\cos \\alpha$$<br />$5)$ Сократим массу $m$ и умножим на $2{:}$ $$v_B^2- v_0^2 =- 2 g L (\\sin \\alpha + \\mu \\cos \\alpha)$$<br />$6)$ Выразим $v_0^2- v_B^2{:}$ $$v_0^2- v_B^2 = 2 g L (\\sin \\alpha + \\mu \\cos \\alpha)$$<br />$7)$ Подставим выражение для $v_B^2$ из $(1){:}$ $$v_0^2- g R \\cos \\alpha = 2 g L (\\sin \\alpha + \\mu \\cos \\alpha)$$<br />$8)$ Выразим длину $L{:}$ $$L = \\dfrac{v_0^2- g R \\cos \\alpha}{2 g (\\sin \\alpha + \\mu \\cos \\alpha)}$$<br />$9)$ Подставим числовые значения: $v_0 = 4 \\space \\text{м/с},$ $g = 10 \\space \\text{м/с}^2,$ $R = 0.3 \\space \\text{м},$ $\\alpha = 30^\\circ,$ $\\mu = 0.2.$ $$\\sin 30^\\circ = 0.5, \\quad \\cos 30^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\approx 0.8660$$<br />$10)$ Вычислим числитель: $$v_0^2 = 16 \\space \\text{м}^2/\\text{с}^2$$ $$g R \\cos \\alpha = 10 \\cdot 0.3 \\cdot 0.8660 = 2.598 \\space \\text{м}^2/\\text{с}^2$$ $$v_0^2- g R \\cos \\alpha \\approx 16- 2.598 = 13.402 \\space \\text{м}^2/\\text{с}^2$$<br />$11)$ Вычислим знаменатель: $$2 g (\\sin \\alpha + \\mu \\cos \\alpha) = 2 \\cdot 10 \\cdot (0.5 + 0.2 \\cdot 0.8660) = 20 \\cdot (0.5 + 0.1732) = 20 \\cdot 0.6732 = 13.464$$<br />$12)$ Находим $L{:}$ $$L \\approx \\dfrac{13.402}{13.464} \\approx 0.995 \\space \\text{м} \\approx 1 \\space \\text{м}$$<br />Ответ: $L \\approx 1 \\space \\text{м}$ — длина наклонной плоскости."]},{"content":"Небольшой груз массой $m = 400 \\space \\text{г}$ лежит на горизонтальной опоре. За веревку, перекинутую через неподвижный блок, его потянули вверх с постоянной силой $\\vec{F}$ из состояния покоя. Через время $t = 2 \\space \\text{с}$ груз оказался на высоте $H = 2 \\space \\text{м}.$ Какую работу совершила при этом сила натяжения веревки? Веревку считать нерастяжимой и невесомой, блок — невесомым. Трение в оси отсутствует.[[fill_choice_big-1115]][[image-2105]]","widgets":{"fill_choice_big-1115":{"type":"fill_choice_big","options":["$ 8.8$","$ 8.2$","$ 9.1$","$ 8.1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2105":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/ur.10-12zad.svg","width":"250"}},"hints":["Обоснование:<br />$1)$ Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.<br />$2)$ Поскольку нить невесома и нерастяжима, а блок идеальный (невесом, трение в оси отсутствует), то модуль силы натяжения нити одинаков вдоль всей ее длины.<br />$3)$ Груз можно считать материальной точкой, его поступательное движение в $ИСО$ описывается с помощью законов Ньютона.<br />$4)$ Постоянная внешняя сила $\\vec{F}$ приложена к концу нити. В силу невесомости нити и блока сила натяжения, действующая на груз, равна по модулю $\\vec{F}.$<br /><br />Решение:<br /><br />$1)$ Переведем массу груза в килограммы: $$m = 400 \\space \\text{г} = 0.4 \\space \\text{кг}$$<br />$2)$ На груз действуют сила натяжения веревки $T$ (направлена вверх) и сила тяжести $m g$ (вниз). Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось $Oy,$ направленную вверх: $$T- m g = m a \\quad (1)$$ где $a$ — ускорение груза.