КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
Формулы сложения тригонометрических функций. Формулы двойного угла
В предыдущих уроках мы изучили основные тригонометрические функции, научились работать с единичной окружностью и использовать основные свойства синуса и косинуса. Однако при решении задач часто встречаются углы, значения которых нельзя найти в обычной таблице.
Например, мы знаем значения: $\sin30^\circ, \sin45^\circ, \sin60^\circ$, но как вычислить $\sin75^\circ?$ Угол $75^\circ$ не является табличным, поэтому напрямую найти его значение мы не можем.
Можно воспользоваться калькулятором, но в математике важно уметь получать точные результаты без вспомогательных средств. Для этого и существуют формулы сложения, которые позволяют выражать функции суммы или разности углов через функции каждого угла отдельно.
Вспоминаем изученное
Перед изучением новой темы вспомним основные свойства тригонометрических функций. На единичной окружности каждой точке соответствует пара координат: $$ (\cos\alpha,\sin\alpha).$$
Поэтому:
- косинус угла — это координата точки по оси ($x$);
- синус угла — это координата точки по оси ($y$).
Также мы знаем основные значения тригонометрических функций:
| Угол | Синус | Косинус |
|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ |
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ |
Формула синуса суммы
Попробуем вычислить $\sin 75^\circ$.
Представим угол $75^\circ$ как сумму двух известных углов: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. Мы знаем значения $\sin 45^\circ, \cos 45^\circ, \sin 30^\circ, \cos 30^\circ$. Но пока не знаем, как выразить $\sin(45^\circ + 30^\circ)$ через эти значения. Для решения этой задачи нам понадобятся формулы сложения.
Для любых углов $(\alpha)$ и $(\beta)$ верна следующая формула: синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
Эта формула позволяет заменить синус суммы двух углов произведениями синусов и косинусов этих углов.
Пример
Вычислите $\sin75^\circ$.
Показать решение
Скрыть
Представим угол как сумму: $$75^\circ=45^\circ+30^\circ.$$
Используем формулу синуса суммы: $$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)$$ $$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ.$$
Подставляем известные значения: $$\sin75^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}.$$
Выполняем умножение: $$\sin75^\circ=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Выносим общий знаменатель: $$\sin75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$
Ответ: $\sin75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Формула синуса разности
Теперь рассмотрим разность двух углов. Для любых углов $\alpha$ и $\beta$: синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
$$\sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta$$
Эта формула отличается от формулы суммы только одним знаком. При сложении углов между произведениями стоит знак «+», а при вычитании появляется знак «–»:
Пример
Найдите $\sin 15^\circ$.
Показать решение
Скрыть
Представим угол как разность: $15^\circ = 45^\circ-30^\circ$.
Используем формулу синуса разности: $$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ-30^\circ)$$ $$\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ-\cos 45^\circ \sin 30^\circ.$$
Подставляем значения: $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}.$$
Получаем: $$= \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Ответ: $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Формула косинуса суммы
Для косинуса суммы действует другая формула: косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.
$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta$$
Обратите внимание, что ранее для синуса суммы мы использовали знак «+». Для косинуса же суммы используется знак «–».
Пример
Вычислите $\cos 75^\circ$.
Показать решение
Скрыть
Запишем угол через сумму: $$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.$$
Используем формулу: $$\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ-\sin 45^\circ \sin 30^\circ.$$
Подставляем значения: $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}.$$ $$\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Ответ: $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Формула косинуса разности
Для разности углов: косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов плюс произведение синусов этих углов.
$$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$
Обратите внимание также на смену знаков: ищем косинус разности, а в формуле имеем знак «+».
Пример
Вычислите $\cos 15^\circ$.
Показать решение
Скрыть
Представим угол: $$15^\circ = 45^\circ-30^\circ.$$
Используем формулу: $$\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ.$$
Подставляем значения: $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Ответ: $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Таблица синуса и косинуса суммы и разности
После изучения формул для синуса и косинуса мы можем находить значения функций для суммы и разности углов.
| Формула | Выражение |
|---|---|
| Синус суммы | $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ |
| Синус разности | $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ |
| Косинус суммы | $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ |
| Косинус разности | $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ |
Однако тригонометрические преобразования не ограничиваются только этими функциями. Возникает необходимость рассмотреть и другие зависимости, которые позволяют работать с более сложными выражениями и получать новые формулы на основе уже известных свойств тригонометрии.
Формула тангенса суммы
Для любых углов $\alpha$ и $\beta$, при которых выражение имеет смысл, верна формула: тангенс суммы — сумма тангенсов деленная на единицу минус произведение тангенсов.
$$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$$
Формула позволяет найти тангенс суммы двух углов через тангенсы этих углов. Она имеет смысл только тогда, когда определены сами тангенсы и знаменатель не равен нулю.
Пример
Вычислите $\operatorname{tg} 75^\circ$.
Показать решение
Скрыть
Представим угол как сумму известных углов: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.
Используем формулу тангенса суммы: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1-\operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ}$$
Из таблицы значений известно: $$\operatorname{tg} 45^\circ = 1$$ $$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Подставляем: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}.$$
Приведём числитель и знаменатель к общему виду: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}.$$
Деление дробей заменяем умножением на обратную дробь: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}.$$
Сокращаем $\sqrt{3}$: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}-1}.$$
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{3} + 1$: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3} + 1)}.$$
Раскрываем скобки: $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1}$$ $$\operatorname{tg} 75^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ: $\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$.
Формула тангенса разности
Для разности двух углов справедливо:
$$\operatorname{tg} (\alpha-\beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$$
Формула справедлива только для углов, при которых существуют все тангенсы и знаменатель не обращается в ноль.
Пример
Вычислите: $\operatorname{tg} 15^\circ$.
Показать решение
Скрыть
Представим угол как разность: $15^\circ = 45^\circ-30^\circ$.
Используем формулу тангенса разности: $$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ-\operatorname{tg} 30^\circ}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ}$$
Подставляем значения: $$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}.$$
Получаем: $$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}.$$
Сокращаем: $$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3} + 1}.$$
Домножаем на сопряжённое выражение: $$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3}-1)}.$$
Раскрываем скобки:
$$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{3-2\sqrt{3} + 1}{3-1}$$ $$\operatorname{tg} 15^\circ = \frac{4-2\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ: $\operatorname{tg} 15^\circ = 2-\sqrt{3}$.
Формулы двойного угла
Теперь рассмотрим случай, когда оба угла одинаковые.
Если в формулах сложения положить: $\beta = \alpha$, то получим формулы для угла: $\alpha + \alpha = 2\alpha$.
Такие формулы называют формулами двойного угла. Они позволяют выражать функции двойного угла через функции одного угла.
Формула синуса двойного угла
Используем формулу синуса суммы: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta.$$
Если $\beta = \alpha$, то получаем: $$\sin(2\alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha.$$
Так как слагаемые одинаковые: $$\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$
Получаем формулу синуса двойного угла: синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса этого угла на его косинус.
$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$
Пример
Вычислите $\sin 120^\circ$.
Показать решение
Скрыть
$$120^\circ = 2 \cdot 60^\circ$$
Используем формулу синуса двойного угла: $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha.$$
Подставим $\alpha = 60^\circ$: $$\sin 120^\circ = 2 \sin 60^\circ \cos 60^\circ.$$
Используем табличные значения: $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$$
Подставим их в формулу: $$\sin 120^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$ $$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Формулы косинуса двойного угла
Начнём с формулы косинуса суммы: $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta.$$
Пусть $\beta = \alpha$, тогда: $$\cos 2\alpha = \cos \alpha \cos \alpha-\sin \alpha \sin \alpha$$ $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha.$$
Основная формула косинуса двойного угла: $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha.$$
Используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, можно получить ещё две формы этой формулы.
Так как $\sin^2 \alpha = 1-\cos^2 \alpha$, получаем: $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha-(1-\cos^2 \alpha).$$
После преобразования: $$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha-1.$$
Аналогично: $$\cos^2 \alpha = 1-\sin^2 \alpha.$$
Тогда: $$\cos 2\alpha = 1-2 \sin^2 \alpha.$$
Таким образом, существует три равносильные формулы:
$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha$$ $$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha-1$$ $$\cos 2\alpha = 1-2 \sin^2 \alpha$$
Как выбрать нужную формулу?
- первую формулу используют для сокращения дробей или разложения на множители как разность квадратов;
- вторую применяют, если в уравнении уже есть $\cos\alpha$, чтобы избавиться от синусов;
- третью используют, если в уравнении есть только $\sin\alpha$, чтобы свести всё к одной функции.
Формула тангенса двойного угла
Используем формулу тангенса суммы: $$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1-\tan\alpha \operatorname{tg}\beta}.$$
Положим $\beta = \alpha$, получаем: $$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}.$$
В числителе $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha = 2\tan\alpha$. Следовательно:
$$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$$
Таблица формул тангенса суммы и разности и формул двойного угла
Мы изучили формулы тангенса суммы и разности, а также получили формулы двойного угла для синуса, косинуса и тангенса.
| Формула | Выражение |
|---|---|
| Тангенс суммы | $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\tan\beta}$ |
| Тангенс разности | $\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}$ |
| Синус двойного угла | $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ |
| Косинус двойного угла | $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,$ $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$ $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ |
| Тангенс двойного угла | $\operatorname{tg}2\alpha=\frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg} ^2\alpha}$ |
Вместе с формулами сложения они образуют систему основных тригонометрических соотношений, которая позволяет вычислять значения функций нетабличных углов, преобразовывать выражения и решать более сложные задачи. Применим все изученные формулы на практике и разберём типовые примеры их использования.
Часто задаваемые вопросы
Достаточно запомнить основную формулу: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha — \sin^2\alpha$.
Остальные формы можно получить с помощью основного тригонометрического тождества: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Полезно обратить внимание на их структуру:
1) для синуса используются произведения «синус–косинус» и «косинус–синус»;
2) для косинуса — «косинус–косинус» и «синус–синус».
Кроме того, важно помнить, что у косинуса при сумме между произведениями стоит знак «−», а при разности — знак «+».
Нужно посмотреть, как записан угол. Если он представлен в виде суммы, например $75^\circ=45^\circ+30^\circ$, используют формулу суммы. Если угол записан как разность, например $15^\circ=45^\circ-30^\circ$, применяют формулу разности.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти