Практика к уроку «Механические колебания. Маятники»

{"questions":[{"content":"На рисунке представлены графики зависимости координат двух тел от времени. Чему равно отношение амплитуд $\\dfrac{A_1}{A_2}$ колебаний этих тел?<br>[[fill_choice_big-1]][[image-684]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0,5$","$1$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-684":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-1zad.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Амплитуда — это максимальное по модулю отклонение координаты от положения равновесия.","Снимите с графика $A_1$ и $A_2$ как максимальные значения $|x|$ для каждого тела.","Найдите отношение $\\dfrac{A_1}{A_2}$ по считанным значениям."]}]}

{"questions":[{"content":"Груз массой $m_1=200\\,\\text{г}$ совершает свободные гармонические колебания на лёгкой пружине жёсткостью $k$. Каким должна быть масса $m_2$ груза, чтобы на этой же пружине частота колебаний уменьшилась в два раза? (Ответ дайте в кг)<br><br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}8$","$0{,}4$","$0{,}2$","$0{,}1$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Частоту колебаний $\\nu$ можно найти по формуле:<br>$\\nu=\\dfrac{1}{2\\pi}\\cdot\\sqrt{\\dfrac{k}{m}}$","Напишем это уравнение для $\\nu_1$ и $\\nu_2$:<br>$\\begin{cases}\\nu_1=\\dfrac{1}{2\\pi}\\cdot\\sqrt{\\dfrac{k}{m_1}}\\qquad (1)\\\\\\nu_2=\\dfrac{1}{2\\pi}\\cdot\\sqrt{\\dfrac{k}{m_2}}\\qquad (2)\\end{cases}$","Поделив (1) на (2), получим:<br>$\\dfrac{\\nu_1}{\\nu_2}=\\sqrt{\\dfrac{m_2}{m_1}}\\Rightarrow m_2=\\dfrac{\\nu_1^2}{\\nu_2^2}\\cdot m_1$","$m_2=\\dfrac{(2\\nu_2)^2}{\\nu_2^2}\\cdot m_1=4m_1$","$m_2=4\\cdot200\\,\\text{г}=800\\,\\text{г}=0{,}8\\,\\text{кг}$"]},{"content":"Период свободных колебаний пружинного маятника равен $0{,}5\\,\\text{с}$. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жёсткость пружины вдвое уменьшить? Ответ дайте в секундах.<br><br>[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$0{,}5$","$0{,}25$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Период равен:<br>$T_0=2\\pi\\sqrt{\\dfrac{m}{k}}$, где $m$ – масса груза, $k$ – жесткость пружины.","Если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жёсткость пружины вдвое уменьшить, то период станет равным:<br>$T=2\\pi\\sqrt{\\dfrac{4m}{k}}=2T_0=1\\,\\text{с}$"]},{"content":"На рисунке приведён график зависимости скорости математического маятника $v$ от времени $t$. Найдите максимальную кинетическую энергию этого маятника, если масса маятника $200\\,\\text{г}$. (Ответ дайте в Дж.)<br><br>[[fill_choice_big-3]][[image-703]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$2{,}5$","$1{,}25$","$5$","$0{,}5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-703":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-4zad.svg","width":"500"}},"step":1,"hints":["Формула кинетической энергии $E_k$:<br>$E_k=\\dfrac{mv^2}{2}$","Следовательно, $E_k=E_{k\\max}$, когда $v=v_{\\max}$. По рисунку видно, что $v_{\\max}=5\\,\\text{м/с}$.","Значит, максимальная кинетическая энергия маятника равна:<br>$E_k=\\dfrac{0{,}2\\,\\text{кг}\\cdot25\\,\\text{м}^2/\\text{с}^2}{2}=2{,}5\\,\\text{Дж}$"]}]}

