Практика к уроку «Динамика»

{"questions":[{"content":"В инерциальной системе отсчета сила $F$ сообщает телу массой $m$ ускорение, равное по модулю $4 \\space \\text{м/с}^2.$ Во сколько раз масса второго тела меньше массы первого, если под действием силы $2F$ в этой же системе отсчета ускорение второго тела равно $a_2 = 16 \\space \\text{м/с}^2?$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$2.5$","$1$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Согласно второму закону Ньютона, в инерциальной системе отсчета:$$F = m_1 a_1$$<br />Для первого тела:$$F = m_1 \\cdot 4$$ $2)$ Для второго тела:$$2F = m_2 a_2 = m_2 \\cdot 16$$ $3)$ Подставляем выражение для $F$ из первого уравнения во второе:$$2(m_1 \\cdot 4) = m_2 \\cdot 16$$ $$8 m_1 = 16 m_2$$ $4)$ Находим отношение масс:$$\\dfrac{m_1}{m_2} = \\dfrac{16}{8} = 2$$ $5)$ Таким образом, масса второго тела в $2$ раза меньше массы первого.<br /><br />Ответ: масса второго тела в $2$ раза меньше массы первого тела."]},{"content":"Кубик толкает брусок массой $m = 15 \\space \\text{кг}$ с силой $F = 12 \\space \\text{Н}$ в направлении движения. Какое ускорение у бруска в инерциальной системе отсчета, связанной с полом? $($Ответ дайте в $\\text{м/с}^2)$[[fill_choice_big-107]]","widgets":{"fill_choice_big-107":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.8$","$1.2$","$1.5$","$0.6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Согласно второму закону Ньютона в инерциальной системе отсчета:$$F = m \\cdot a$$$2)$ Выражаем ускорение:$$a = \\dfrac{F}{m}$$<br />$3)$ Подставляем числовые значения:$$a = \\dfrac{12}{15} = 0.8 \\space \\text{м/с}^2$$Ответ: ускорение бруска равно $0.8 \\space \\text{м/с}^2.$"]},{"content":"Мальчик медленно поднимает гирю, действуя на нее с силой $100 \\space \\text{Н}.$ С какой силой гиря $($в $\\text{Н}$ $)$ действует на руку мальчика?[[fill_choice_big-124]]","widgets":{"fill_choice_big-124":{"type":"fill_choice_big","options":["$100$","$10$","$50$","$110$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.<br /><br />$2)$ Если мальчик действует на гирю с силой $100 \\space \\text{Н},$ то гиря действует на руку мальчика с такой же по модулю силой.<br /><br />$3)$ Таким образом, сила, с которой гиря действует на руку мальчика, равна $100 \\space \\text{Н}.$<br /><br />Ответ: гиря действует на руку мальчика с силой $100 \\space \\text{Н}.$"]},{"content":"Мяч массой $m = 300 \\space \\text{г}$ брошен с поверхности земли под углом $60^\\circ$ к горизонту с начальной скоростью $v = 10 \\space \\text{м/с}.$ Определите модуль силы тяжести, действующей на мяч спустя $4$ секунды его полета. Ускорение свободного падения принять $g = 10 \\space \\text{м/с}^2.$ Ответ дайте в $Н.$[[fill_choice_big-154]]","widgets":{"fill_choice_big-154":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$3$","$1$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Сила тяжести, действующая на тело, не зависит от его скорости или времени движения и определяется формулой: $$F_{\\text{тяж}} = m g$$<br />$2)$ Переводим массу в килограммы:$$m = 300 \\space \\text{г} = 0.3 \\space \\text{кг}$$<br />$3)$ Подставляем значения:$$F_{\\text{тяж}} = 0.3 \\cdot 10 = 3 \\space \\text{Н}$$<br />Ответ: модуль силы тяжести, действующей на мяч, равен $3 \\space \\text{Н}.$"]},{"content":"Сила гравитационного притяжения между двумя шарами равна $F.$ Во сколько раз увеличится сила притяжения между шарами, если один из них заменить на шар в три раза тяжелее, оставив расстояние между шарами неизменным?