<br /><br />$3)$ Найдем ускорение $a$ из кинематических условий. Груз начал движение из состояния покоя $(v_0 = 0)$ и за время $t = 2 \\space \\text{с}$ переместился на высоту $H = 2 \\space \\text{м}{:}$ $$H = \\dfrac{a t^2}{2}$$ $$a = \\dfrac{2 H}{t^2} = \\dfrac{2 \\cdot 2}{2^2} = \\dfrac{4}{4} = 1 \\space \\text{м/с}^2 \\quad (2)$$<br />$4)$ Подставим $a$ из $(2)$ в уравнение $(1)$ и выразим силу натяжения $T{:}$ $$T = m (g + a) = 0.4 \\cdot (10 + 1) = 0.4 \\cdot 11 = 4.4 \\space \\text{Н}$$<br />$5)$ Сила натяжения $T$ постоянна и направлена вертикально вверх, перемещение груза $H$ также направлено вертикально вверх. Угол между силой и перемещением равен $0^\\circ,$ поэтому $\\cos 0^\\circ = 1.$<br /><br />$6)$ Работа силы натяжения $A_T$ вычисляется по формуле: $$A_T = T \\cdot H \\cdot \\cos 0^\\circ = T \\cdot H$$<br />$7)$ Подставляем значения $T = 4.4 \\space \\text{Н}$ и $H = 2 \\space \\text{м}{:}$ $$A_T = 4.4 \\cdot 2 = 8.8 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $A_T = 8.8 \\space \\text{Дж}$ — работа, совершенная силой натяжения веревки."]},{"content":"Шайба массой $m = 200 \\space \\text{г}$ начинает соскальзывать по поверхности желоба из точки $A,$ расположенной на высоте $H = 5 \\space \\text{м}.$ В точке B шайба вылетает из желоба под углом $\\alpha = 15^\\circ$ и падает в точке $D.$ Найдите величину изменения механической энергии в процессе движения шайбы по желобу, если $BD = 3 \\space \\text{м}.$ Сопротивлением воздуха пренебречь.<br />[[fill_choice_big-1389]][[image-2201]]","widgets":{"fill_choice_big-1389":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2201":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/ur.10-13zad.svg","width":"450"}},"hints":["Обоснование:<br />$1)$ Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.<br />$2)$ Шайбу можно считать материальной точкой, так как ее размеры много меньше размеров установки.<br />$3)$ После отрыва от желоба на шайбу действует только сила тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Сила тяжести постоянна и направлена вертикально вниз, сообщая ускорение свободного падения $g.$<br />$4)$ В горизонтальном направлении после отрыва сила не действует, поэтому горизонтальная составляющая скорости сохраняется, и движение по горизонтали равномерное. По вертикали движение равноускоренное с ускорением $g.$<br />$5)$ При движении по желобу на шайбу действуют сила тяжести и сила реакции опоры. Работа силы реакции опоры равна нулю, так как она перпендикулярна перемещению (желоб гладкий). Поэтому механическая энергия шайбы при движении по желобу сохраняется, если пренебречь трением. Однако в условии под изменением механической энергии подразумевается разность между начальной энергией в точке $A$ и кинетической энергией в точке $B,$ которая может отличаться из-за работы потенциально неконсервативных сил $($в данном случае трение в желобе не указано, поэтому изменение энергии может быть связано с неидеальностью, но формально записываем закон сохранения энергии с членом $\\Delta E).$<br /><br />Решение:<br /><br />$1)$ Переведем массу шайбы в килограммы: $$m = 200 \\space \\text{г} = 0.2 \\space \\text{кг}$$<br />$2)$ Закон сохранения энергии для движения от точки $A$ до точки $B$ $($с учетом возможных потерь $\\Delta E){:}$ $$E_A = E_B + \\Delta E$$ где $E_A = m g H$ — потенциальная энергия в точке $A$ $($принимаем нулевой уровень потенциальной энергии на уровне точки $D),$ $E_B = \\dfrac{m v_B^2}{2}$ — кинетическая энергия в точке B, $\\Delta E$ — изменение механической энергии (потери). $$m g H = \\dfrac{m v_B^2}{2} + \\Delta E \\quad (1)$$<br />$3)$ Рассмотрим движение шайбы после вылета из точки $B$ как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Выберем систему координат: ось $Ox$ горизонтально в направлении от $B$ к $D,$ ось $Oy$ вертикально вверх. Начало координат — точка $B.