18. Планиметрическая задача: #211334

$а)$ В треугольниках $CKD$ и $CDE$ угол $KCD$ — общий. $$\angle CED = \angle CBD = \angle BDC = 45^\circ$$ Значит, эти треугольники подобны, откуда: $$\frac{CK}{CD} = \frac{CD}{CE} \Leftrightarrow CK \cdot CE = CD^2 \Leftrightarrow CK \cdot CE = AB \cdot CD$$

$б)$ В треугольнике $CKD$ имеем: $$\angle KCD = 15^\circ, \quad \angle CDK = 45^\circ, \text{ откуда } \angle CKD = 120^\circ$$ Из подобия треугольников $CKD$ и $CDE$ получаем, что $$\frac{CD}{CE} = \frac{CK}{CD}$$ В треугольнике $CKD$ имеем: $$\frac{CK}{CD} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$ то есть $$CK : CE = \frac{CK}{CD} : \frac{CE}{CD} = \sqrt{\frac{2}{3}} : \sqrt{\frac{3}{2}} = 2 : 3$$ откуда $CK : KE = 2 : 1.$

Ответ:
$а)$ $CK \cdot CE = AB \cdot CD.$
$б)$ $2:1.$