[[fill_choice_big-191]]","widgets":{"fill_choice_big-191":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По закону всемирного тяготения Ньютона:$$F = G \\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$$ где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы шаров, $r$ — расстояние между ними.<br /><br />$2)$ В начальном состоянии:$$F_1 = G \\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$$<br />$3)$ После замены одного шара на шар в три раза тяжелее $($пусть $m_1' = 3m_1){:}$ $$F_2 = G \\dfrac{m_1' m_2}{r^2} = G \\dfrac{3m_1 m_2}{r^2}$$<br />$4)$ Находим отношение сил: $$\\dfrac{F_2}{F_1} = \\dfrac{G \\dfrac{3m_1 m_2}{r^2}}{G \\dfrac{m_1 m_2}{r^2}} = 3$$<br />Ответ: сила притяжения увеличится в $3$ раза."]},{"content":"Две звезды одинаковой массы притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю $F.$ Во сколько раз уменьшится модуль силы притяжения между звездами, если расстояние между их центрами увеличить в $1.5$ раза, а массу каждой звезды уменьшить в $4$ раза?[[fill_choice_big-243]]","widgets":{"fill_choice_big-243":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$12$","$8$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По закону всемирного тяготения Ньютона: $$F = G \\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$$ где $G$ — гравитационная постоянная, $m_1 = m_2 = m$ — массы звезд, $r$ — расстояние между их центрами.<br /><br />$2)$ Исходная сила:$$F_1 = G \\dfrac{m \\cdot m}{r^2} = G \\dfrac{m^2}{r^2}$$<br />$3)$ После изменений: $$m' = \\dfrac{m}{4}, \\quad r' = 1.5r$$ $$F_2 = G \\dfrac{m' \\cdot m'}{(r')^2} = G \\dfrac{\\left(\\dfrac{m}{4}\\right) \\cdot \\left(\\dfrac{m}{4}\\right)}{(1.5r)^2}$$ $$F_2  = G \\dfrac{\\dfrac{m^2}{16}}{2.25 r^2} = G \\dfrac{m^2}{16 \\cdot 2.25 r^2} = G \\dfrac{m^2}{36 r^2}$$<br />$4)$ Находим отношение сил: $$\\dfrac{F_2}{F_1} = \\dfrac{G \\dfrac{m^2}{36 r^2}}{G \\dfrac{m^2}{r^2}} = \\dfrac{1}{36}$$<br />Ответ: модуль силы притяжения уменьшится в $36$ раз."]},{"content":"На сколько сантиметров растянется пружина, жесткость которой $k = 2 \\cdot 10^4 \\space \\text{Н/м},$ под действием силы $F = 2\\space000 \\space \\text{Н}?$ Пружину считать идеальной. Ответ дайте в сантиметрах. [[fill_choice_big-306]]","widgets":{"fill_choice_big-306":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$20$","$100$","$200$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По закону Гука для упругой деформации: $$F = k \\Delta x$$ где $F$ — приложенная сила, $k$ — жесткость пружины, $\\Delta x$ — удлинение пружины.<br /><br />$2)$ Выражаем удлинение: $$\\Delta x = \\dfrac{F}{k}$$<br /><br />$3)$ Подставляем числовые значения: $$\\Delta x = \\dfrac{2\\space000}{2 \\cdot 10^4} = \\dfrac{2\\space000}{20\\space000} = 0.1 \\space \\text{м}$$<br />$4)$ Переводим метры в сантиметры: $$\\Delta x = 0.1 \\space \\text{м} = 10 \\space \\text{см}$$<br />Ответ: пружина растянется на $10 \\space см.$"]},{"content":"Пружина жесткостью $k = 2 \\cdot 10^4 \\space \\text{Н/м}$ одним концом закреплена в штативе. На какую величину она растянется под действием силы $400 \\space \\text{Н}?$ Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-387]]","widgets":{"fill_choice_big-387":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$4$","$20$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ По закону Гука для упругой деформации:$$F = k \\Delta x$$ где $F$ — приложенная сила, $k$ — жесткость пружины, $\\Delta x$ — удлинение пружины.