$<br /><br />$4)$ Время полета $t$ определяется из уравнения движения по вертикали: $$0 = v_B \\sin \\alpha \\cdot t- \\dfrac{g t^2}{2}$$ $$t = \\dfrac{2 v_B \\sin \\alpha}{g} \\quad (2)$$<br />$5)$ Горизонтальное перемещение $BD{:}$ $$BD = v_B \\cos \\alpha \\cdot t$$<br />Подставим $t$ из $(2){:}$ $$BD = v_B \\cos \\alpha \\cdot \\dfrac{2 v_B \\sin \\alpha}{g} = \\dfrac{2 v_B^2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha}{g}$$<br />$6)$ Воспользуемся тригонометрической формулой: $2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\sin 2\\alpha{:}$ $$BD = \\dfrac{v_B^2 \\sin 2\\alpha}{g}$$<br />$7)$ Выразим $v_B^2{:}$ $$v_B^2 = \\dfrac{g \\cdot BD}{\\sin 2\\alpha} \\quad (3)$$<br />$8)$ Подставим $(3)$ в $(1){:}$ $$\\Delta E = m g H- \\dfrac{m}{2} \\cdot \\dfrac{g \\cdot BD}{\\sin 2\\alpha} = m g \\left( H- \\dfrac{BD}{2 \\sin 2\\alpha} \\right)$$<br />$9)$ Вычислим $\\sin 2\\alpha = \\sin 30^\\circ = 0.5,$ так как $\\alpha = 15^\\circ,$ $2\\alpha = 30^\\circ.$<br /><br />$10)$ Подставим числовые значения: $m = 0.2 \\space \\text{кг},$ $g = 10 \\space \\text{м/с}^2,$ $H = 5 \\space \\text{м},$ $BD = 3 \\space \\text{м},$ $\\sin 2\\alpha = 0.5{:}$<br />$$\\Delta E = 0.2 \\cdot 10 \\cdot \\left( 5- \\dfrac{3}{2 \\cdot 0.5} \\right) = 2 \\cdot \\left( 5- \\dfrac{3}{1} \\right) = 2 \\cdot (5- 3) = 2 \\cdot 2 = 4 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $\\Delta E = 4 \\space \\text{Дж}$ — величина изменения механической энергии шайбы при движении по желобу."]},{"content":"Пружинное ружье наклонено под углом $\\alpha = 45^\\circ$ к горизонту. Из ружья производят выстрел шарика массой $m = 100 \\space \\text{г},$ он проходит расстояние $b = 0.5 \\space \\text{м},$ вылетая из дула ружья, пролетает расстояние $L = 1 \\space \\text{м}$ от дула ружья и падает в точку $M,$ находящуюся на одном уровне с дулом ружья. Найдите энергию сжатия пружины.  <br />Трением о стенки дула пренебречь.[[fill_choice_big-1620]][[image-1771]]","widgets":{"fill_choice_big-1620":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.85$","$0.65$","$1$","$1.15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1771":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/ur.10-14zad.svg","width":"450"}},"hints":["Обоснование:<br />$1)$ Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.<br />$2)$ Шарик можно считать материальной точкой, так как его размеры много меньше размеров установки.<br />$3)$ После вылета из дула на шарик действует только сила тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Сила тяжести постоянна и направлена вертикально вниз, сообщая ускорение свободного падения $g.$<br />$4)$ В горизонтальном направлении после вылета сила не действует, поэтому горизонтальная составляющая скорости сохраняется, и движение по горизонтали равномерное. По вертикали движение равноускоренное с ускорением $g.