Тождества и тождественные преобразования рациональных выражений

В математике одно и то же можно записать разными способами. Например, выражения $2(x+3)$ и $2x+6$ выглядят по-разному. Но при любом значении $x$ они дают одинаковый результат. Так происходит не случайно.

Между этими выражениями существует важная математическая связь. Мы можем изменить форму выражения, но сохранить его значение. Такое преобразование называют тождественным преобразованием.

На первый взгляд кажется, что это просто аккуратная работа с формулами. На самом деле тождественные преобразования — один из главных инструментов алгебры. Они помогают упрощать выражения и решать более сложные задачи. Например, без них трудно работать с рациональными уравнениями и неравенствами. Они также встречаются при изучении функций, производных и интегралов.

В этом уроке разберём, как и почему такие преобразования работают, уделив особое внимание рациональным выражениям.

Тождество

Мы уже увидели, что разные выражения могут иметь одинаковое значение. Теперь разберёмся, когда такое равенство является тождеством. Например, равенство $2+3=5$ верно всегда, потому что в нем нет переменных. Но равенство с переменной может быть верным только при некоторых ее значениях.

Рассмотрим $x+2=5$ — это равенство верно только при $x=3$. При других значениях $x$ левая и правая части различаются.

Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

Возьмем пример: $2(x+3)=2x+6$. Раскроем скобки в левой части: $$2(x+3)=2x+6$$ Получаем правую часть. Это равенство верно при любом значении $x$. Поэтому оно является тождеством.

А теперь рассмотрим другое выражение: $$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$$

На первый взгляд равенство тоже кажется тождеством. Разложим числитель на множители: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$ После сокращения получаем: $$x+3=x+3.$$

Но здесь есть важное ограничение. Исходная дробь имеет знаменатель $x-3$, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3\ne0$. Следовательно, $x\ne3$.

Значит, исходное равенство верно для всех $x$, кроме $x=3$. Именно поэтому при работе с рациональными выражениями всегда нужно учитывать допустимые значения переменных.

Область допустимых значений

Представим, что мы просто сократили выражение $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ и получили $x+3$. Кажется, будто исходная дробь и результат полностью совпадают. Но это не совсем так.

При $x=3$ исходная дробь не существует: $$\frac{(3-3)(3+3)}{3-3}=\frac{0}{0}.$$

А выражение $x+3$ при $x=3$ вполне имеет смысл: $$3+3=6.$$

Получается важная особенность. После преобразования выражение может выглядеть проще, но ограничения исходного выражения никуда не исчезают. Поэтому правильнее говорить так: $$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,\qquad x\ne3.$$

Это особенно важно при дальнейшем решении рациональных уравнений и неравенств.

{"questions":[{"content":"Почему при записи равенства $$\\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$$ нужно указать условие $x\\ne2$?[[choice-6264]]","widgets":{"choice-6264":{"type":"choice","options":["Потому что при $x=2$ правая часть становится отрицательной.","Потому что при $x=2$ исходная дробь не определена.","Потому что сокращать множители можно только при отрицательных $x$.","Потому что тождества работают только при ненулевых значениях переменных."],"answer":[1]}},"hints":["Подставьте $x=2$ в знаменатель исходной дроби: $2-2=0$."]}]}

Тождественные преобразования

Теперь мы можем сформулировать, что именно происходит, когда выражение становится проще.

Тождественное преобразование — это преобразование выражения, при котором его значение сохраняется для всех допустимых значений переменных.

Рассмотрим выражение: $$3(x+2)-x.$$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$3(x+2)-x=3x+6-x$$ $$3x+6-x=2x+6$$ $$3(x+2)-x=2x+6.$$

Для любого значения $x$ обе части имеют одинаковое значение. Значит, мы выполнили тождественное преобразование.

На самом деле с тождественными преобразованиями вы сталкивались задолго до $10$ класса. Например, вы уже умеете раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и раскладывать многочлены на множители. Все эти действия могут быть тождественными преобразованиями.

Рассмотрим несколько примеров: $$2(x+4)=2x+8$$ $$5x-2x=3x$$ $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$ $$\frac{6x}{3} = 2x.$$

Последний пример требует небольшой оговорки. Здесь $x$ может принимать любое значение, поскольку ограничений на $x$ нет.