<br /><br />$2)$ Выражаем удлинение:$$\\Delta x = \\dfrac{F}{k}$$<br />$3)$ Подставляем числовые значения:$$\\Delta x = \\dfrac{400}{2 \\cdot 10^4} = \\dfrac{400}{20\\space000} = 0.02 \\space \\text{м}$$<br />$4)$ Переводим метры в сантиметры:$$\\Delta x = 0.02 \\space \\text{м} = 2 \\space \\text{см}$$<br />Ответ: пружина растянется на $2 \\space \\text{см}.$"]},{"content":"К системе из кубика массой $M = 1 \\space \\text{кг}$ и двух пружин приложена постоянная горизонтальная сила $F$ величиной $9 \\space \\text{Н}$ (см. рисунок). Между кубиком и опорой трения нет. Система покоится. Жесткость первой пружины $k_1 = 300 \\space \\text{Н/м}.$ Жесткость второй пружины $k_2 = 600 \\space \\text{Н/м}.$ Каково удлинение первой пружины? (Ответ дайте в сантиметрах).[[fill_choice_big-472]][[image-2370]]","widgets":{"fill_choice_big-472":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$1.3$","$0.3$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2370":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/12/ur5-12.svg","width":"400"}},"hints":["$1)$ Поскольку система покоится, сила $F$ уравновешивается суммарной упругой силой двух пружин, соединенных последовательно.<br /><br />$2)$ При последовательном соединении пружин:<br /><br />Удлинения складываются: $\\Delta x = \\Delta x_1 + \\Delta x_2.$<br /><br />Сила упругости в каждой пружине одинакова: $F = k_1 \\Delta x_1 = k_2 \\Delta x_2.$<br /><br />$3)$ Выражаем удлинение второй пружины через удлинение первой: $$\\Delta x_2 = \\dfrac{k_1 \\Delta x_1}{k_2}$$<br /><br />$4)$ Условие равновесия для системы: $$F = k_1 \\Delta x_1$$ Так как сила $F$ приложена к системе и полностью передается на пружины, то сила упругости первой пружины равна $F.$<br /><br />$5)$ Находим удлинение первой пружины: $$\\Delta x_1 = \\dfrac{F}{k_1} = \\dfrac{9}{300} = 0.03 \\space \\text{м}$$<br /><br />$6)$ Переводим в сантиметры: $$\\Delta x_1 = 0.03 \\space \\text{м} = 3 \\space \\text{см}$$<br /><br />Ответ: удлинение первой пружины равно $3 \\space \\text{см}.$"]},{"content":"Кубик массой $1 \\space \\text{кг}$ покоится на гладком горизонтальном столе, сжатый с боков пружинами (см. рисунок). Левая пружина жесткостью $k_1 = 400 \\space \\text{Н/м}$ сжата на $4 \\space \\text{см}.$ С какой силой правая пружина действует на кубик? Ответ дайте в $Н.$[[fill_choice_big-568]][[image-2476]]","widgets":{"fill_choice_big-568":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$32$","$8$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2476":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/12/ur5-13.svg","width":"400"}},"hints":["$1)$ Так как кубик покоится, равнодействующая сил, действующих на него, равна нулю.<br /><br />$2)$ Сила, с которой левая пружина действует на кубик:$$F_1 = k_1 \\Delta x_1 = 400 \\cdot 0.04 = 16 \\space \\text{Н}$$<br />$3)$ Сила $F_1$ направлена вправо. Чтобы кубик покоился, правая пружина должна действовать на него с такой же по модулю силой, но направленной влево.<br /><br />$4)$ Следовательно, сила, с которой правая пружина действует на кубик:$$F_2 = 16 \\space \\text{Н}$$<br /><br />Ответ: правая пружина действует на кубик с силой $16 \\space \\text{Н}.$"]},{"content":"Четыре одинаковых кирпича массой $m = 3 \\space \\text{кг}$ каждый сложены в стопку (см. рисунок). Сверху положили еще один такой же кирпич. Насколько при этом увеличится модуль силы $\\vec{N},$ действующей со стороны первого кирпича на второй? Ответ дайте в ньютонах.[[fill_choice_big-675]][[image-2903]]","widgets":{"fill_choice_big-675":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$32$","$10$","$40$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2903":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/12/ur5-14.svg","width":"250"}},"hints":["$1)$ Вес тела — сила, с которой тело действует на опору или подвес. Исходя из третьего закона Ньютона, сила реакции опоры прямо пропорциональна весу.<br /><br />$2)$ До добавления кирпича сила реакции (сила, с которой первый кирпич действует на второй) равна весу трех верхних кирпичей:$$N_1 = 3mg$$<br /><br />$3)$ После добавления еще одного кирпича сверху вес четырех верхних кирпичей: $$N_2 = 4mg$$<br /><br />$4)$ Увеличение модуля силы: $$\\Delta N = N_2- N_1 = 4mg- 3mg = mg$$<br /><br />$5)$ Подставляем числовые значения ($g \\approx 10 \\space \\text{м/с}^2{:})$ $$\\Delta N = 3 \\cdot 10 = 30 \\space \\text{Н}$$<br /><br />Ответ: модуль силы увеличится на $30 \\space \\text{Н}.$"]},{"content":"Тело движется по горизонтальной плоскости. Нормальная составляющая силы воздействия тела на плоскость равна $40 \\space \\text{Н},$ сила трения равна $10 \\space \\text{Н}.$ Определите коэффициент трения скольжения.[[fill_choice_big-793]]","widgets":{"fill_choice_big-793":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.5$","$1$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции формулой: $$F_{\\text{тр}} = \\mu N$$ где $\\mu$ — коэффициент трения скольжения, $N$ — сила нормальной реакции опоры.<br /><br />$2)$ По третьему закону Ньютона сила нормальной реакции опоры $N$ равна по модулю нормальной составляющей силы воздействия тела на плоскость: $$N = 40 \\space \\text{Н}$$<br /><br />$3)$ Сила трения по условию: $$F_{\\text{тр}} = 10 \\space \\text{Н}$$<br /><br />$4)$ Выражаем коэффициент трения: $$\\mu = \\dfrac{F_{\\text{тр}}}{N} = \\dfrac{10}{40} = 0.25$$<br /><br />Ответ: коэффициент трения скольжения равен $0.25.$"]},{"content":"По горизонтальному полу по прямой равномерно тянут ящик, приложив к нему горизонтальную силу $35 \\space \\text{Н}.$ Коэффициент трения скольжения между полом и ящиком равен $0.25.$ Чему равна масса $($в $кг)$ ящика?[[fill_choice_big-922]]","widgets":{"fill_choice_big-922":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$16$","$12$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$1)$ Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что движение равномерное (ускорение равно нулю): $$F- F_{\\text{тр}} = 0 \\Rightarrow F = F_{\\text{тр}}$$<br />$2)$ Сила трения скольжения: $$F_{\\text{тр}} = \\mu N$$ где $\\mu = 0.25$ — коэффициент трения, $N$ — сила нормальной реакции опоры.<br /><br />$3)$ В вертикальном направлении: $$N = mg$$<br />$4)$ Подставляем: $$F = \\mu mg$$<br />$5)$ Выражаем массу: $$m = \\dfrac{F}{\\mu g} = \\dfrac{35}{0.25 \\cdot 10} = \\dfrac{35}{2.5} = 14 \\space \\text{кг}$$<br /><br />Ответ: масса ящика равна $14 \\space \\text{кг}.$"]},{"content":"В лабораторных опытах по изучению закона Гука две пружины с различной жесткостью прикрепили к штативу, поочередно подвешивали к ним грузы разной массы и измеряли линейкой удлинение пружин. Результаты опытов с учетом погрешностей представлены в таблице.<br /><br />Выберите все утверждения, соответствующие результатам этих опытов.[[grouper-1062]][[image-2565]]","widgets":{"grouper-1062":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$2)$ Жесткость пружины $№1$ в $2$ раза меньше, чем у пружины $№2.$","$5)$ Если к пружине $№2$ подвесить груз $500 \\space г,$ то ее удлинение составит $5.0±0.1$ $см.