Решение задач на отражение света плоским зеркалом

Решение:

Рассмотрим углы падения и отражения после поворота зеркала. Из рисунка видно, что новый угол падения составляют изначальный угол падения $\alpha$ и угол поворота зеркала $\varphi$ (так как перпендикуляр повернулся на тот же угол):
$\angle DOC_1 = \alpha + \varphi$.

Теперь рассмотрим новый угол падения:
$\angle C_1OE_1 = (\beta — \varphi) + \eta$.

По закону отражения света: $\beta = \alpha$.

Тогда мы можем записать:
$\angle C_1OE_1 = \alpha — \varphi + \eta$.

Закон преломления действует и после поворота зеркала. Значит,
$\angle DOC_1 = \angle C_1OE_1$.

Подставим выражения полученные выше:
$\alpha + \varphi = \alpha — \varphi + \eta$.

Выразим отсюда угол, на который отклонился отраженный луч:
$\eta = \alpha + \varphi — \alpha + \varphi = 2 \varphi$.

Рассчитаем этот угол:
$\eta = 2 \cdot 16 \degree = 32 \degree$.

Ответ: $\eta = 32 \degree$.

Решение:

Сделав правильный чертеж, решить такую задачу очень просто. Из него видно, что:
$\alpha = 90 \degree — \varphi = 90 \degree — 30 \degree = 60 \degree$.

По закону отражения света:
$\beta = \alpha = 60 \degree$.

Ответ: $\alpha = \beta = 60 \degree$.

Решение:

Как вам известно, изображение в плоском зеркале любого предмета образуется от поверхности зеркала на том же расстоянии, что и сам предмет. При этом размеры изображения предмета равны по размеру самому предмету. Видим мы это изображение, когда световые лучи попадают нам в глаз.

Используя эту информацию, сделаем чертеж для решения этой задачи (рисунок 4).

• Точка $A$ — это глаз динозавра, в который попадает изображение в зеркале
• $EG$ — плоское зеркало
• $AB$ — световой луч, попадающий в глаз, от верхней точки головы динозавра
• $AD$ — световой луч, попадающий в глаз, от нижней точки ног динозавра
• $AC$ — световой луч, соединяющий глаз динозавра и его изображение в плоском зеркале. Он будет проходить перпендикулярно зеркалу.

Отрезок $BD$ равен росту динозавра. Он состоит из двух отрезков: $BC$ и $CD$.
$BC = 10 \space см$ — расстояние от верхней точки головы до глаз.
$CD = 152 \space см — 10 \space см = 142 \space см$ — расстояние от глаз до нижнего края ног.

Сначала рассмотрим треугольники $AEF$ и $ABC$. Они будут подобны друг другу по двум углам: $\angle EFA = \angle BCA = 90 \degree$ и $\angle EAF = \angle BAC$ (это один и тот же угол для двух треугольников).

Определим коэффициент подобия:
$AF = k \cdot AC$.

Расстояния от предмета до зеркала и его изображения до зеркала равны. Поэтому $AC = 2AF$.
Тогда, $AF = k \cdot 2AF$. 
Значит, $k = \frac{1}{2}$.

Зная коэффициент подобия $k$, запишем соотношение для других сходственных сторон:
$EF = k \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \space см = 5 \space см$,
т. к. по условия расстояние от глаза до верхней точки головы составляет $10 \space см$. Это утверждение справедливо и для изображения динозавра.

Теперь рассмотрим треугольники $AFG$ и $ACD$. Они также будут подобны по двум углам, и коэффициент подобия будет равен $k = \frac{1}{2}$.

Тогда, $FG = k \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 142 \space см = 71 \space см$.

Теперь мы можем найти длину зеркала:
$EG = h = EF + FG = 5 \space см + 71 \space см = 76 \space см$.

Ответ: $h = 76 \space см$.

Построение:

Изначально нам необходимо построить изображения этих светящихся точек (лампочек).

Из точки $A$ опустим перпендикуляр на плоское зеркало и продолжим его за зеркало. Отложим на нем расстояние по другую сторону зеркала, равное расстоянию от точки $A$ до зеркала. Получим изображение светящейся точки $A_1$.

То же самое проделаем для точки $B$ и получим ее изображение $B_1$ (рисунок 6).

В условии задачи сказано, что изображения этих точек совпадут друг с другом. Мы же видим изображения, когда нам в глаз попадают световые лучи от этих точек. Это означает, что луч должен быть один сразу для обоих точек.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$ друг с другом и продолжим эту прямую. Со стороны от зеркала, где находятся лампочки, мы можем поставить точку на этой прямой на любом расстоянии от зеркала. Так мы получили точку $E$ — положение глаза наблюдателя, при котором он увидит лампочки совмещенными друг с другом.

Решение:

Условие задачи говорит, что отраженный луч (солнечный зайчик) должен идти горизонтально. В таком случае у него может быть два направления: горизонтально влево и горизонтально вправо. Решим задачу для обоих случаев.

1. Сначала рассмотрим ситуацию, где отраженный луч пойдет горизонтально вправо. Сделаем чертеж (рисунок 8).

• $MN$ — поверхность стола
• $AB$ — плоское зеркало
• $DO$ — падающий луч
• $\alpha$ — угол падения
• $\varphi$ — угол, образованный падающим лучом и поверхностью стола. Мы обозначили его, используя продолжение отраженного стола, параллельному столу. В этом случае продолжение отраженного луча и поверхность стола — две параллельные прямые, а падающий луч — секущая. Соответственные углы равны
• $OE$ — отраженный луч
• $\beta$ — угол отражения
• $OC$ — перпендикуляр, опущенный в точку падения луча на поверхность зеркала
• $\eta$ — искомый луч наклона зеркала

Из чертежа видно, что:
$\varphi + \alpha + \beta = 180 \degree$.

По закону отражения света: $\alpha = \beta$. Тогда,
$\varphi + 2 \alpha = 180 \degree$,
$\alpha = \frac{180 \degree — 50 \degree}{2} = 65 \degree$.

Снова рассматривая $AB$ как секущую двух параллельных прямых, мы можем сказать, что $\angle EOB = \eta$.

Тогда, $\eta = \angle EOB = 90 \degree — \beta = 90 \degree — \alpha = 90 \degree — 65 \degree = 25 \degree$.

2. Рассмотрим второй случай, когда отраженный луч пойдет горизонтально влево. Так же сделаем чертеж (рисунок 9).

• $MN$ — поверхность стола
• $AB$ — плоское зеркало
• $DO$ — падающий луч
• $\alpha$ — угол падения
• $\varphi$ — угол, образованный падающим лучом и поверхностью стола. Мы обозначили его, используя продолжение отраженного стола, параллельному столу. В этом случае продолжение отраженного луча и поверхность стола — две параллельные прямые, а падающий луч — секущая. Соответственные углы равны
• $OE$ — отраженный луч
• $\beta$ — угол отражения
• $OC$ — перпендикуляр, опущенный в точку падения луча на поверхность зеркала
• $\eta$ — искомый луч наклона зеркала

Рассмотрим $\angle COA$. Это прямой угол, образованный перпендикуляром $OC$ и поверхностью зеркала $AB$. Он состоит из двух углов: $\beta$ и $\angle EOA$. Угол $\eta$ и $\angle EOA$ равны друг другу, т .к. это накрест лежащие углы, образованные секущей и двумя параллельными прямыми.

По закону отражения света: $\alpha = \beta$.
Из чертежа: $\varphi = \alpha + \beta = 2 \alpha$. Т.е., $\alpha = \frac{\varphi}{2}$.

Тогда,
$\eta = \angle EOA = \angle COA — \beta =  \angle COA — \alpha =  \angle COA — \frac{\varphi}{2} = 90 \degree — \frac{50}{2} = 65 \degree$.

Ответ: $\eta_1 = 25 \degree$, $\eta_2 = 65 \degree$.