$<br />$5)$ При движении внутри дула на шарик действуют сила упругости пружины, сила тяжести и сила реакции стенок. Работа силы реакции стенок равна нулю, так как она перпендикулярна перемещению (трением пренебрегаем). Поэтому полная механическая энергия шарика (сумма потенциальной энергии пружины, потенциальной энергии в поле тяжести и кинетической энергии) сохраняется.<br /><br />Решение:<br /><br />$1)$ Переведем массу шарика в килограммы: $$m = 100 \\space \\text{г} = 0.1 \\space \\text{кг}$$<br /><br />$2)$ Закон сохранения механической энергии для процесса разжатия пружины внутри дула (от полностью сжатого состояния до момента вылета из дула): $$E_{\\text{пружины}} = E_k + E_{p1}$$ где $E_{\\text{пружины}}$ — искомая энергия сжатия пружины, $E_k = \\dfrac{m v^2}{2}$ — кинетическая энергия шарика в момент вылета из дула, $E_{p1} = m g h_1$ — приращение потенциальной энергии шарика в поле тяжести при подъеме внутри наклонного дула.<br /><br />$3)$ Высота подъема внутри дула длиной $b$ под углом $\\alpha{:}$ $$h_1 = b \\sin \\alpha$$ Таким образом: $$E_{\\text{пружины}} = \\dfrac{m v^2}{2} + m g b \\sin \\alpha \\quad (1)$$<br /><br />$4)$ Рассмотрим движение шарика после вылета из дула. Выберем систему координат: начало координат в точке вылета (дуло), ось $Ox$ горизонтально в направлении полета, ось $Oy$ вертикально вверх. Шарик падает в точку $M$ на том же уровне $(y=0)$, находящуюся на расстоянии $L$ по горизонтали.<br /><br />$5)$ Уравнения движения тела, брошенного под углом $\\alpha$ к горизонту:<br />$$\\begin{cases} x(t) = v \\cos \\alpha \\cdot t \\\\ y(t) = v \\sin \\alpha \\cdot t- \\dfrac{g t^2}{2} \\end{cases}$$<br /><br />$6)$ В момент падения в точку $M{:}$ $x = L,$ $y = 0.$ Получаем систему:<br />$$\\begin{cases}L = v \\cos \\alpha \\cdot t \\\\ 0 = v \\sin \\alpha \\cdot t- \\dfrac{g t^2}{2} \\end{cases}$$<br />$7)$ Из второго уравнения находим время полета $t$ (отличное от нуля): $$t = \\dfrac{2 v \\sin \\alpha}{g}$$<br />$8)$ Подставляем $t$ в первое уравнение: $$L = v \\cos \\alpha \\cdot \\dfrac{2 v \\sin \\alpha}{g} = \\dfrac{2 v^2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha}{g}$$<br />$9)$ Используем тригонометрическую формулу: $2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha = \\sin 2\\alpha{:}$ $$L = \\dfrac{v^2 \\sin 2\\alpha}{g}$$<br />$10)$ Выражаем $v^2{:}$ $$v^2 = \\dfrac{g L}{\\sin 2\\alpha} \\quad (2)$$<br />$11)$ Подставляем $(2)$ в $(1){:}$ $$E_{\\text{пружины}} = \\dfrac{m}{2} \\cdot \\dfrac{g L}{\\sin 2\\alpha} + m g b \\sin \\alpha = m g \\left( \\dfrac{L}{2 \\sin 2\\alpha} + b \\sin \\alpha \\right)$$<br />$12)$ Подставляем числовые значения: $m = 0.1 \\space \\text{кг},$ $g = 10 \\space \\text{м/с}^2,$ $L = 1 \\space \\text{м},$ $b = 0.5 \\space \\text{м},$ $\\alpha = 45^\\circ$ $(\\sin 45^\\circ = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0.7071,$ $\\sin 2\\alpha = \\sin 90^\\circ = 1).$<br /><br />$$E_{\\text{пружины}} = 0.1 \\cdot 10 \\cdot \\left( \\dfrac{1}{2 \\cdot 1} + 0.5 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\right) = 1 \\cdot \\left( 0.5 + 0.5 \\cdot 0.7071 \\right)$$<br />$$E_{\\text{пружины}} = 0.5 + 0.35355 = 0.85355 \\space \\text{Дж} \\approx 0.85 \\space \\text{Дж}$$<br />Ответ: $E_{\\text{пружины}} \\approx 0.85 \\space \\text{Дж}$ — энергия сжатия пружины."]}]}