$<br />"],["$1)$ Закон Гука выполняется только для пружины $№1.$","$3)$ Жесткость пружины $№1$ равна $500 \\space Н/м.$","$4)$ Жесткость пружины $№2$ равна $10 \\space Н/м.$"]]},"image-2565":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/12/ur5-21.svg","width":"500"}},"hints":["$1)$ Для пружины справедлива следующая запись:<br />$$F_{\\text{упр}} = k \\Delta x = mg$$<br />Из таблицы для $1$-ой и $2$-ой пружины видно, что с увеличением массы удлинение пружины увеличивается пропорционально (во столько же раз), следовательно закон Гука справедлив для двух пружин.<br /><br />Утверждение $1$ — Неверно.<br /><br />$2)$ Закон Гука: $$F_{\\text{упр}} = k \\Delta x = mg$$ $$k = \\dfrac{mg}{\\Delta x}$$<br /><br />Для первой пружины $($опыт $1{:})$ $$k_1 = \\dfrac{0.1 \\space \\text{кг} \\cdot 10 \\space \\text{Н/кг}}{0.019 \\space \\text{м}} = 50 \\space \\text{Н/м}$$<br /><br />Для второй пружины $($опыт $4{:})$ $$k_2 = \\dfrac{0.2 \\space \\text{кг} \\cdot 10 \\space \\text{Н/кг}}{0.019 \\space \\text{м}} = 100 \\space \\text{Н/м}$$<br /><br />$k_1 < k_2,$ причем $k_2 / k_1 = 2.$<br /><br />Утверждение $2$ — Верно.<br /><br />$3)$ $k_1 = 50 \\space \\text{Н/м},$ а не $500 \\space \\text{Н/м}.$<br /><br />Утверждение $3$ — Неверно.<br /><br />$4)$ $k_2 = 100 \\space \\text{Н/м},$ а не $10 \\space \\text{Н/м}.$<br /><br />Утверждение $4$ — Неверно.<br /><br />$5)$ При жесткости второй пружины $k_2 = 100 \\space \\text{Н/м}$ и грузе $m = 0.5 \\space \\text{кг}$ удлинение составит: $$\\Delta l = \\dfrac{mg}{k_2} = \\dfrac{0.5 \\cdot 10}{100} = 0.05 \\space \\text{м} = 5.0 \\space \\text{см}$$ С учетом погрешности $\\pm 0.1 \\space \\text{см}$ утверждение соответствует результатам опытов.<br /><br />Утверждение $5$ — Верно.<br /><br />Ответ: верными являются утверждения $2$ и $5.$"]},{"content":"Мальчик поднимает вверх гирю массой $10 \\space \\text{кг},$ действуя на нее постоянной силой $120 \\space \\text{Н},$ направленной вертикально вверх. Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения.[[grouper-1221]]","widgets":{"grouper-1221":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["$1)$ Равнодействующая сил, действующих на гирю, равна $20\\space Н$ и направлена вертикально вверх.","$3)$ Гира действует на руку мальчика с силой $120\\space Н,$ направленной вертикально вниз."],["$2)$ Сила, с которой гиря действует на мальчика, равна $100\\space Н$ и направлена вертикально вниз.","$4)$ Если мальчик приложит к гире силу $102\\space Н,$ направленную вертикально вверх, он не сможет ее поднять.","$5)$ Ускорение гири равно $8 \\space м/с^2.$"]]}},"hints":["$1)$ На гирю действуют: сила тяжести $mg,$ направленная вниз, и сила мальчика $F,$ направленная вверх. Равнодействующая сил:<br />$$R = F- mg = 120- 10 \\cdot 10 = 20 \\space \\text{Н}$$<br />Направлена вверх.<br />Утверждение $1$ — Верно.<br /><br />$2)$ По третьему закону Ньютона сила, с которой гиря действует на мальчика, равна по модулю силе, с которой мальчик действует на гирю, и противоположна по направлению. Мальчик действует на гирю с силой $120 \\space \\text{Н}$ вверх, значит гиря действует на мальчика с силой $120 \\space \\text{Н}$ вниз, а не $100 \\space \\text{Н}.$<br />Утверждение $2$ — Неверно.<br /><br />$3)$ Как следует из третьего закона Ньютона, гиря действует на руку мальчика с силой $120 \\space \\text{Н},$ направленной вертикально вниз.<br />Утверждение $3$ — Верно.<br /><br />$4)$ Чтобы поднять гирю, нужно приложить силу больше силы тяжести $mg = 100 \\space \\text{Н}.$ Сила $102 \\space \\text{Н}$ больше $100 \\space \\text{Н},$ значит гирю можно поднять.<br />Утверждение $4$ — Неверно.<br /><br />$5)$ Ускорение гири находим по второму закону Ньютона:<br />$$a = \\dfrac{R}{m} = \\dfrac{20}{10} = 2 \\space \\text{м/с}^2$$<br />Утверждение $5$ — Неверно.<br /><br />Ответ: верными являются утверждения $1$ и $3.$"]},{"content":"В результате перехода искусственного спутника Земли с одной круговой орбиты на другую его центростремительное ускорение уменьшается. Как изменятся в результате этого перехода скорость движения спутника по орбите и период его обращения вокруг Земли?<br /><br />Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:[[grouper-1535]]","widgets":{"grouper-1535":{"type":"grouper","labels":["Уменьшается","Не изменяется","Увеличивается"],"items":[["Скорость движения спутника по орбите"],[],["Период обращения спутника вокруг Земли"]]}},"hints":["$1)$ Для спутника, движущегося по круговой орбите радиусом $R,$ центростремительное ускорение $a$ создается силой гравитационного притяжения к Земле. По второму закону Ньютона: $$G \\dfrac{M_{\\text{З}} m}{R^2} = m a$$ где $M_{\\text{З}}$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $G$ — гравитационная постоянная. <br />Масса спутника сокращается, и ускорение равно: $$a = \\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R^2}$$ Из этой формулы видно, что центростремительное ускорение обратно пропорционально квадрату радиуса орбиты: $a \\sim \\dfrac{1}{R^2}.$<br /><br />$2)$ По условию задачи центростремительное ускорение $a$ уменьшается. Из соотношения $a = \\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R^2}$ следует, что уменьшение $a$ возможно только при увеличении радиуса орбиты $R.$<br /><br />$3)$ Найдем, как зависит скорость спутника $v$ от радиуса орбиты. Из равенства силы тяготения и центростремительной силы: $$G \\dfrac{M_{\\text{З}} m}{R^2} = m \\dfrac{v^2}{R}$$ Сокращая массу $m$ и $R$ в знаменателе, получаем: $$v^2 = \\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}, \\quad \\text{или} \\quad v = \\sqrt{\\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}}$$ Скорость обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса: $v \\sim \\dfrac{1}{\\sqrt{R}}.$ Так как радиус $R$ увеличивается, то скорость $v$ уменьшается.<br /><br />$4)$ Период обращения $T$ — это время одного оборота. Он связан со скоростью и радиусом формулой: $$T = \\dfrac{2\\pi R}{v}.$$ Подставим сюда выражение для скорости $v = \\sqrt{\\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}}{:}$ $$T = \\dfrac{2\\pi R}{\\sqrt{\\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}}} = 2\\pi R \\cdot \\sqrt{\\dfrac{R}{G M_{\\text{З}}}} = 2\\pi \\sqrt{\\dfrac{R^3}{G M_{\\text{З}}}}$$ Период обращения пропорционален $R^{3/2}{:}$ $T \\sim R^{3/2}.$ Поскольку радиус $R$ увеличивается, период обращения $T$ также увеличивается.<br /><br />Ответ: скорость движения спутника по орбите уменьшается, период обращения спутника вокруг Земли увеличивается ."]