Формулы сложения. Формулы двойного угла: повторение и обобщение

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"content":"Вычислите $\\sin 105^\\circ$.<br>[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$","$\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4}$","$\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}$","$-\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$"],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Используем формулу синуса суммы: $\\sin(45^\\circ+60^\\circ)=\\sin45^\\circ\\cos60^\\circ+\\cos45^\\circ\\sin60^\\circ$. Получаем $\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{2}}{4}+\\frac{\\sqrt{6}}{4}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$.","hints":["Вспомним формулу: $\\sin(\\alpha+\\beta)=\\sin\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sin\\beta$.","Представим угол как сумму: $105^\\circ=45^\\circ+60^\\circ$.","Подставим табличные значения: $\\sin45^\\circ=\\cos45^\\circ=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos60^\\circ=\\frac{1}{2}$, $\\sin60^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.","Вычислим: $\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$."],"id":"8"},{"content":"Вычислите $\\sin 120^\\circ$.[[choice-3024]]","widgets":{"choice-3024":{"type":"choice","options":["$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{2}$","$-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$","$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["Представим угол в виде $120^\\circ=180^\\circ-60^\\circ$.","Используем формулу приведения: $\\sin(180^\\circ-\\alpha)=\\sin\\alpha$.","Подставим $\\alpha=60^\\circ$ и вспомним табличное значение синуса этого угла.","Получаем $\\sin120^\\circ=\\sin60^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$."],"id":"8"},{"content":"Вычислите $\\cos 105^\\circ$.<br>[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$","$\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}$","$\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4}$","$-\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}$"],"answer":[1]}},"step":1,"explanation":"Применим формулу косинуса суммы: $\\cos(45^\\circ+60^\\circ)=\\cos45^\\circ\\cos60^\\circ-\\sin45^\\circ\\sin60^\\circ=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}$.","hints":["Вспомним формулу: $\\cos(\\alpha+\\beta)=\\cos\\alpha\\cos\\beta-\\sin\\alpha\\sin\\beta$.","Представим угол как сумму: $105^\\circ=45^\\circ+60^\\circ$.","Используем значения $\\cos45^\\circ=\\sin45^\\circ=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\cos60^\\circ=\\frac{1}{2}$ и $\\sin60^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.","Выполним вычисления: $\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{1}{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}$."],"id":"9"},{"content":"Вычислите $\\cos 120^\\circ$.[[choice-3299]]","widgets":{"choice-3299":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{2}$","$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$","$-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Представим угол в виде $120^\\circ=180^\\circ-60^\\circ$.","Используем формулу приведения: $\\cos(180^\\circ-\\alpha)=-\\cos\\alpha$.","Используем формулу приведения: $\\cos(180^\\circ-\\alpha)=-\\cos\\alpha$.","Получаем $\\cos120^\\circ=-\\frac{1}{2}$."],"id":"9"},{"content":"Острые углы $\\alpha$ и $\\beta$ таковы, что $\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{1}{2}$ и $\\operatorname{tg}\\beta=\\frac{1}{3}$. Найдите $\\operatorname{tg}(\\alpha+\\beta)$.<br>[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{6}$","$\\frac{1}{6}$","$1$","$\\frac{5}{3}$"],"explanations":["Это сумма $\\operatorname{tg}\\alpha+\\operatorname{tg}\\beta$ без учета знаменателя формулы.","Это произведение данных значений.","Числитель и знаменатель формулы принимают одинаковые значения.","В формуле тангенса суммы знаменатель равен $1-\\operatorname{tg}\\alpha\\operatorname{tg}\\beta$."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Используем формулу $\\operatorname{tg}(\\alpha+\\beta)=\\frac{\\operatorname{tg}\\alpha+\\operatorname{tg}\\beta}{1-\\operatorname{tg}\\alpha\\operatorname{tg}\\beta}$.","Числитель равен $\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}=\\frac{5}{6}$, а знаменатель равен $1-\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{3}=\\frac{5}{6}$.","Разделим полученные значения: $\\operatorname{tg}(\\alpha+\\beta)=\\frac{5}{6}:\\frac{5}{6}=1$."]},{"content":"Острые углы $\\alpha$ и $\\beta$ таковы, что $\\operatorname{tg}\\alpha=\\frac{1}{3}$ и $\\operatorname{tg}\\beta=\\frac{1}{4}$. Найдите $\\operatorname{tg}(\\alpha+\\beta)$.<br>[[choice-735]]","widgets":{"choice-735":{"type":"choice","options":["$\\frac{7}{11}$","$\\frac{7}{12}$","$\\frac{1}{7}$","$\\frac{11}{7}$"],"explanations":["Это значение получается после подстановки данных в формулу тангенса суммы.","Это сумма тангенсов без учета знаменателя формулы.","Произведение тангенсов равно $\\frac{1}{12}$, а не $\\frac{1}{7}$.","При делении дробей числитель и знаменатель поменяны местами."],"answer":[0]}}},{"content":"Известно, что $\\cos\\alpha=\\frac{3}{5}$. Найдите $\\cos2\\alpha$.<br>[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\frac{6}{5}$","$\\frac{7}{25}$","$-\\frac{16}{25}$","$-\\frac{7}{25}$"],"explanations":["Косинус двойного угла не равен удвоенному косинусу исходного угла.","При вычислении $2\\cos^2\\alpha-1$ результат имеет отрицательный знак.","Это значение связано с величиной $\\sin^2\\alpha$, но не является $\\cos2\\alpha$.","Это значение получается по формуле $\\cos2\\alpha=2\\cos^2\\alpha-1$."],"answer":[3]}},"step":1,"hints":["Выберем формулу двойного угла $\\cos2\\alpha=2\\cos^2\\alpha-1$.","Подставим известное значение: $\\cos2\\alpha=2\\cdot\\left(\\frac{3}{5}\\right)^2-1$.","Вычислим: $\\cos2\\alpha=\\frac{18}{25}-\\frac{25}{25}=-\\frac{7}{25}$."]},{"content":"Известно, что $\\sin\\beta=\\frac{5}{13}$. Найдите $\\cos2\\beta$.<br>[[choice-1180]]","widgets":{"choice-1180":{"type":"choice","options":["$\\frac{25}{169}$","$\\frac{119}{169}$","$\\frac{144}{169}$","$-\\frac{119}{169}$"],"explanations":["Это значение $\\sin^2\\beta$, а не косинус двойного угла.","Это значение получается по формуле $\\cos2\\beta=1-2\\sin^2\\beta$.","Это значение $\\cos^2\\beta$ при остром угле $\\beta$.","При данных условиях выражение $1-2\\sin^2\\beta$ положительно."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Выберем формулу двойного угла $\\cos2\\beta=1-2\\sin^2\\beta$.","Подставим известное значение: $\\cos2\\beta=1-2\\cdot\\left(\\frac{5}{13}\\right)^2$.","Вычислим: $\\cos2\\beta=\\frac{169}{169}-\\frac{50}{169}=\\frac{119}{169}$."]},{"content":"Упростите выражение $\\frac{\\sin(\\alpha+\\beta)+\\sin(\\alpha-\\beta)}{2\\sin\\alpha}$, если $\\sin\\alpha\\ne0$.<br>[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$\\sin\\beta$","$\\cos\\alpha$","$\\cos\\beta$","$2\\cos\\beta$"],"explanations":["После раскрытия скобок слагаемые с $\\sin\\beta$ сокращаются.","Множитель $\\cos\\alpha$ входит в сокращающиеся слагаемые.","После сокращения числителя и знаменателя остается $\\cos\\beta$.","Множитель $2\\sin\\alpha$ сокращается со знаменателем."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Раскроем синусы суммы и разности по соответствующим формулам.","Получим $\\sin\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sin\\beta+\\sin\\alpha\\cos\\beta-\\cos\\alpha\\sin\\beta=2\\sin\\alpha\\cos\\beta$.","Сократим дробь: $\\frac{2\\sin\\alpha\\cos\\beta}{2\\sin\\alpha}=\\cos\\beta$."]},{"content":"Упростите выражение $\\frac{\\cos(\\alpha+\\beta)+\\cos(\\alpha-\\beta)}{2\\cos\\alpha}$, если $\\cos\\alpha\\ne0$.<br>[[choice-1604]]","widgets":{"choice-1604":{"type":"choice","options":["$\\cos\\beta$","$\\sin\\beta$","$2\\cos\\beta$","$\\cos\\alpha$"],"explanations":["После сокращения числителя и знаменателя остается $\\cos\\beta$.","Слагаемые с множителем $\\sin\\beta$ взаимно уничтожаются.","Множитель $2\\cos\\alpha$ сокращается со знаменателем.","После сокращения в выражении остается функция угла $\\beta$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Раскроем косинусы суммы и разности по соответствующим формулам.","Получим $\\cos\\alpha\\cos\\beta-\\sin\\alpha\\sin\\beta+\\cos\\alpha\\cos\\beta+\\sin\\alpha\\sin\\beta=2\\cos\\alpha\\cos\\beta$.","Сократим дробь: $\\frac{2\\cos\\alpha\\cos\\beta}{2\\cos\\alpha}=\\cos\\beta$."]}],"mix":1}</textarea></pre></div>