0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Решение задач на отражение света плоским зеркалом

Содержание

    Вы уже ознакомились с уроками «Отражение света» и «Плоское зеркало«. На этих уроках мы рассматривали природу такого явления, как отражения света, и получение изображения в плоском зеркале.

    На данном уроке вы познакомитесь с примерами задач на отражение света от плоского зеркала и их решениями.

    Задача №1

    Плоское зеркало повернули на угол $\varphi = 16 \degree$ вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала. На какой угол $\eta$ повернется отраженный зеркалом луч, если направление падающего луча осталось неизменным?

    Построим к задаче чертеж (рисунок 1). Обозначим плоское зеркало в начальном положении, как $AB$. Проведем перпендикуляр к его поверхности — $CO$. Отметим угол $\varphi$, на который зеркало повернули, и обозначим его новое положение, как $A_1B_1$. Перпендикуляр поворачивается вместе с зеркалом на угол $\varphi$ — $OC_1$.

    Рисунок 1. Чертеж к задаче №1

    Также обозначим на рисунке падающий луч $DO$ и угол падения $\alpha$. После поворота зеркала падающий луч не меняет своего направления. Луч $OE$ отражается от зеркала под углом отражения $\beta$. После поворота зеркала угол отражения отклонится от прежнего положения на угол $\eta$.

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Рассмотрим углы падения и отражения после поворота зеркала. Из рисунка видно, что новый угол падения составляют изначальный угол падения $\alpha$ и угол поворота зеркала $\varphi$ (так как перпендикуляр повернулся на тот же угол):
    $\angle DOC_1 = \alpha + \varphi$.

    Теперь рассмотрим новый угол падения:
    $\angle C_1OE_1 = (\beta — \varphi) + \eta$.

    По закону отражения света: $\beta = \alpha$.

    Тогда мы можем записать:
    $\angle C_1OE_1 = \alpha — \varphi + \eta$.

    Закон преломления действует и после поворота зеркала. Значит,
    $\angle DOC_1 = \angle C_1OE_1$.

    Подставим выражения полученные выше:
    $\alpha + \varphi = \alpha — \varphi + \eta$.

    Выразим отсюда угол, на который отклонился отраженный луч:
    $\eta = \alpha + \varphi — \alpha + \varphi = 2 \varphi$.

    Рассчитаем этот угол:
    $\eta = 2 \cdot 16 \degree = 32 \degree$.

    Ответ: $\eta = 32 \degree$.

    Задача №2

    Угол между плоским зеркалом и падающим на него лучом составляет $30 \degree$. Чему равны углы падения и отражения луча?

    Сделаем чертеж (рисунок 2). Опустим на поверхность зеркала $MN$ перпендикуляр $CO$. Обозначим падающий луч как $AO$, а отраженный луч — $OB$. Отметим угол падения $\alpha$ и угол отражения $\beta$. Угол между зеркалом и падающим лучом обозначим буквой $\varphi$.

    Рисунок 2. Чертеж к задаче №2

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Сделав правильный чертеж, решить такую задачу очень просто. Из него видно, что:
    $\alpha = 90 \degree — \varphi = 90 \degree — 30 \degree = 60 \degree$.

    По закону отражения света:
    $\beta = \alpha = 60 \degree$.

    Ответ: $\alpha = \beta = 60 \degree$.

    Задача №3

    На стене вертикально висит зеркало, как показано на рисунке 3. Не смотря на то, что зеркало не достает до пола, динозаврик может видеть свое отражение в полный рост. Какая длина у зеркала? Рост динозавра 152 см, а расстояние от его глаз до верхней части головы 10 см.

    Рисунок 3. Условие задачи №3

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Как вам известно, изображение в плоском зеркале любого предмета образуется от поверхности зеркала на том же расстоянии, что и сам предмет. При этом размеры изображения предмета равны по размеру самому предмету. Видим мы это изображение, когда световые лучи попадают нам в глаз.

    Используя эту информацию, сделаем чертеж для решения этой задачи (рисунок 4).

    Рисунок 4. Чертеж для решения задачи №3
    • Точка $A$ — это глаз динозавра, в который попадает изображение в зеркале
    • $EG$ — плоское зеркало
    • $AB$ — световой луч, попадающий в глаз, от верхней точки головы динозавра
    • $AD$ — световой луч, попадающий в глаз, от нижней точки ног динозавра
    • $AC$ — световой луч, соединяющий глаз динозавра и его изображение в плоском зеркале. Он будет проходить перпендикулярно зеркалу.

    Отрезок $BD$ равен росту динозавра. Он состоит из двух отрезков: $BC$ и $CD$.
    $BC = 10 \space см$ — расстояние от верхней точки головы до глаз.
    $CD = 152 \space см — 10 \space см = 142 \space см$ — расстояние от глаз до нижнего края ног.

    Сначала рассмотрим треугольники $AEF$ и $ABC$. Они будут подобны друг другу по двум углам: $\angle EFA = \angle BCA = 90 \degree$ и $\angle EAF = \angle BAC$ (это один и тот же угол для двух треугольников).

    Определим коэффициент подобия:
    $AF = k \cdot AC$.

    Расстояния от предмета до зеркала и его изображения до зеркала равны. Поэтому $AC = 2AF$.
    Тогда, $AF = k \cdot 2AF$. 
    Значит, $k = \frac{1}{2}$.

    Зная коэффициент подобия $k$, запишем соотношение для других сходственных сторон:
    $EF = k \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \space см = 5 \space см$,
    т. к. по условия расстояние от глаза до верхней точки головы составляет $10 \space см$. Это утверждение справедливо и для изображения динозавра.