},{"content":"Искусственный спутник Земли перешел с одной круговой орбиты на другую. На новой орбите центростремительное ускорение спутника больше, чем на прежней. Как изменились при этом период обращения спутника и его скорость движения по орбите вокруг Земли? [[grouper-1425]]","widgets":{"grouper-1425":{"type":"grouper","labels":["Уменьшается","Не изменяется","Увеличивается"],"items":[["Период обращения спутника вокруг Земли"],[],["Скорость движения спутника по орбите"]]}},"hints":["$1)$ Для спутника на круговой орбите радиусом $R$ центростремительное ускорение $a$ обеспечивается гравитационной силой притяжения к Земле. По второму закону Ньютона: $$G \\dfrac{M_{\\text{З}} m}{R^2} = m a,$$ где $M_{\\text{З}}$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $G$ — гравитационная постоянная. Масса спутника сокращается, и получаем: $$a = \\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R^2}$$<br /><br />Следовательно, центростремительное ускорение обратно пропорционально квадрату радиуса орбиты: $a \\sim \\dfrac{1}{R^2}.$<br /><br />$2)$ По условию центростремительное ускорение $a$ увеличилось. Из формулы $a = \\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R^2}$ следует, что увеличение $a$ возможно только при уменьшении радиуса орбиты $R.$<br /><br />$3)$ Найдем зависимость скорости спутника $v$ от радиуса орбиты. Из равенства силы тяготения и центростремительной силы: $$G \\dfrac{M_{\\text{З}} m}{R^2} = m \\dfrac{v^2}{R}.$$<br />Сокращаем $m$ и умножаем обе части на $R{:}$ $$v^2 = \\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}, \\quad \\text{или} \\quad v = \\sqrt{\\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}}$$<br /><br />Скорость обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса: $v \\sim \\dfrac{1}{\\sqrt{R}}.$ Так как радиус $R$ уменьшился, скорость $v$ увеличилась.<br /><br />$4)$ Период обращения $T$ связан со скоростью и радиусом: $$T = \\dfrac{2\\pi R}{v}.$$ Подставим выражение для скорости $v = \\sqrt{\\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}}{:}$ $$T = \\dfrac{2\\pi R}{\\sqrt{\\dfrac{G M_{\\text{З}}}{R}}} = 2\\pi \\sqrt{\\dfrac{R^3}{G M_{\\text{З}}}}$$ Период пропорционален $R^{3/2}{:}$ $T \\sim R^{3/2}.$ Поскольку радиус $R$ уменьшился, период обращения $T$ также уменьшился.<br /><br />Ответ: период обращения спутника вокруг Земли уменьшился, скорость движения спутника по орбите увеличилась ."]},{"content":"В школьном опыте брусок, лежащий на горизонтальном диске, вращается вместе с ним с некоторой угловой скоростью. В ходе опыта период вращения диска увеличили. При этом положение бруска на диске осталось прежним. Как изменились при этом следующие величины: угловая скорость диска, центростремительное ускорение бруска?<br /><br />Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: [[grouper-1687]]","widgets":{"grouper-1687":{"type":"grouper","labels":["Увеличится","Не изменится","Уменьшится"],"items":[["Угловая скорость диска"],[],["Центростремительное ускорение бруска"]]}},"hints":["$1)$ Угловая скорость $\\omega$ связана с периодом вращения $T$ формулой:<br />$$\\omega = \\dfrac{2\\pi}{T}$$ Из формулы видно, что угловая скорость обратно пропорциональна периоду: $\\omega \\sim \\dfrac{1}{T}.$<br />По условию период вращения $T$ увеличили. Следовательно, угловая скорость $\\omega$ уменьшится.<br /><br />$2)$ Центростремительное ускорение $a_c$ точки, находящейся на расстоянии $R$ от центра вращения, определяется формулой: $$a_c = \\omega^2 R$$ По условию положение бруска на диске не изменилось, значит, расстояние $R$ от центра диска осталось постоянным. Так как угловая скорость $\\omega$ уменьшилась, а $R$ постоянно, то величина $\\omega^2$ также уменьшится. Следовательно, центростремительное ускорение $a_c$ уменьшится.<br /><br />Ответ:<br />Угловая скорость диска увеличится , центростремительное ускорение бруска уменьшится."]},{"content":"Автомобиль движется вдоль оси $O_x$, при этом его координата изменяется с течением времени в соответствии с формулой $x(t) = 6-8t^2$ $($все величины выражены в $СИ)$. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.  <br />Подберите соответствующие позиции к каждому графику.[[grouper-1812]][[image-2681]]","widgets":{"grouper-1812":{"type":"grouper","labels":["График $А.$","График $Б$"],"items":[["$3)$ Проекция ускорения автомобиля $a_x.$<br />​<br />"],["$2)$ Проекция перемещения автомобиля $S_x$<br />​<br />"],["$1)$ Проекция скорости автомобиля $v_x$<br />​<br />","$4)$ Модуль равнодействующей $F$ сил, действующих на автомобиль"]]},"image-2681":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/12/ur5-28.svg","width":"500"}},"hints":["$1)$ Проекцию скорости $v_x$ можно найти как производную от $x{:}$ $$v_x = x' = (6- 8t^2)' = -16t$$ График будет выглядеть, как прямая идущая из нуля и постоянно убывающая $\\Rightarrow$ $(1)$ неподходит.<br /><br />$2)$ Проекция перемещения — это конечная координата минус начальная $$S_x = x- x_0; \\quad x_0 = 6 \\Rightarrow S_x = -8t^2$$<br /><br />График — одна из ветвей параболы, идущей из начала координат и направленных вниз $\\Rightarrow$ $Б — 2.$<br /><br />$3)$ Проекция ускорения — производная по времени от проекции скорости: $$a_x = v_x' = (-16t)' = -16.$$ график будет выглядеть, как прямая линия параллельная оси t и идущая ниже нуля $\\Rightarrow$ $А — 3.$<br /><br />$4)$ $F = ma = const, \\, m > 0, \\, a = |a_x| = 16 \\Rightarrow F > 0 \\Rightarrow$ не подходит."]},{"content":"Маленькая шайба массы $m,$ способная перемещаться вдоль гладкого стержня, находится на поверхности горизонтального диска, равномерно вращающегося с угловой скоростью $\\omega_1,$ на расстоянии $r$ от оси $O,$ с которой шайба соединена легкой недеформированной пружинкой жесткости $k$ (см. рисунок). Коэффициент трения между шайбой и диском $\\mu.$ Как только угловая скорость начинает медленно и плавно возрастать, шайба начинает смещаться. При угловой скорости $\\omega_2$ расстояние до оси стало $R,$ при этом диск стал вновь вращаться равномерно.<br /><br />Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.[[grouper-2040]][[image-2802]]","widgets":{"grouper-2040":{"type":"grouper","labels":["$Б)$ кинетическая энергия шайбы, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения.","$A)$ модуль ускорения шайбы, находящейся на расстоянии $R$ от оси вращения"],"items":[["$4)$ $\\dfrac{m(\\omega_1 r)^2}{2}$"],["$2)$ $\\dfrac{k(R — r)}{m} + \\mu g$"],["$1)$ $\\omega_2^2 R + \\mu g$","$3)$ $\\mu mg(R — r)$"]]},"image-2802":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/12/ur5-29.svg","width":"300"}},"hints":["$1)$ На шайбу действует сила трения и сила упругости пружины. Сила трения равна:<br />$$F_{тр} = \\mu N = \\mu mg$$ где $N$ – сила реакции опоры.<br /><br />Длина нерастянутой пружины равна $r,$ тогда сила упругости пружины равна:<br />$$F_y = k(R- r)$$<br />При этом и сила упругости и сила трения направлены в центр траектории, так как сила упругости пытается вернуть пружину в нерастянутое положение, а сила трения препятствует вылету шайбы с поверхности диска, следовательно, равнодействующая сила равна: $$F = F_y + F_{тр} = k(R- r) + \\mu mg$$ По второму закону Ньютона: $$F = ma$$ где $a$ – ускорение шайбы.<br /><br />Тогда $$a = \\dfrac{F}{m} = \\dfrac{k(R- r)}{m} + \\mu g$$<br />$2)$ Кинетическая энергия: $$E = \\dfrac{mv^2}{2}$$ где $v$ – линейная скорость шайбы.<br /><br />Линейная скорость равна: $$v = \\omega_1 r$$<br />Тогда $$E = \\dfrac{m(\\omega_1 r)^2}{2}$$<br />Ответ: $А -2,$ $Б -4.$"]}]}