{"questions":[{"content":"На рисунках даны зависимости координаты $X$ от времени $t$ двух грузов, подвешанных на лёгкие пружины. Найдите отношение периодов $\\frac{T_1}{T_2}$ маятников.<br><br>[[fill_choice_big-1]][[image-727]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$2{,}5$","$0{,}4$","$4$","$1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-727":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-5zad.svg","width":"400"}},"hints":["По графику видно, что период первого груза $T_1 = 10\\,\\text{с}$, а период второго $T_2 = 4\\,\\text{с}$.","Тогда отношение периодов равно:<br />$$\\frac{T_1}{T_2} = \\frac{10\\,\\text{с}}{4\\,\\text{с}} = 2{,}5.$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Груз пружинного маятника смещается относительно положения равновесия по закону: $$x = A \\sin\\left(\\frac{2\\pi}{T}t\\right),$$ где $A$ — амплитуда колебаний, $T=1\\,$ $с$. Через какое минимальное время после момента $t=0$ кинетическая энергия груза станет максимальной? (Ответ дайте в секундах.)<br><br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}25$","$0{,}5$","$1$","$2$"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["Кинетическая энергия груза: $$E_k = \\frac{mv^2}{2}.$$","Чтобы $E_k$ была максимальной, скорость груза должна быть максимальной (так как зависимость прямая).","Найдём скорость как производную координаты по времени: $$v = x'_t = A \\cdot \\frac{2\\pi}{T} \\cos\\left(\\frac{2\\pi}{T}t\\right).$$","Максимальная по модулю скорость достигается, когда $$\\cos\\left(\\frac{2\\pi}{T}t\\right)=\\pm 1.$$","Минимальный положительный момент времени соответствует условию $$\\frac{2\\pi}{T}t = \\pi.$$","Отсюда $$t = \\frac{T}{2} = \\frac{1}{2} = 0{,}5\\,\\text{с}.$$"]},{"content":"На рисунке изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая). Какова амплитуда колебаний этого маятника при резонансе? (Ответ дайте в сантиметрах.)<br><br>[[fill_choice_big-2]][[image-742]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$7$","$8$","$10$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-742":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-7zad.svg","width":"400"}},"hints":["Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы.","На графике максимум амплитуды наблюдается при частоте около $2\\,$Гц. По шкале оси амплитуд видно, что максимальное значение равно $8\\,$см."]}]}

{"questions":[{"content":"На рисунке приведён график зависимости кинетической энергии $E_k$ математического маятника массой $m = 200\\,\\text{г}$ от времени $t$. В какой момент времени потенциальная энергия маятника станет максимальной в первый раз после начала колебаний? (Ответ дайте в секундах.)<br><br>[[fill_choice_big-1]][[image-758]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$6$","$3$","$12$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-758":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-8zad.svg","width":"400"}},"step":1,"hints":["По закону сохранения энергии:<br><br>$E_п + E_k = const$, где $E_k$ — это кинетическая энергия, а $E_п$ — это потенциальная энергия.","Следовательно $E_п$ максимальна, когда $E_k = 0$.","По графику видно, что первый раз $E_k = 0$ в момент времени $t = 0$, а второй — в момент времени $t = 6\\,\\text{с}$."]}]}

{"questions":[{"content":"Период гармонических колебаний массивного груза на легкой пружине равен $1,2$ $с$. В некоторый момент времени потенциальная энергия груза достигает максимума. Через какое минимальное время кинетическая энергия груза достигнет максимума? Ответ дайте в с.<br><br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0{,}3$","$0{,}6$","$0{,}9$","$1{,}2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Максимум потенциальной энергии соответствует положению, где скорость равна нулю.","Кинетическая энергия максимальна при прохождении положения равновесия.","От крайнего положения до равновесия проходит четверть периода: $t=\\frac{T}{4}=\\frac{1{,}2}{4}=0{,}3$ с."]}]}

{"questions":[{"content":"Шарик, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания вдоль горизонтальной оси Ox. В таблице представлены данные о его положении в различные моменты времени.<br><br>Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения относительно этих колебаний.[[image-770]][[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Амплитуда колебаний шарика равна $1{,}5\\ \\text{см}$.","Период колебаний шарика равен $1{,}0\\ \\text{с}$.","Потенциальная энергия пружины в момент времени $1{,}5\\ \\text{с}$ максимальна.","Кинетическая энергия шарика в момент времени $1{,}0\\ \\text{с}$ минимальна.","Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени $1{,}5\\ \\text{с}$ минимальна."],"explanations":["Да, амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. По таблице видно, что амплитуда составляет $1,5$ $см$.","Нет, по таблице видно, что время одного колебания будет равно $4$ $с$.","Да, в момент $1,5$ $с$ у тела максимально отклонение от положения равновесия, это значит, что потенциальная энергия принимает максимальное значение.","Нет, в момент $1$ $с$ тело находится в положении равновесия, значит принимает максимальную скорость, следовательно — кинетическая энергия максимальна.","Нет, полная механическая энергия постоянна и одинаковы в любой момент времени."],"answer":[0,2]},"image-770":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-10zad.svg"}}}]}

{"questions":[{"content":"Математический маятник с частотой свободных колебаний $0{,}5\\ \\text{Гц}$ отклонили на небольшой угол от положения равновесия в положение 1 и отпустили из состояния покоя (см. рисунок). [[image-780]]<br />Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия маятника отсчитывается от положения равновесия. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, описывающие процесс колебаний маятника.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потенциальная энергия маятника в первый раз достигнет своего максимума через $2$ $с$ после начала движения.","Через $0,5$ $с$ маятник в первый раз вернётся в положение 1.","При движении из положения 2 в положение 3 полная механическая энергия маятника остаётся неизменной.","Кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет своего максимума через $0,5$ $с$ после начала движения.","При движении из положения 3 в положение 2 модуль силы натяжения нити уменьшается."],"explanations":["Период колебаний обратно пропорционален частоте: $T=\\frac{1}{\\nu}=\\frac{1}{0{,}5\\ \\text{Гц}}=2\\ \\text{с}$. Через $1\\ \\text{с}$ тело будет в положении 3, где потенциальная энергия максимальна, то есть уже через $1\\ \\text{с}$ потенциальная энергия будет вновь максимальна (а не через $2\\ \\text{с}$ в первый раз).","Время одного полного колебания (период) равно $2\\ \\text{с}$, то есть тело вернётся в начальное положение через $2\\ \\text{с}$, а не через $0{,}5\\ \\text{с}$.","Да, при движении выполняется закон сохранения энергии.","Через $0{,}5\\ \\text{с}$ тело будет в положении 2, где кинетическая энергия маятника максимальна.","Нет, сила натяжения нити увеличивается."],"answer":[2,3]},"image-780":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-11zad.svg","width":"300"}}}]}

{"questions":[{"content":"Небольшой груз, покоящийся на гладком горизонтальном столе, соединен пружиной со стенкой. После того как груз немного смещают от положения равновесия и отпускают из состояния покоя, он начинает колебаться вдоль оси пружины, вдоль которой направлена ось $Ox$. [[image-795]]<br />В таблице приведены значения координаты груза $x$ в различные моменты времени $t$. Выберите все верные утверждения о результатах этого опыта на основании данных, содержащихся в таблице. Абсолютная погрешность измерения координаты равна $0{,}1\\,\\text{см}$, времени — $0{,}05\\,\\text{с}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В момент времени $t=1{,}00\\,\\text{с}$ модуль ускорения груза максимален.","В момент времени $t=0{,}50\\,\\text{с}$ кинетическая энергия груза равна нулю.","Модуль силы, с которой пружина действует на груз, в момент времени $t=1{,}00\\,\\text{с}$ больше, чем в момент времени $t=0{,}25\\,\\text{с}$.","Период колебаний груза равен $T=2\\,\\text{с}$.","Частота колебаний груза равна $\\nu=0{,}25\\,\\text{Гц}$."],"explanations":["Для гармонических колебаний $x=A\\cos(\\omega t)$. Ускорение $a_x=x''=-\\omega^2 x$, поэтому $|a|$ максимально при максимальном $|x|$. По таблице при $t=1{,}00\\,\\text{с}$ $|x|=3{,}0\\,\\text{см}$ (амплитуда), значит и $|a|$ максимально.","Полная энергия $E=\\frac{kx^2}{2}+\\frac{mv^2}{2}$. При $x=0$ потенциальная энергия пружины $\\frac{kx^2}{2}=0$, а скорость (и кинетическая энергия) максимальны, поэтому $\\frac{mv^2}{2}\\ne 0$.","Сила упругости $F=k|x|$. При $t=1{,}00\\,\\text{с}$ $|x|=3{,}0\\,\\text{см}$, при $t=0{,}25\\,\\text{с}$ $|x|=2{,}1\\,\\text{см}$. Так как $3{,}0>2{,}1$, то $F(1{,}00\\,\\text{с})>F(0{,}25\\,\\text{с})$.","По таблице: $x(0)=3{,}0\\,\\text{см}$ и снова $x=3{,}0\\,\\text{см}$ будет через $2\\,\\text{с}$ (видно, что за $1\\,\\text{с}$ груз переходит из $+A$ в $-A$, то есть проходит половину периода: $\\frac{T}{2}=1\\,\\text{с}$, значит $T=2\\,\\text{с}$).","Частота $\\nu=\\frac{1}{T}$. При $T=2\\,\\text{с}$ получаем $\\nu=\\frac{1}{2}\\,\\text{Гц}=0{,}5\\,\\text{Гц}$, а не $0{,}25\\,\\text{Гц}$."],"answer":[0,2,3]},"image-795":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-12zad.svg","width":"500"}}}]}

{"questions":[{"content":"Зависимость модуля силы упругости резинового жгута $F$ от удлинения $x$ изображена на графике. Период малых вертикальных свободных колебаний груза массой $m$, подвешенного на резиновом жгуте, равен $T_0$.[[image-809]]<br />Выберите все верные утверждения, соответствующие данному графику.<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Для удлинения жгута закон Гука выполняется при всех используемых в опыте массах грузов.","Частота свободных колебаний груза сначала увеличивается, а затем уменьшается.","При увеличении массы груза период его вертикальных свободных колебаний на резиновом жгуте увеличивается.","Период $T$ малых вертикальных свободных колебаний груза массой $4m$ на этом жгуте удовлетворяет соотношению $T>2T_0$.","Период $T$ малых вертикальных свободных колебаний груза массой $4m$ на этом жгуте удовлетворяет соотношению $T<0{,}5T_0$."],"explanations":["Закон Гука: $F=-kx$, где $k$ — жёсткость, $x$ — удлинение, $F$ — сила. Закон Гука показывает, что зависимость должна быть линейная, тогда как у нас это выполняется не везде.","Частота находится по формуле: $\\nu=\\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}}$, где $m$ — масса груза. То есть с увеличением массы грузов частота будет уменьшаться.","Период обратно пропорционален частоте, так как частота уменьшается, то период увеличивается.","Если бы закон Гука соблюдался для всех масс, то период колебаний груза массой $4m$ был бы равен $T=2\\pi\\sqrt{\\frac{4m}{k}}=2\\cdot 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}=2T_0$. Так как кривая зависимости выгнута вверх относительно графика, если бы выполнялся закон Гука, то есть который соединяет точки $0$ и $F=4mg$. Эта выгнутость дает меньшие деформации для груза массой $m$, и большие для груза массой $4m$. Поэтому коэффициент жесткости $k$ при $4m$ будет меньше, чем при $m$ и, следовательно, период $T>2T_0$.",""],"answer":[2,3]},"image-809":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-13zad.svg","width":"300"}}}]}

{"questions":[{"content":"Определите, какие утверждения о гармонических колебаниях верны, опираясь на таблицу координаты $x(t)$.<br />[[image-828]]<br />Выберите все верные утверждения: [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Частота колебаний равна $1{,}25\\,\\text{Гц}$.","В момент времени $0,2$ $с$ модуль ускорения тела минимален.","Амплитуда колебаний тела равна $8$ $см$.","В момент времени $0,4$ $с$ тело проходит положение равновесия.","В момент времени $0,6$ $с$ тело обладает максимальной кинетической энергией."],"explanations":["Частота найдется по формуле $\\nu = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0{,}8\\,\\text{с}} = 1{,}25\\,\\text{Гц}$.","В момент времени $t=0{,}2\\,\\text{с}$ тело проходит положение равновесия, при этом его ускорение минимально.","Максимальное отклонение от положения равновесия равно $2\\,\\text{см}$.","В момент времени 0,4 с тело проходит положение равновесия.В момент времени $t=0{,}4\\,\\text{с}$ тело находится в крайнем положении.","В момент времени $t=0{,}6\\,\\text{с}$ тело проходит положение равновесия, следовательно, у тела наибольшая скорость. Кинетическая энергия находится по формуле $E_{\\text{кин}}=\\frac{mv^2}{2}$, поэтому при максимальной скорости кинетическая энергия максимальна."],"answer":[5,6,9]},"image-828":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-14zad.svg","width":"500"}},"hints":["Из таблицы видно, что время одного колебания равняется $0,8$ $с$, при этом положение равновесия находите в<br />точке с координатой $2$ $см$."]}],"mix":1}

{"questions":[{"instruction":"Соотнесите физическую величину с характером изменения","content":"Алюминиевый сплошной грузик совершает малые свободные колебания на лёгкой нерастяжимой нити. Затем этот грузик заменили на железный сплошной грузик тех же размеров. Амплитуда колебаний в обоих случаях одинакова. Как при этом изменятся частота колебаний и максимальная кинетическая энергия грузика?[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Частота колебаний грузика","Максимальная кинетическая энергия грузика"],"items":["Не изменится","Увеличится","Уменьшится","Увеличится"]}},"step":1,"hints":["Так как амплитуда колебаний остается постоянной, то оба тела отклоняются на одну и ту же высоту (по вертикали при отклонении маятника). Тела в один и тот же момент достигнут точки равновесия маятника, а это означает, что их период колебаний будет одним и тем же. Частота — величина, обратная периоду, значит и частота неизменна.","Тело обладает максимальной потенциальной энергией, когда груз отдален на максимальное расстояние от положения равновесия. Так как амплитуда постоянна, кинетическая энергия будет отличаться на величину масс этих грузиков и в случае железного грузика будет больше, чем у алюминиевого."]},{"instruction":"Соотнесите физическую величину с характером изменения","content":"Маленький спичечный коробок, прикрепленный к пружине, образует пружинный маятник, изображенный на рисунке и совершающий гармонические колебания между точками 1 и 3. Как меняется кинетическая энергия и скорость при движении коробка маятника от точки 1 к точке 2?[[image-12]][[matcher-25]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/02/ur13-16zad.svg","width":"300"},"matcher-25":{"type":"matcher","labels":["Кинетическая энергия","Скорость груза"],"items":["Увеличится","Увеличится","Уменьшится","Не изменится","Уменьшится"]}},"hints":["Точка 2 представляет собой положение устойчивого равновесия маятника. Когда коробок находится в точке 2, пружина не деформирована. Точка 1, напротив, соответствует сжатой пружине. При движении от точки 1, в которой он имеет нулевую скорость, к точке 2 пружина разжимается, тем самым ускоряя груз, то есть скорость<br />груза увеличивается.","При этом кинетическая энергия груза увеличивается, так как она равна $E_k = \\frac{mv^2}{2}$."]}],"mix":1}