    Теперь рассмотрим треугольники $AFG$ и $ACD$. Они также будут подобны по двум углам, и коэффициент подобия будет равен $k = \frac{1}{2}$.

    Тогда, $FG = k \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 142 \space см = 71 \space см$.

    Теперь мы можем найти длину зеркала:
    $EG = h = EF + FG = 5 \space см + 71 \space см = 76 \space см$.

    Ответ: $h = 76 \space см$.

    Задача №4

    Две лампочки находятся в точках $A$ и $B$, как показано на рисунке 5. Постройте такое положение глаза человека перед зеркалом, при котором он увидит изображения лампочек совмещенными.

    Рисунок 5. Условие задачи №4

    Показать построение и пояснения

    Скрыть

    Построение:

    Изначально нам необходимо построить изображения этих светящихся точек (лампочек).

    Из точки $A$ опустим перпендикуляр на плоское зеркало и продолжим его за зеркало. Отложим на нем расстояние по другую сторону зеркала, равное расстоянию от точки $A$ до зеркала. Получим изображение светящейся точки $A_1$.

    То же самое проделаем для точки $B$ и получим ее изображение $B_1$ (рисунок 6).

    Рисунок 6. Построение положения глаза наблюдателя

    В условии задачи сказано, что изображения этих точек совпадут друг с другом. Мы же видим изображения, когда нам в глаз попадают световые лучи от этих точек. Это означает, что луч должен быть один сразу для обоих точек.

    Соединим точки $A_1$ и $B_1$ друг с другом и продолжим эту прямую. Со стороны от зеркала, где находятся лампочки, мы можем поставить точку на этой прямой на любом расстоянии от зеркала. Так мы получили точку $E$ — положение глаза наблюдателя, при котором он увидит лампочки совмещенными друг с другом.

    Задача №5

    Солнечные лучи образуют с поверхностью стола угол $\varphi = 50 \degree$ (рисунок 7). Под каким углом к поверхности стола надо расположить зеркало, чтобы направить солнечный зайчик в горизонтальном направлении?

    Рисунок 7. Условия задачи №5

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Условие задачи говорит, что отраженный луч (солнечный зайчик) должен идти горизонтально. В таком случае у него может быть два направления: горизонтально влево и горизонтально вправо. Решим задачу для обоих случаев.

    1. Сначала рассмотрим ситуацию, где отраженный луч пойдет горизонтально вправо. Сделаем чертеж (рисунок 8).
    Рисунок 8. Наклон зеркала при ходе отраженного луча горизонтально вправо
    • $MN$ — поверхность стола
    • $AB$ — плоское зеркало
    • $DO$ — падающий луч
    • $\alpha$ — угол падения
    • $\varphi$ — угол, образованный падающим лучом и поверхностью стола. Мы обозначили его, используя продолжение отраженного стола, параллельному столу. В этом случае продолжение отраженного луча и поверхность стола — две параллельные прямые, а падающий луч — секущая. Соответственные углы равны
    • $OE$ — отраженный луч
    • $\beta$ — угол отражения
    • $OC$ — перпендикуляр, опущенный в точку падения луча на поверхность зеркала
    • $\eta$ — искомый луч наклона зеркала

    Из чертежа видно, что:
    $\varphi + \alpha + \beta = 180 \degree$.

    По закону отражения света: $\alpha = \beta$. Тогда,
    $\varphi + 2 \alpha = 180 \degree$,
    $\alpha = \frac{180 \degree — 50 \degree}{2} = 65 \degree$.

    Снова рассматривая $AB$ как секущую двух параллельных прямых, мы можем сказать, что $\angle EOB = \eta$.

    Тогда, $\eta = \angle EOB = 90 \degree — \beta = 90 \degree — \alpha = 90 \degree — 65 \degree = 25 \degree$.

    1. Рассмотрим второй случай, когда отраженный луч пойдет горизонтально влево. Так же сделаем чертеж (рисунок 9).
    Рисунок 9. Наклон зеркала при ходе отраженного луча горизонтально влево
    • $MN$ — поверхность стола
    • $AB$ — плоское зеркало
    • $DO$ — падающий луч
    • $\alpha$ — угол падения
    • $\varphi$ — угол, образованный падающим лучом и поверхностью стола. Мы обозначили его, используя продолжение отраженного стола, параллельному столу. В этом случае продолжение отраженного луча и поверхность стола — две параллельные прямые, а падающий луч — секущая. Соответственные углы равны
    • $OE$ — отраженный луч
    • $\beta$ — угол отражения
    • $OC$ — перпендикуляр, опущенный в точку падения луча на поверхность зеркала
    • $\eta$ — искомый луч наклона зеркала

    Рассмотрим $\angle COA$. Это прямой угол, образованный перпендикуляром $OC$ и поверхностью зеркала $AB$. Он состоит из двух углов: $\beta$ и $\angle EOA$. Угол $\eta$ и $\angle EOA$ равны друг другу, т .к. это накрест лежащие углы, образованные секущей и двумя параллельными прямыми.

    По закону отражения света: $\alpha = \beta$.
    Из чертежа: $\varphi = \alpha + \beta = 2 \alpha$. Т.е., $\alpha = \frac{\varphi}{2}$.

    Тогда,
    $\eta = \angle EOA = \angle COA — \beta =  \angle COA — \alpha =  \angle COA — \frac{\varphi}{2} = 90 \degree — \frac{50}{2} = 65 \degree$.

    Ответ: $\eta_1 = 25 \degree$, $\eta_2 = 65 \degree$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение