Практика к уроку «Импульс тела»: задания с чертежами

$1)$ Так как сумма внешних сил в горизонтальном направлении в момент выстрела равна нулю, выполняется закон сохранения импульса для системы «пушка–ядро» в проекции на горизонтальную ось.

$2)$ До выстрела система покоилась, поэтому начальный импульс системы равен нулю:
$$\vec{p}_0 = 0$$

$3)$ После выстрела ядро приобретает импульс $\vec{p}_2 = m \vec{v}_0,$ направленный под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту. Пушка приобретает импульс $\vec{p}_1 = M \vec{v},$ направленный в противоположную сторону (откат).

$4)$ Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $Ox{:}$
$$0 = p_{1x} + p_{2x}$$

$5)$ Проекция импульса пушки: $p_{1x} = -Mv$ (знак минус, так как откат направлен противоположно положительному направлению оси).
Проекция импульса ядра: $p_{2x} = mv_0 \cos \alpha.$

$6)$ Подставляем в закон сохранения:
$$0 = -Mv + mv_0 \cos \alpha$$

$7)$ Выражаем скорость отката пушки $v{:}$
$$Mv = mv_0 \cos \alpha$$
$$v = \dfrac{mv_0 \cos \alpha}{M}$$

$8)$ Подставляем числовые значения $m = 10 \space \text{кг},$ $v_0 = 200 \space \text{м/с},$ $\cos 60^\circ = 0.5,$ $M = 1\space600 \space \text{кг}{:}$
$$v = \dfrac{10 \cdot 200 \cdot 0.5}{1\space600} = \dfrac{1\space000}{1\space600} = 0.625$$

Ответ: $0.625 \space \text{м/с}$ — скорость отката пушки.

$1)$ Запишем закон сохранения импульса для системы «тележка + мальчик» в проекции на горизонтальную ось $x,$ направленную по движению тележки. Внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют (дорога гладкая).

$2)$ До взаимодействия:
Импульс тележки: $m_1 v_1,$ где $m_1 = 30 \space \text{кг},$ $v_1 = 2 \space \text{м/с}.$
Импульс мальчика: $m_2 v_2,$ где $m_2 = 50 \space \text{кг},$ $v_2$ — искомая скорость мальчика.

$3)$ После неупругого столкновения (мальчик запрыгивает на тележку) система движется как единое целое со скоростью $v = 3 \space \text{м/с}$ и общей массой $(m_1 + m_2).$

$4)$ Закон сохранения импульса в проекции на ось $x{:}$
$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$$

$5)$ Выражаем из этого уравнения скорость мальчика $v_2{:}$
$$m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v- m_1 v_1$$
$$v_2 = \dfrac{(m_1 + m_2) v- m_1 v_1}{m_2}$$

$6)$ Подставляем числовые значения:
$$v_2 = \dfrac{(30 + 50) \cdot 3- 30 \cdot 2}{50} =\dfrac{240- 60}{50} = \dfrac{180}{50} = 3.6$$

Ответ: $3.6 \space \text{м/с}$ — скорость, с которой должен бежать мальчик.

$1)$ При разрыве гранаты суммарный импульс системы сохраняется. Выберем систему координат: ось $x$ направим вдоль начальной скорости гранаты, ось $y$ — перпендикулярно ей.

$2)$ По условию первый осколок летит перпендикулярно начальному направлению, то есть вдоль оси $y.$ Второй осколок летит под углом $\alpha = 60^\circ$ к оси $x.$

$3)$ Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось $y.$ До разрыва граната двигалась вдоль оси $x,$ поэтому проекция ее импульса на ось $y$ равна нулю:
$$0 = p_{1y} + p_{2y}$$

$4)$ Проекция импульса первого осколка на ось $y{:}$ $p_{1y} = m_1 v_1$ (знак считаем положительным).
Проекция импульса второго осколка на ось $y{:}$ $p_{2y} =- m_2 v_2 \sin \alpha$ (знак отрицательный, так как направление противоположно первому осколку, исходя из условия сохранения нулевого суммарного импульса по оси $y$).

$5)$ Подставляем в закон сохранения импульса:
$$0 = m_1 v_1- m_2 v_2 \sin \alpha$$

$6)$ Отсюда получаем:
$$m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin \alpha$$

$7)$ Выражаем искомое отношение масс:
$$\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{v_2 \sin \alpha}{v_1}$$

$8)$ Подставляем числовые значения: $v_1 = 20 \space \text{м/с},$ $v_2 = 40 \space \text{м/с},$ $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}{:}$
$$\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{40 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{20} = \dfrac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3} \approx 1.732$$

Ответ: отношение массы первого осколка к массе второго осколка равно $\sqrt{3} \approx 1.7.$