18. Задача с параметром: функции, зависящие от параметра

Найдем производную функции и определим, в каких точках производная обращается в нуль:

$$f'(x) = 12\alpha x^3 -24x^2 + 6x$$

$$12\alpha x^3 -24x^2 + 6x = 0 \Leftrightarrow 6x(2\alpha x^2 -4x + 1) = 0$$

При $\alpha = 0$ полученное уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = \frac{1}{4}.$

Точка $0$ является точкой минимума, точка $\dfrac{1}{4}$ является точкой максимума.

При $\alpha \in (0; 2)$ уравнение $2\alpha x^2 -4x + 1 = 0$ имеет два различных корня, каждый из которых отличен от нуля, а потому производная обращается в нуль в трех различных точках:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{2 -\sqrt{4- 2\alpha}}{2\alpha} \quad \text{и} \quad x_3 = \frac{2 + \sqrt{4 -2\alpha}}{2\alpha}$$ где точка $x_2$ является точкой максимума, а точки $x_1$ и $x_3$ — точки минимума. Точка $x_3$ не лежит на отрезке $[-1; 1],$ если либо $$\frac{2 + \sqrt{4 -2\alpha}}{2\alpha} < -1$$

что невозможно для положительных $\alpha,$ либо

$$\frac{2 + \sqrt{4 -2\alpha}}{2\alpha} > 1$$

откуда $2 + \sqrt{4 -2\alpha} > 2\alpha.$ Левая часть неравенства убывает на интервале $(0; 2),$ правая — возрастает, число $$\frac{3}{2}$$

обращает неравенство в верное числовое равенство, поэтому неравенство верно при $0 < \alpha < \dfrac {3}{2}.$

При $\alpha = 2$ уравнение $2\alpha x^2- 4x + 1 = 0$ имеет один корень: $$\frac{1}{2}$$ кратности $2$, в этой точке производная не меняет знак, а потому это не точка экстремума. Кроме того, производная обращается в нуль при $x = 0,$ это точка минимума.

При $\alpha > 2$ уравнение $2\alpha x^2- 4x + 1 = 0$ не имеет корней, поэтому производная обращается в нуль только при $x = 0,$ это точка минимума.

Тем самым функция $f(x) = 3\alpha x^4- 8x^3 + 3x^2- 7$ на отрезке $[-1; 1]$ имеет одну точку минимума при $\alpha \in [0; 1.5)$ или при $\alpha \geq 2.$

Ответ:
Функция имеет ровно одну точку минимума на отрезке $[-1; 1]$ при $\alpha \in [0; 1.5) \cup [2; +\infty).$