18. Задача с параметром: расположение корней квадратного трехчлена

Пусть $3^{|x|} = t,$ $t \geq 1.$ Если $t > 1,$ тогда $|x| = \log_3 t;$ $x = \log_3 t$ и $x =-\log_3 t.$ Если $t = 1,$ тогда $|x| = 0;$ $x = 0.$

Обозначим $f(t) = t^2 -\dfrac{4a}{a-6}t + \dfrac{3a+4}{a-6}.$ Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

$1)$ когда уравнение $f(t) = 0$ имеет всего один корень и этот корень больше $1;$

$2)$ когда уравнение $f(t) = 0$ имеет ровно два корня, один из которых больше $1,$ а другой меньше $1.$

Рассмотрим эти случаи:

$1)$ Уравнение $t^2 -\dfrac{4a}{a-6}t + \dfrac{3a+4}{a-6} = 0$ имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

$$\left( \dfrac{4a}{a-6} \right)^2 -4 \cdot \dfrac{3a+4}{a-6} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{16a^2}{(a-6)^2} -\frac{12a+16}{a-6} = 0 \Leftrightarrow \frac{16a^2 -(12a+16)(a-6)}{(a-6)^2} = 0.$$

Упростим числитель:

$$16a^2 -(12a+16)(a-6) = 16a^2 -(12a^2 -72a + 16a -96) = 16a^2 -(12a^2 -56a -96) = 4a^2 + 56a + 96 = 4(a^2 + 14a + 24)$$

Таким образом, $\dfrac{4(a^2 + 14a + 24)}{(a-6)^2} = 0 \Leftrightarrow a^2 + 14a + 24 = 0 \Leftrightarrow a = -2, a = -12. $


При $a = -2$ уравнение принимает вид $t^2 -t + \dfrac{1}{4} = 0,$ единственный корень $t = \dfrac{1}{2}.$ Так как $t < 1,$ исходное уравнение не имеет корней.

При $a = -12$ уравнение принимает вид $t^2 -\dfrac{8}{3}t + \dfrac{16}{9} = 0,$ единственный корень $t = \dfrac{4}{3}.$ Так как $t > 1,$ исходное уравнение имеет два корня.

$2)$ Графиком функции $f(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение $f(t) = 0$ имело два корня, один из которых больше $1,$ а другой меньше $1,$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

$$f(1) < 0; \quad 1 -\dfrac{4a}{a-6} + \dfrac{3a+4}{a-6} < 0$$

$$1 + \frac{-4a + 3a + 4}{a-6} < 0 \Leftrightarrow 1 + \frac{-a + 4}{a-6} < 0 \Leftrightarrow \frac{a-6 -a + 4}{a-6} < 0 \Leftrightarrow \frac{-2}{a-6} < 0$$

Это неравенство выполняется при $a > 6.$

Ответ:
$a = -12,$ $a > 6.$

Сделаем замену: $7^{|x|} = t,$ где $t \geq 1.$ Заметим, что:

При $t > 1$ получаем $|x| = \log_7 t \Rightarrow x = \pm \log_7 t$ — два корня
При $t = 1$ получаем $|x| = 0 \Rightarrow x = 0$ — один корень


Перепишем уравнение в виде: $$t^2 -\frac{5a}{a-3} \cdot t + \frac{6a+7}{a-3} = 0$$

Обозначим $f(t) = t^2 -\dfrac{5a}{a-3} \cdot t + \dfrac{6a+7}{a-3}.$

Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда:

Уравнение $f(t) = 0$ имеет ровно один корень $t > 1$, причем $t \neq 1$
Или уравнение $f(t) = 0$ имеет два корня, один из которых $>1$, а другой $<1$


Случай $1{:}$ Уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю): $$D = \left(\frac{5a}{a-3}\right)^2 -4 \cdot \frac{6a+7}{a-3} = \frac{25a^2}{(a-3)^2} -\frac{4(6a+7)}{a-3} = \frac{25a^2 -4(6a+7)(a-3)}{(a-3)^2} = 0$$ $$25a^2 -4(6a+7)(a-3) = 0$$ $$25a^2 -4(6a^2 -18a +7a -21) = 0$$ $$25a^2 -4(6a^2 -11a -21) = 0$$ $$25a^2- 24a^2 + 44a + 84 = 0$$ $$a^2 + 44a + 84 = 0$$ $$a = -2, \quad a = -42$$

Проверим эти значения: $a = -2{:}$ $f(t) = t^2 -2t + 1 = (t-1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1$ -один корень $x = 0$

$a = -42{:}$ $f(t) = t^2 -\dfrac{14}{3}t + \dfrac{49}{9} = \left(t -\dfrac{7}{3}\right)^2 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{7}{3} > 1$ — два корня

Случай $2{:}$ Уравнение имеет два различных корня

Для того чтобы один корень был больше $1,$ а другой меньше $1,$ необходимо и достаточно:
$$f(1) < 0 \Rightarrow 1 -\frac{5a}{a-3} + \frac{6a+7}{a-3} < 0$$ $$\frac{a-3 -5a + 6a+7}{a-3} < 0$$ $$\frac{2a+4}{a-3} < 0$$ $$\frac{2(a+2)}{a-3} < 0 \Rightarrow -2 < a < 3$$

При этом нужно исключить случай, когда $t=1$ является корнем: $$f(1) = 0 \Rightarrow 2a+4 = 0 \Rightarrow a = -2$$ что уже исключено из промежутка.

Ответ: $a = -42,$ $-2 < a < 3.$

Ответ: ${-42} \cup (-2;3).$