С рациональными выражениями ситуация сложнее. Некоторые преобразования могут быть допустимы только при определённых условиях. Например, $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$ верно только при $x\ne3$.

Поэтому тождественное преобразование — не просто изменение внешнего вида выражения. Нужно следить, чтобы математический смысл выражения сохранялся.

Представьте, что нужно решить сложное уравнение с рациональными выражениями. Если оставить выражение в исходном виде, решение может оказаться громоздким. После преобразований оно может стать значительно проще.

Например, выражение $\frac{x^2-9}{x-3}$ выглядит сложнее, чем $x+3$. После разложения числителя на множители и сокращения мы получаем более простую форму: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

Именно поэтому преобразования нужны не ради самих преобразований. Они позволяют увидеть структуру выражения и работать с ней удобнее. В дальнейшем этот навык станет особенно важным при решении рациональных уравнений, неравенств и задач с функциями.

{"questions":[{"content":"Что является главным признаком тождественного преобразования?<br>[[choice-6290]]","widgets":{"choice-6290":{"type":"choice","options":["Выражение становится короче.","В выражении становится меньше переменных.","Значение выражения сохраняется для всех допустимых значений.","В выражении исчезают дроби."],"answer":[2]}},"hints":["Сравните значения исходного и преобразованного выражений при одних и тех же допустимых значениях переменных."]}]}

Рациональные выражения

Вы уже знакомы с обычными дробями. Например, $\frac{3}{5}, \frac{7}{2} \frac{11}{4}.$ В таких дробях числитель и знаменатель являются числами. Но вместо чисел в дробях могут находиться выражения с переменными: $$\frac{x+2}{x-5},\qquad \frac{x^2-4}{x+3},\qquad \frac{2x+1}{x^2-9}.$$ Такие выражения называют рациональными выражениями.

Рациональное выражение — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций, включая деление.

Особенно важны рациональные дроби — рациональные выражения, записанные в виде дроби: $$\frac{x^2-4}{x-2}.$$ Здесь числитель и знаменатель являются многочленами.

Отличие рациональных выражений от обычных

Главное отличие появляется тогда, когда переменная находится в знаменателе. Вспомним основное свойство дроби: на ноль делить нельзя. Поэтому знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю. Рассмотрим выражение: $$\frac{x+1}{x-4}.$$ Знаменатель равен нулю при $x=4$: $4-4=0.$ Значит, при $x=4$ выражение не имеет смысла. Поэтому для этого выражения: $x\ne4$. Это ограничение входит в область допустимых значений, или ОДЗ.

ОДЗ — это все значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Для рациональных выражений основное правило очень простое: знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Показать решение

Скрыть

Нахождение ОДЗ

Область допустимых значений особенно важна при сокращении рациональных дробей. Рассмотрим выражение: $$\frac{x^2-9}{x-3}.$$ Разложим числитель и сократим общий множитель $x+3$: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}.$$

Кажется, что исходное выражение просто превратилось в $x+3$. Но исходная дробь была определена только при условии $x\ne3$. Поэтому правильное преобразование должно учитывать это ограничение: $$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,\qquad x\ne3.$$

Мы получили более простую запись, но не изменили область допустимых значений исходного выражения. Именно здесь рациональные выражения требуют большей аккуратности, чем обычные многочлены.

{"questions":[{"content":"Укажите область допустимых значений переменной для выражения $$\\frac{2x-1}{x^2-x-6}.$$[[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$x\\ne -2$ и $x\\ne 3$","$x\\ne 2$ и $x\\ne -3$","$x\\ne -2$","$x\\ne 3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Знаменатель рациональной дроби не должен быть равен нулю.","Разложим его на множители по теореме Виета: $(x-3)(x+2)$."]}]}

Преобразования рациональных выражений

Теперь соберём изученные идеи в общий алгоритм. Рациональные выражения могут выглядеть довольно громоздко. Однако большинство преобразований выполняется по понятной последовательности.

Рассмотрим общий порядок действий.

1. Найдите ОДЗ. Определите, при каких значениях знаменатели обращаются в ноль.
2. Разложите многочлены на множители. Используйте вынесение общего множителя, группировку и формулы сокращённого умножения.
3. Сократите общие множители. Помните, что сокращать можно только множители.
4. Приведите дроби к общему знаменателю. Это понадобится при сложении и вычитании.
5. Выполните необходимые действия. Раскройте скобки, сложите или умножьте выражения.
6. Упростите полученный результат. Иногда после вычислений снова появляется возможность разложить выражение на множители.
7. Проверьте ограничения. Они относятся к исходному выражению и не исчезают после сокращения.

Этот алгоритм не нужно воспринимать как жёсткую последовательность для любой задачи. Иногда удобнее сначала разложить выражение на множители. В другой задаче сначала потребуется привести дроби к общему знаменателю.

Поэтому перед началом преобразований полезно посмотреть на выражение целиком.

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $$\\frac{x^2-25}{x^2-10x+25}\\cdot\\frac{x-5}{x+5}$$ и укажите ограничения для переменной.<br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$, где $x\\ne -5$ и $x\\ne 5$","$1$, где $x\\ne 5$","$\\frac{x+5}{x-5}$, где $x\\ne 5$","$x-5$, где $x\\ne -5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим многочлены на множители: $x^2-25=(x-5)(x+5)$ и $x^2-10x+25=(x-5)^2$.","Сократим одинаковые множители и получим $1$. В исходном выражении знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x\\ne 5$ и $x\\ne -5$."]}]}

Разложение на множители

Разложение на множители — один из главных инструментов при работе с рациональными выражениями. Мы уже использовали его в предыдущем примере: $$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

После такого преобразования стало видно, какие множители можно сократить. Поэтому перед преобразованием рационального выражения полезно спросить себя: можно ли разложить числитель или знаменатель на множители?

Вспомним основные способы разложения.

Например, $$6x^2+9x=3x(2x+3).$$ Проверим обратным преобразованием: $$3x(2x+3)=6x^2+9x.$$ Значение выражения не изменилось. Мы лишь записали его в другой форме.

Иногда общий множитель содержит переменную: $$x^3-4x=x(x^2-4).$$ Теперь выражение внутри скобок можно разложить дальше: $$x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$$ $$x^3-4x=x(x-2)(x+2).$$

Например: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$ Поэтому: $$x^2-25=(x-5)(x+5).$$ А выражение $x^2+6x+9$ можно представить как квадрат суммы: $$x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Важно научиться видеть такие структуры сразу. Это особенно пригодится, когда числитель и знаменатель имеют похожий вид.

Рассмотрим выражение: $$x^2+5x+6.$$ Нужно найти два числа, произведение которых равно $6$, а сумма равна $5$. Это числа $2$ и $3$. Поэтому: $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$ Такое разложение позволяет перейти от суммы к произведению. А именно произведение удобно сокращать в рациональных дробях.

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какую форму удобнее получить, если мы хотим сократить часть рациональной дроби?<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Сумму отдельных слагаемых.","Произведение множителей.","Длинную запись со скобками.","Десятичную запись коэффициентов."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Сокращать можно только одинаковые множители числителя и знаменателя.","Перед сокращением числитель и знаменатель удобно представить в виде произведений множителей."]}]}

Сокращение рациональных дробей

Теперь применим разложение на множители непосредственно к рациональным дробям. Вспомним обычную числовую дробь: $$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.$$ Мы разделили числитель и знаменатель на общий множитель $6$. С рациональными дробями действует тот же принцип. Разница лишь в том, что общими множителями могут быть выражения с переменными. Например: $$\frac{6x}{9x}=\frac{2}{3}.$$ Здесь общий множитель $3x$ можно сократить, но только при условии $x\ne0$.

Рассмотрим дробь: $$\frac{x^2-9}{x-3}.$$ В числителе стоит разность, а не произведение. Поэтому сразу сокращать $x-3$ нельзя. Сначала разложим числитель: $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$ $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}.$$ И только теперь общий множитель $x-3$ можно сократить $x+3$. При этом исходный знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3\ne0$. Отсюда $x\ne3$.

Поэтому правильный результат: $$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,\qquad x\ne3.$$

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $$\\frac{x^2-16}{x^2-4x}.$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x+4}{x}$","$\\frac{x-4}{x}$","$\\frac{x+4}{x-4}$","$\\frac{x}{x+4}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим числитель как разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$.","Вынесем общий множитель в знаменателе: $x^2-4x=x(x-4)$.","Сократим множитель $x-4$ и получим $\\frac{x+4}{x}$ при $x\\ne 0$ и $x\\ne 4$."]}],"mix":1}

Сложение и вычитание рациональных дробей

Сложение и вычитание обыкновенных дробей подчиняются тем же основным принципам, что и действия с дробями в общем случае. Вспомним простой пример: $$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.$$ Знаменатели одинаковые, поэтому мы складываем числители. Если знаменатели различаются, сначала приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}.$$

С рациональными дробями действует тот же принцип. Однако общий знаменатель теперь может содержать переменные.

Общий знаменатель

Рассмотрим выражение: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}.$$ Знаменатели здесь разные: $x$ и $x+2$. Их общий знаменатель $x(x+2)$. Умножим первую дробь на $x+2$, а вторую — на $x$: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{x+2}{x(x+2)}+\frac{x}{x(x+2)}.$$ Теперь знаменатели одинаковые: $$\frac{x+2+x}{x(x+2)}.$$ Приведём подобные слагаемые: $$\frac{2x+2}{x(x+2)}$$ $$\frac{2(x+1)}{x(x+2)}.$$

Не забудем об ОДЗ исходного выражения: $$x\ne0,\qquad x\ne-2.$$ Поэтому окончательный результат: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{2(x+1)}{x(x+2)},\qquad x\ne0,\quad x\ne-2.$$

Показать решение

Скрыть

Вычитание дробей

При вычитании действует тот же принцип, например: $$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}.$$ Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$. Приведем обе дроби к нему: $$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$$ $$\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$ $$\frac{2x+2-x+1}{(x-1)(x+1)}$$ $$\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}.$$ Ограничения исходного выражения: $x\ne1, x\ne-1$. Поэтому: $$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)},\qquad x\ne1,\quad x\ne-1.$$

{"questions":[{"instruction":"Упростите выражение и выберите результат с учетом ОДЗ","content":"$$\\frac{x+1}{x-2}-\\frac{x-1}{x+2}-\\frac{12}{x^2-4}$$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{6}{x+2}$, где $x\\ne-2$ и $x\\ne2$","$\\frac{6}{x+2}$, где $x\\ne-2$","$\\frac{6}{x-2}$, где $x\\ne-2$ и $x\\ne2$","$\\frac{6x}{x^2-4}$, где $x\\ne-2$ и $x\\ne2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим знаменатель третьей дроби на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Поэтому $x\\ne-2$ и $x\\ne2$.","Приведем дроби к общему знаменателю: $\\frac{(x+1)(x+2)-(x-1)(x-2)-12}{(x-2)(x+2)}$.","Раскроем скобки и упростим числитель: $x^2+3x+2-(x^2-3x+2)-12=6x-12=6(x-2)$.","Сократим множитель $x-2$ и получим $\\frac{6}{x+2}$. При этом сохраним ограничения исходного выражения: $x\\ne-2$ и $x\\ne2$."]}]}

Умножение и деление рациональных дробей

Умножение рациональных дробей устроено проще, чем сложение и вычитание. Вспомним правило для обычных дробей: $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$$ Мы перемножаем числители и знаменатели. То же самое правило работает для рациональных дробей: $$\frac{x}{3}\cdot\frac{2}{y}=\frac{2x}{3y}.$$ Но при работе с выражениями появляется важная возможность: сокращать дробь до умножения.

Показать решение

Скрыть

Деление дробей сводится к умножению на обратную дробь: $$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.$$

Показать решение

Скрыть

При обычном делении нельзя делить на ноль. Например: $6:2=3$. Но выражение $6:0$ не имеет смысла. То же правило действует для рациональных выражений. Если мы делим на дробь, эта дробь не должна быть равна нулю. Например: $$\frac{x}{x+1}:\frac{x-2}{x-3}.$$ Здесь нужно учитывать не только знаменатели, но и условие: $$\frac{x-2}{x-3}\ne0.$$ Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому $x-2\ne0$, $x\ne2$.

Таким образом, при делении рациональных выражений нужно проверять две группы ограничений:

• знаменатели всех исходных дробей не равны нулю;
• делитель не равен нулю.

Это важное отличие деления от умножения.

{"questions":[{"instruction":"Упростите произведение рациональных дробей и выберите результат с учетом ОДЗ","content":"$$\\frac{x^2-9}{x^2-4x+3}\\cdot\\frac{x-1}{x+3}$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$, где $x\\ne-3$, $x\\ne1$, $x\\ne3$","$1$, где $x\\ne1$ и $x\\ne3$","$\\frac{x-3}{x+3}$, где $x\\ne-3$, $x\\ne1$, $x\\ne3$","$x-1$, где $x\\ne-3$ и $x\\ne3$"],"explanations":["После разложения на множители все множители сокращаются. Ограничения исходного выражения сохраняются.","Значение $x=-3$ также не входит в ОДЗ, поскольку обращает знаменатель второй дроби в нуль.","Множители $x-3$ и $x+3$ сокращаются вместе с соответствующими множителями знаменателей.","После сокращения множителей выражение равно $1$, а не $x-1$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим многочлены на множители: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.","Найдем ОДЗ по исходным знаменателям: $x\\ne1$, $x\\ne3$ и $x\\ne-3$.","Запишем произведение в разложенном виде: $\\frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x-3)}\\cdot\\frac{x-1}{x+3}$.","Сократим одинаковые множители и получим $1$. Ограничения сохраняются: $x\\ne-3$, $x\\ne1$, $x\\ne3$."]},{"instruction":"Упростите частное рациональных дробей и выберите результат с учетом ОДЗ","content":"$$\\frac{x^2-4}{x^2-x-2}:\\frac{x+2}{x-1}$$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{x-1}{x+1}$, где $x\\ne-2$, $x\\ne-1$, $x\\ne1$, $x\\ne2$","$\\frac{x-1}{x+1}$, где $x\\ne-1$ и $x\\ne2$","$\\frac{x+1}{x-1}$, где $x\\ne-2$, $x\\ne-1$, $x\\ne1$, $x\\ne2$","$\\frac{x-2}{x-1}$, где $x\\ne-2$, $x\\ne-1$, $x\\ne1$, $x\\ne2$"],"explanations":["После замены деления умножением на обратную дробь и сокращения получается $\\frac{x-1}{x+1}$. Все ограничения исходного выражения сохраняются.","Кроме нулей знаменателей, нужно исключить $x=-2$, при котором делитель равен нулю, и $x=1$, при котором делитель не определен.","При делении вторую дробь переворачивают, поэтому в числителе результата остается множитель $x-1$.","Разложение знаменателя первой дроби дает множители $x-2$ и $x+1$; после сокращения в знаменателе остается $x+1$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим многочлены на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.","Из знаменателей получаем $x\\ne2$, $x\\ne-1$ и $x\\ne1$. Делитель не может быть равен нулю, поэтому также $x\\ne-2$.","Заменим деление умножением на дробь, обратную делителю: $\\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}\\cdot\\frac{x-1}{x+2}$.","Сократим множители $x-2$ и $x+2$. Получим $\\frac{x-1}{x+1}$ при $x\\ne-2$, $x\\ne-1$, $x\\ne1$, $x\\ne2$."]}],"mix":1}

Цепочки преобразований

До этого мы рассматривали отдельные действия с рациональными дробями. Теперь объединим несколько приемов в одном выражении. В таких задачах важно не просто знать правила. Нужно уметь определить, какое действие выгоднее выполнить первым.

Показать решение

Скрыть

В сложном выражении не всегда выгодно сразу раскрывать скобки и перемножать всё подряд. Сначала полезно найти знакомые структуры:

• разность квадратов;
• общий множитель;
• квадрат суммы или разности;
• одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Например, если мы видим $x^2-25$, лучше сразу узнать формулу: $x^2-25=(x-5)(x+5)$. А если видим $x^2+6x+9$ полезно заметить: $x^2+6x+9=(x+3)^2$. Такой взгляд позволяет значительно сократить объём вычислений.

Показать решение

Скрыть