{"questions":[{"content":"Упростите рациональное выражение при $x \\ne 3$: $$\\frac{x^2-9}{x-3}.$$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x+3$","$x-3$","$x^2+3$","$1$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим числитель как разность квадратов: $x^2-9=x^2-3^2$.","Получаем $\\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$. При $x \\ne 3$ можно сократить общий множитель $x-3$.","После сокращения получаем $x+3$."],"id":"0"},{"content":"Упростите рациональное выражение при $x \\ne -4$: $$\\frac{x^2-16}{x+4}.$$[[choice-73]]","widgets":{"choice-73":{"type":"choice","options":["$x+4$","$x-4$","$x^2-4$","$1$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Представим числитель как разность квадратов: $x^2-16=x^2-4^2$.","Запишем дробь в виде $\\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}$.","При $x \\ne -4$ сокращаем $x+4$ и получаем $x-4$."],"id":"0"},{"instruction":"Приведите к одной дроби","content":"$$\\frac{2}{x-1}+\\frac{3}{x+1}.$$[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{2x}$","$\\frac{5x+1}{x^2-1}$","$\\frac{5x-1}{x^2-1}$","$\\frac{x+5}{x^2-1}$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Общий знаменатель дробей равен $(x-1)(x+1)=x^2-1$.","Получаем $\\frac{2(x+1)+3(x-1)}{x^2-1}$.","Раскрываем скобки: $2x+2+3x-3=5x-1$. Ответ: $\\frac{5x-1}{x^2-1}$."],"id":"1"},{"instruction":"Приведите к одной дроби","content":"$$\\frac{4}{x-2}-\\frac{1}{x+2}.$$[[choice-351]]","widgets":{"choice-351":{"type":"choice","options":["$\\frac{3x+10}{x^2-4}$","$\\frac{3x-10}{x^2-4}$","$\\frac{5x+6}{x^2-4}$","$\\frac{3}{2x}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Общий знаменатель равен $(x-2)(x+2)=x^2-4$.","Числитель общей дроби имеет вид $4(x+2)-(x-2)$.","Раскрываем скобки: $4x+8-x+2=3x+10$. Ответ: $\\frac{3x+10}{x^2-4}$."],"id":"1"},{"content":"Упростите выражение и учтите область допустимых значений: $$\\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\\cdot\\frac{x+2}{x-2}.$$[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$1$, где $x \\ne -2$ и $x \\ne 2$","$1$ при любом $x$","$x+2$, где $x \\ne 2$","$\\frac{x-2}{x+2}$, где $x \\ne -2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим многочлены: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $x^2+4x+4=(x+2)^2$.","Получаем $\\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}\\cdot\\frac{x+2}{x-2}$.","Сокращаем множители и получаем $1$. Из исходного выражения сохраняются ограничения $x \\ne -2$ и $x \\ne 2$."],"id":"2"},{"content":"Упростите выражение и учтите область допустимых значений: $$\\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}:\\frac{x+3}{x-3}.$$[[choice-629]]","widgets":{"choice-629":{"type":"choice","options":["$x+3$, где $x \\ne 3$","$1$, где $x \\ne 3$","$1$, где $x \\ne -3$ и $x \\ne 3$","$\\frac{x+3}{x-3}$, где $x \\ne 3$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Разложим многочлены: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2-6x+9=(x-3)^2$.","Заменим деление умножением на обратную дробь: $\\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}\\cdot\\frac{x-3}{x+3}$.","Получаем $1$. Учитываем $x \\ne 3$, а также $x \\ne -3$, поскольку делитель не может быть равен нулю."],"id":"2"},{"instruction":"Укажите область допустимых значений","content":"$$\\frac{2x+1}{(x-3)(x+4)}.$$[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$x \\ne 3$","$x \\ne -4$","$x \\ne 3$ и $x \\ne -4$","$x \\ne -\\frac{1}{2}$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Рациональное выражение определено, когда его знаменатель не равен нулю.","Решим $(x-3)(x+4)=0$: получаем $x=3$ или $x=-4$.","Оба значения исключаются: $x \\ne 3$ и $x \\ne -4$."],"id":"3"},{"instruction":"Укажите область допустимых значений","content":"$$\\frac{x-7}{x^2-x-6}.$$[[choice-916]]","widgets":{"choice-916":{"type":"choice","options":["$x \\ne 7$","$x \\ne 3$ и $x \\ne -2$","$x \\ne -3$ и $x \\ne 2$","$x \\ne 6$ и $x \\ne -1$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Разложим знаменатель на множители: нужно найти числа с произведением $-6$ и суммой $-1$.","Получаем $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.","Знаменатель равен нулю при $x=3$ и $x=-2$, поэтому эти значения исключаются."],"id":"3"},{"content":"При каком значении коэффициента $a$ равенство $$\\frac{x^2+ax-6}{x-2}=x+3$$ является тождеством на области допустимых значений?<br>[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$a=-1$","$a=1$","$a=3$","$a=5$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Умножим правую часть равенства на знаменатель $x-2$.","Получаем $(x-2)(x+3)=x^2+x-6$.","Сравниваем $x^2+ax-6$ и $x^2+x-6$. Следовательно, $a=1$."],"id":"4"},{"content":"При каком значении коэффициента $b$ равенство $$\\frac{x^2+bx-12}{x+2}=x-6$$ является тождеством на области допустимых значений?<br>[[choice-1194]]","widgets":{"choice-1194":{"type":"choice","options":["$b=-8$","$b=-4$","$b=4$","$b=8$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Умножим правую часть на знаменатель $x+2$.","Раскроем скобки: $(x+2)(x-6)=x^2-6x+2x-12=x^2-4x-12$.","Сравниваем коэффициенты при $x$: $b=-4$."],"id":"4"},{"content":"Упростите сложную рациональную дробь и учтите область допустимых значений:$$\\frac{\\frac{1}{x}-\\frac{1}{x+1}}{\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x+1}}.$$[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{2x+1}$, где $x \\ne 0$, $x \\ne -1$, $x \\ne -\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{2x+1}$, где $x \\ne 0$","$2x+1$, где $x \\ne -\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{x+1}$, где $x \\ne -1$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $x(x+1)$.","В числителе получаем $\\frac{1}{x(x+1)}$, а в знаменателе — $\\frac{2x+1}{x(x+1)}$.","Делим дроби и получаем $\\frac{1}{2x+1}$. Исключаем $x=0$, $x=-1$ и $x=-\\frac{1}{2}$."],"id":"5"},{"content":"Упростите сложную рациональную дробь и учтите область допустимых значений: $$\\frac{\\frac{1}{x-1}-\\frac{1}{x+1}}{\\frac{1}{x-1}+\\frac{1}{x+1}}.$$[[choice-1472]]","widgets":{"choice-1472":{"type":"choice","options":["$\\frac{1}{x}$, где $x \\ne -1$, $x \\ne 0$, $x \\ne 1$","$\\frac{1}{x}$, где $x \\ne 0$","$x$, где $x \\ne -1$ и $x \\ne 1$","$\\frac{2}{x^2-1}$, где $x \\ne -1$ и $x \\ne 1$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Общий знаменатель внутренних дробей равен $(x-1)(x+1)=x^2-1$.","Числитель сложной дроби равен $\\frac{2}{x^2-1}$, а знаменатель — $\\frac{2x}{x^2-1}$.","Их частное равно $\\frac{1}{x}$. Исключаем $x=-1$, $x=1$ и $x=0$."],"id":"5"}],"mix":1}
Карточки
Тесты
Зави
